聚焦素养分层进阶：六年级数学“圆与扇形”单元核心课例教学设计

聚焦素养，分层进阶：六年级数学“圆与扇形”单元核心课例教学设计一、教学内容分析

本课隶属于北师大版六年级数学上册第一单元，核心内容为“圆”的周长、面积及其特殊部分“扇形”面积的计算。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课处于“图形与几何”领域“图形的认识与测量”主题下。知识技能图谱上，学生需从对圆的直观认识（圆心、半径、直径）跃升至对其周长、面积公式的探索与推导，并理解扇形作为圆的一部分的本质，掌握其面积计算方法。这不仅是小学阶段平面图形度量知识的收官与综合，更为后续学习圆柱、圆锥等立体图形的表面积与体积奠定了关键的二维图形基础，承上启下作用显著。过程方法路径上，课标强调通过观察、操作、想象、推理等活动，发展空间观念和推理意识。本课是渗透“转化”与“极限”数学思想的绝佳载体，例如将圆“化曲为直”推导周长，或“化圆为方”推导面积，都能在探究活动中让学生亲历数学思想的奇妙。素养价值渗透方面，本课是培育学生几何直观、空间观念、推理能力和模型意识的沃土。通过解决“为圆形花坛安装护栏”、“计算扇形窗户面积”等真实问题，引导学生从数学视角观察世界，建立数学模型，体会数学的严谨与实用之美，实现知识学习与素养生长的同频共振。

基于“以学定教”原则，学情诊断如下：学生已掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形等直线图形的周长与面积公式，具备一定的图形测量与公式应用经验。然而，从“直”到“曲”的认知跨越是主要障碍。部分学生可能对圆周率π的理解停留在记忆层面，对公式的由来感到抽象；在计算组合图形面积（含圆弧）时，识别扇形、找准“部分与整体”的关系是常见思维难点。过程评估设计将贯穿课堂始终：导入环节的“生活问题”可探查前概念；新授环节的探究活动通过观察学生操作、倾听小组讨论、分析任务单完成情况，实时把握学生对转化思想的理解程度；巩固练习的差异化表现则是判断知识内化与应用能力的分层依据。教学调适策略将据此展开：对基础较弱的学生，提供更多实物操作（如用绳绕圆）和直观演示，强化公式意义的理解；对思维较快的学生，引导其探索公式的不同推导方法或挑战更复杂的非标准扇形问题，满足其深度学习的需求。二、教学目标

1.知识目标：学生能准确叙述圆周长的计算公式C=πd或C=2πr，以及圆面积公式S=πr²的推导逻辑；能理解扇形是圆的一部分，并基于圆面积公式推导出扇形面积公式S=(n/360)×πr²；能在具体情境中识别并计算圆与扇形的周长与面积。

2.能力目标：学生能通过动手操作、合作探究，经历“化曲为直”、“化圆为方”的推导过程，发展空间想象与动手实践能力；能综合运用圆与扇形的知识，解决涉及组合图形、实际情境的度量问题，提升几何建模与问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：在探究古代数学家刘徽、祖冲之割圆术的故事中，感受数学文化的魅力与先人的智慧，激发民族自豪感；在小组协作中，养成乐于分享、严谨求证的科学态度，体验通过合作攻克难题的成就感。

4.科学（数学）思维目标：重点发展学生的转化与极限思想，引导其认识到复杂图形可以向已知图形转化；同时，强化其数形结合思维，能够在图形特征（半径、圆心角）与数学公式（周长、面积）之间建立清晰、灵活的联系。

5.评价与元认知目标：引导学生学会使用“公式应用自查表”（包含：单位统一了吗？π取值准确吗？是半径还是直径？）来检核自己的解题过程；鼓励学生在课堂小结时，反思“我今天用到了哪种重要的数学思想？”以提升学习的策略性与自觉性。三、教学重点与难点

教学重点：圆周长与面积公式的推导过程及其应用，扇形面积与圆面积的内在联系。确立依据在于，课标将“探索并掌握”圆的周长和面积公式作为核心内容要求，它们是刻画圆这一基本几何图形的两大核心度量指标，是后续所有相关计算和应用的基石。从学业评价看，无论是基础计算还是解决复杂实际问题，对这两个公式及其原理的理解都是高频且高价值考点，体现了“能力立意”而非单纯记忆的导向。

教学难点：圆面积公式的推导过程中“极限”思想的体会与理解，以及在复杂情境中灵活识别并计算扇形面积。难点成因在于，“极限”思想对小学生而言较为抽象，从将圆分割成有限个小扇形到想象拼成近似长方形，需要跨越直观到想象的思维鸿沟。此外，扇形面积计算的关键是确定其占整个圆的几分之几（即圆心角与360度的比），在非标准图形或组合图形中，学生容易因找不到这个“整体”关系或混淆半径而犯错。预设通过多媒体动画演示“割圆术”和设计循序渐进的变式练习来突破。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含圆周长“化曲为直”、圆面积“化圆为方”的动画，古代割圆术介绍）、圆形实物（硬币、光盘）、细绳、直尺、剪刀、圆形纸片若干。

1.2学习材料：分层探究任务单（A基础型/B挑战型）、当堂分层练习卡、板书设计（预留核心公式与推导思路图区域）。2.学生准备

复习已学平面图形的周长面积公式，准备圆规、直尺、彩笔。预习教材，尝试思考“圆的周长可以怎样测量？”3.环境布置

四人小组合作式座位，便于开展探究活动与讨论。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设：“同学们，学校计划在操场边新建一个精美的圆形花坛。现在有两个实际问题需要咱们‘数学顾问团’出手相助：一是要给花坛边缘安装木质护栏，需要多长的木料？二是要在花坛里种植两种不同的花卉，设计成了两个美丽的扇形区域，我们又该如何计算每种花卉的种植面积呢？”（展示花坛平面示意图，内含一个整圆和分割出的扇形）

1.1问题提出：“要解决这两个生活问题，归根结底，我们需要研究什么数学知识？”（引导学生说出：圆的周长、圆的面积、扇形面积）“对！今天我们就化身探究家，一起揭开圆与扇形的度量奥秘。”

1.2路径明晰：“我们的探险将分三步走：第一步，‘绳测尺量’，探索圆周长的秘密；第二步，‘化圆为方’，破解圆面积的密码；第三步，‘分而治之’，搞懂扇形面积怎么算。最后，我们再用学到的本领，来攻克‘花坛难题’。大家准备好了吗？”第二、新授环节任务一：揭秘圆周长——“化曲为直”的智慧

教师活动：首先，分发圆形实物和细绳。“不测量，猜一猜，圆的周长可能和它的什么部分有关？”（引导关注直径或半径）。然后示范用“绕绳法”或“滚动法”测量周长，并记录几组“圆的周长(C)”与“直径(d)”的数据。接着提问：“算一算C÷d的比值，你们发现了什么？”组织学生分享结果，引出“这个比值是一个固定的数，我们称之为圆周率π”。最后，介绍祖冲之的贡献，并归纳公式：C=πd或C=2πr。“看，我们把弯曲的边线‘化’成了直的线段来测量，这就是转化！”

学生活动：以小组为单位，选择一种方法实际测量23个不同大小的圆的周长与直径，记录数据并计算比值。观察并汇报发现的规律（比值接近3.14）。聆听数学史介绍，理解π的意义。在教师引导下，共同推导出周长公式。

即时评价标准：①操作是否规范，测量数据是否相对准确；②能否在小组内有效协作，共同完成数据记录与计算；③能否用自己的话表述“周长与直径的比值大致不变”这一发现。

形成知识、思维、方法清单：★圆周率π：一个圆的周长与它的直径的比值，是一个固定的数，用字母π表示，π≈3.14。★圆周长公式：C=πd或C=2πr。核心在于明确公式中每个字母的含义（C周长，d直径，r半径）。▲“化曲为直”思想：将曲线长度转化为可直接测量的直线长度，是解决此类问题的基本思路。教学提示：强调π是一个无限不循环小数，通常取3.14计算，但本质是一个比值。任务二：探究圆面积——“化圆为方”的奇思

教师活动：“周长问题解决了，面积这个‘地盘’怎么量？”启发学生联想平行四边形面积公式的推导（割补法）。分发平均分成16等份的圆形纸片。“我们能把这些近似的‘小三角’拼成以前学过的图形吗？”指导学生动手拼摆（近似长方形）。通过课件动态演示将圆等分成32份、64份……直至无限细分的过程。“大家发现，拼成的图形越来越接近什么？”（长方形）。引导观察：长方形的长≈圆周长的一半（πr），宽≈圆的半径（r）。由此推导：长方形面积=长×宽=πr×r=πr²。“所以，圆的面积S=πr²。这个过程，我们叫它‘化圆为方’。”

学生活动：动手操作，尝试将16等份的圆拼成近似平行四边形或长方形。观察动画演示，理解随着等份增多，拼成的图形越来越接近长方形。在教师引导下，找出拼成后的长方形的长、宽与圆的各部分对应关系，并共同推导出圆面积公式。

即时评价标准：①能否积极参与拼图活动，并尝试建立新旧图形的联系；②能否在观看动画后，清晰地描述“分得越细，越接近长方形”这一变化趋势；③能否准确指出推导出的长方形长、宽与圆周长、半径的关系。

形成知识、思维、方法清单：★圆面积公式：S=πr²。务必明确是r²（半径的平方），而非(πr)²。★公式推导逻辑：圆→分割、拼接→近似长方形→寻找对应关系→推导公式。这是理解的核心。▲“极限”思想初探：体会当等份数量无限增多时，近似图形就变成了精确图形，这是微积分思想的雏形。易错点提醒：计算时最容易出错的就是r²，要区分r²与2r（直径）。任务三：理解扇形面积——“部分与整体”的关联

教师活动：回到导入的花坛图，指出其中一个扇形区域。“这不就是一个圆的一部分吗？我们叫它扇形。谁能上来指一指，扇形的‘样子’由哪几个关键元素决定？”（引导说出：圆心、两条半径、圆心角）。用课件展示不同圆心角的扇形。“想一想，这个扇形的面积，和整个圆的面积有什么关系？猜猜看。”组织学生讨论，引导发现：90°的扇形是圆的1/4，因为90/360=1/4；那么n°的扇形呢？自然得出：扇形面积是圆面积的n/360。因此，扇形面积公式：S_扇形=(n/360)×πr²。“看，我们没学新公式，只是用了一个‘占比’关系，就把问题解决了！”

学生活动：观察不同扇形，认识其构成要素（圆心角、半径）。通过具体例子（如圆心角为180°、90°、60°的扇形）计算其占整个圆的比例，并推测其面积与圆面积的关系。在教师引导下，归纳出通用公式。

即时评价标准：①能否准确识别图形中的扇形并指出其圆心角；②能否通过具体例子，发现扇形面积大小取决于圆心角占360度的几分之几；③能否理解并复述公式的由来，而非死记硬背。

形成知识、思维、方法清单：★扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。★扇形面积公式：S_扇形=(n/360)×πr²，其中n为圆心角度数。▲“部分与整体”的关联思维：这是解决扇形问题的核心——将扇形面积视为圆面积的一部分。教学提示：此公式也可写作S=(1/2)lr(l为弧长)，但本课重点在于与圆面积建立联系。任务四：综合应用——解决“花坛难题”

教师活动：现在，发布完整的花坛数据：花坛半径5米，其中一种花卉的种植区域圆心角为120°。“请各位‘顾问’独立计算：1.护栏长度（周长）。2.扇形花卉的种植面积。完成后，小组内交换检查，重点看看有没有掉进‘陷阱’里。”巡视指导，关注学生是否统一单位、正确使用公式。选取典型解法（正确与错误各一）进行投屏展示，组织学生互评。

学生活动：独立审题，运用所学公式进行计算。完成计算后，在小组内轻声交流答案和解题步骤，互相检查公式使用、计算过程和单位是否正确。参与全班互评，指出展示答案中的优点或错误。

即时评价标准：①能否正确选择并应用圆周长与扇形面积公式；②解题过程是否规范、完整（公式、代入、计算、单位、答）；③在小组互评中能否清晰表达自己的观点，并友善地指出他人的问题。

形成知识、思维、方法清单：★解决实际问题步骤：审题→识别图形（是圆还是扇形？）→选择公式→代入数据→计算→作答。▲计算中的常见“陷阱”：单位不统一（如米和厘米混用）、误将直径当半径代入、r²计算错误、π取值混淆。应用要点：强化数学模型的应用流程，培养严谨的解题习惯。第三、当堂巩固训练

分发分层练习卡，学生可根据自身情况选择完成：

A层（基础巩固）：1.已知一个圆形垫片的半径是4cm，求其周长和面积。2.一个扇形的圆心角是60°，所在圆的半径是6cm，求其面积。

B层（综合应用）：1.一个圆形桌面的直径是1.2米，要给它的边缘包上防撞条，需要多长？如果铺上一块同样大小的玻璃，玻璃面积是多少？2.一张扇形纸片，弧长是所在圆周长的1/3，半径是9厘米，它的面积是多少？

C层（挑战拓展）：计算下面阴影部分的面积（图示：一个等腰直角三角形直角边为6cm，以每个顶点为圆心，直角边长为半径画扇形，在三角形内部形成交叠的阴影区域）。“这道题有点‘烧脑’，需要你仔细分析阴影部分是怎么形成的，敢不敢挑战一下？”

反馈机制：学生完成后，首先进行小组内互批互讲，解决基础性问题。教师随后利用实物投影集中讲评B、C层题目的关键思路和共性错误，重点分析如何分解复杂图形（C层题本质上是扇形面积的组合与重叠）。对选择C层并给出正确解法的学生给予特别表扬。第四、课堂小结

“同学们，今天的数学之旅即将到站。请闭上眼回想一下，这节课我们探索了哪些‘宝藏’？试着用你喜欢的方式（比如画个简单的思维导图或知识树）在练习本上整理一下。”给予12分钟时间，随后邀请学生分享。教师根据学生的梳理，完善板书的知识结构图（圆→周长、面积→扇形面积），并强调“转化”、“极限”、“部分与整体”的思想方法是贯穿始终的金钥匙。

“最后，布置我们的‘数学寻宝’作业：必做部分：完成练习册P1516的基础题。选做部分（二选一）：1.测量一个家中圆形物体（如碗口），计算其周长和面积，并写一篇简短的‘测量报告’。2.设计一个由圆和扇形组成的美丽图案，并计算出图案中一种颜色的面积。期待大家的精彩作品！”六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.直接计算：已知半径或直径，计算指定圆或扇形的周长、面积（共6题，涵盖公式直接应用）。

2.判断改错：给出几道含有常见错误（如单位未统一、用直径求面积等）的计算过程，让学生诊断并改正。

拓展性作业（建议大部分学生完成）：

1.情境应用题：“学校圆形花圃的周长是31.4米，求它的占地面积。若要在其中划出一个圆心角为72°的区域种植月季，月季的种植面积是多少？”

2.动手实践题（测量报告）：自选家中一个圆形物品，测量其直径或半径，计算出它的周长和面积，简述测量和计算过程。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

1.图案设计师：利用圆规和直尺，设计一个由多个圆和扇形组合而成的对称图案（如花朵、风车等），并尝试计算出图案中某一特定部分（如所有花瓣）的总面积。写出设计思路和计算过程。

2.数学小探究：查阅资料，了解除了“割圆术”，历史上还有哪些计算圆周率π的方法？写一份不超过200字的简介。七、本节知识清单及拓展

★圆周率π：约等于3.14，是周长与直径的比值，一个无限不循环小数。记住它是理解所有公式的起点。

★圆周长公式：C=πd或C=2πr。解题前务必看清题目给的是直径d还是半径r。

★圆面积公式：S=πr²。重点注意是r²（半径×半径），计算时先算r²，再乘以π。

▲圆面积公式推导：采用“化圆为方”的转化思想，将圆分割重组为近似长方形进行推导，蕴含极限思想。

★扇形：由圆心角的两条半径和它们所夹的弧围成。圆心角决定扇形大小。

★扇形面积公式：S_扇形=(n/360)×πr²。本质是求圆面积的几分之几。已知弧长l时，也可用S=(1/2)lr。

▲关键思想方法：“化曲为直”（测周长）、“转化与极限”（推面积）、“部分与整体”（求扇形）。

易错点清单：①直径、半径混淆；②r²误算为2r；③单位不统一或遗漏；④求半圆/扇形周长时，忘记加上直径或两条半径。

生活应用链接：车轮转动的距离（周长）、圆桌大小、钟表指针扫过的面积、蛋糕切块、田径场跑道设计等。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从当堂巩固训练和课堂反馈来看，绝大多数学生能准确应用圆周长与面积公式解决基础问题，表明知识目标基本达成。在小组探究和“花坛难题”解决中，约70%的学生能清晰表达推导思路或解题步骤，体现了能力与思维目标的初步落实。数学史的介绍和分层任务的选择，激发了不同层次学生的兴趣与成就感，情感目标有所体现。然而，元认知目标（如使用自查表）的渗透在课堂节奏中略显仓促，需在后续课时中强化。

（二）环节有效性评估：导入环节的生活情境能迅速聚焦问题，效果良好。新授的四个任务环环相扣，逻辑性强。任务一（周长）的动手测量与任务二（面积）的拼图操作，是本节课的“高光时刻”，学生参与度高，对“转化”思想有了切身感受。心里不禁想：“直观体验，果然是理解抽象概念的桥梁。”任务三（扇形）的过渡自然，利用“占比”关系化解了新公式的难度，策略有效。任务四（应用）的即时反馈与互评，促进了知识的消化。但时间分配上，面积公式的推导与讨论耗时稍长，导致最后的综合挑战题（C层）讲