1.1 三角形内角和定理 第2课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第2课时三角形内角和定理的推论情景导入我们都知道三角形的内角和是180°，那如果我们从三角形的一个顶点“走出去”(如图)，这个三角形外的角应该怎么定义？一个三角形有几个类似的角呢？△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角.外角的一条边是该内角的一边外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线外角的顶点是该内角的顶点【探究1】探究三角形的外角与内角的等量关系探究新知如图，∠1是△ABC的一个外角.问题

你能在图中画出△ABC的其他外角吗?BCAD4231每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论.BCAD4231∠1+∠4=180°，思考·交流∠1=∠2+∠3，∠1>∠2，∠1>∠3.证明如下：∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)，BCAD4231∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)，∵∠1+∠4=180°(平角的定义)，∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)，∴∠1=∠2+∠3(等量代换)，∴∠1>∠2，∠1>∠3.(1)如图，∠1是由△ABC的边_____和△ABC的边_____的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个______角．CBAB外试一试(2)①△ABC的外角是_______，△DEC的外角是______；(均用数字表示角)②∠3＋∠4＋∠CBA＝_______；③∠1与∠3，∠4的等量关系是_______________．∠1∠3180°∠1＝∠3＋∠4由三角形内角和定理，可以得到推论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例1】(1)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，则∠C的度数是

()A．60°

B．70°

C．80°

D．90°B(2)如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为______．48°【例2】(1)将一副直角三角尺如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为

()A．75°

B．105°

C．135°

D．165°D(2)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝_______．95°【探究2】探究三角形的外角与内角的不等关系①如右图，可得∠1____∠3＋∠4，②∠1与∠3的大小关系是_________，∠1与∠4的大小关系是__________．推论三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.＝∠1>∠3∠1>∠4【例3】(1)如图，下列结论正确的是()A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠B

D．∠1＞∠2＞∠B

D(2)如图，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正确的是________．(填序号)②③④应用举例例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.CBADE【方法指导】要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”．证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C，CBADE

∵AD平分∠EAC，

∴∠DAC=∠C.∴AD∥BC.还有其他证法吗?证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C(已知)

，CBADE

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC.例2如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数．【方法指导】先利用外角性质得到∠3＝∠1＋∠2，然后根据题目条件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形内角和定理求出结果．解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠2.又∵∠4＝∠3，∴∠4＝2∠2.设∠2＝x°，则∠4＝2x°.在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，∴x°＋2x°＋78°＝180°，解得x＝34.∴∠3＝∠4＝68°.∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°.例3已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC>∠A.分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理?这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么?你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗?三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角.BACP证明：如图，延长BP，交AC于点D.BACPD∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).

∴∠BPC>∠A.还有其他证法吗?有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点D，BACPD∵∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，∴∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，即∠BPC>∠BAC.归纳总结三角形内角和定理三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角推论三角形的外角三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和随堂练习1．如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是

()A．∠1＜∠2＜∠3B．∠3＜∠1＜∠2C．∠3＜∠2＜∠1D．∠2＜∠1＜∠3A2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定C3.如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数.BCAD解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°，∴∠B=55°.∵∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°，∴∠ACB=80°.4.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，