1.3乘法公式（10大题型提分练）（原卷版）

（北师大版）七年级下册数学《第1章整式的乘除》1.3乘法公式知识点一知识点一完全平方公式◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．◆3、应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．知识点二知识点二平方差公式◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．题型一平方差公式的几何意义解题技巧提炼平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式.1．（2024春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（）A．B．C． D．2．（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）3．A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．12（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b4．（2024秋•吉林期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b） C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）25．（2024春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b26．（2023秋•湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①图②；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母a、b表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为12；②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为．题型二直接利用平方差公式计算解题技巧提炼应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．1．（2024秋•礼县期末）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2）2．（2024春•沈北新区期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a3．（2024秋•渭源县期中）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（）A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b24．（2023秋•莒南县期末）在等式（﹣a﹣b）（）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（）A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b5．（2024春•钢城区期末）（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝．6．（2024春•化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝，n＝．7．计算：（1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）（2）（﹣y2+x）（x+y2）（3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3）（4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2）题型三完全平方公式的几何意义解题技巧提炼平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出完全平方公式.1．（2024春•碑林区校级月考）如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b22．（2024春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b23．（2024春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）24．（2023秋•呼和浩特期末）如图1是一个长为4a宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为．5．（2024秋•丰台区期末）如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：．6．（2024秋•蒸湘区校级月考）在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨．（1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值．（2）阅读以下解法，并解决相应问题．“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝．②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值；③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积．题型四直接利用完全平方公式计算解题技巧提炼公式特征：1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.1．（2024秋•太康县期中）计算（﹣x+2）2的结果是（）A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+42．（2024春•碑林区期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3 B．±3 C．6 D．±63．（2024春•铁岭期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（）A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy4．（2024春•肥城市期中）下列各式正确的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x+12）2＝x2+xC．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+15．（2023秋•顺义区校级月考）已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值．6．利用完全平方公式计算：（1）（﹣x-12y）（2）（12a﹣3b）（3b-1（3）99.82；（4）1012+992．题型五运用乘法公式进行简便计算解题技巧提炼1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．1．（2024春•包头期中）若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，c=(-23)2017×(3A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a2．（2024秋•德惠市期末）计算20242﹣2023×2025＝．3．（2024春•牟平区期中）用乘法公式简便计算：（1）5034×4914（24．利用完全平方公式计算：（1）992；（2）1032．5．利用平方差公式计算：（1）10002﹣9992；（2）（9912）2﹣（10012）6．（2023秋•绿园区校级月考）用简便方法计算：（1）498×502；（2）20222﹣2023×2021．7．（2024春•垦利区期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题．例：用简便方法计算103×97．解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991．（1）例题求解过程中，第②步变形的依据是；（2）用简便方法计算9×11×101；（3）用简便方法计算20212﹣2020×2022．题型六综合运用乘法公式计算解题技巧提炼综合运用乘法公式计算就是对完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细，另外要注意运算的顺序．1．（2023秋•思明区校级期中）计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．2．（2023春•陈仓区期中）计算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）．3．计算：（1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1；（2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）．4．（2024春•玄武区校级期中）用乘法公式计算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）；5．（2023秋•东城区校级期中）计算：（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；（2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．6．利用乘法公式计算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；（5）（m﹣n﹣3）2．题型七利用乘法公式进行化简求值解题技巧提炼利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．1．（2024秋•鲤城区校级期中）若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是．2．（2024秋•长宁县期中）已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为．3．﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x=-38，y＝4．（2023秋•天山区校级期末）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a=15．（2024春•盐湖区校级期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．6．（2024秋•老河口市期末）先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），其中x，y满足x+y＝3，xy＝1．题型八利用完全平方公式的变形求值解题技巧提炼利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解.1．（2023秋•城口县期末）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（）A．1 B．9 C．16 D．212．（2023秋•重庆期末）已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（）A．16 B．22 C．28 D．363．（2024春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．40434．（2023春•金寨县期末）已知a+b＝2，ab＝﹣1，求下列各式的值．（1）求a2+b2的值；（2）求（a﹣b）2的值．5．（2024秋•汝南县期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）yx6．（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．7．（2023春•福田区校级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．请你根据上述解题思路解答下面问题：（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2+b2的值；（2）已知a﹣b﹣c＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．题型九乘法公式的实际应用问题解题技巧提炼利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析.1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（）A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+22．（2023景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（）A．30 B．32 C．34 D．363．（2024春•桓台县期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0．（1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？（2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？5．（2023春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示．【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值；②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值．6．（2024秋•马尾区校级期中）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2．根据上面得接题思路与方法，解决下列问题：（1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，则ab＝；（2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．题型十运用乘法公式找规律解题技巧提炼运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.1．（2023春•龙岗区期末）【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1：②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1；【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（）A．22023﹣1 B．22024﹣1 C．22024 D．22025﹣12．（2023秋•农安县期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝．（2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1．3．（2023秋•朝阳区校级期中）探究与应用我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？完成下面的探究：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；……（3）（x﹣1）（x