2026年广东省茂名市高三年级第一次综合测试数学（含答案）

2026年茂名市高三年级第一次综合测试

数学参考答案

一、单选题

题号12345678

答案ACABDCBB

二、多选题

题号91011

答案BDBCDBCD

7.【答案】B

2222

【解析】圆O:x+y=1的圆心O(0,0),半径r1=1,圆A:x+y+2x=0的圆心A(-1,0),半径r2=1,PM+

PN≥PO-r1+PA-r2=PO+PA-2,P为直线l:x-y-3=0的动点，O(0,0),A(-1,0),在直线l:x-y-3=

0的同一侧，如图，O(0,0)关于直线l:x-y-3=0对称的点Q(3,-3).故PO=PQ,故PM+PN≥PO+

PA-2=PQ+PA-2≥AQ-2=3.故选B.

y

x-y-3=0

A0

Nx

M

P

Q

8.【答案】B

【解析】注意到a,b,c的选取顺序会影响到a+2b+3c的值，因此从1至13的整数有序地取3个不同的数a,b,c

３

的取法有A１3种．而要使a+2b+3c能被2整除，也就是a+c能被2整除，故a,c同奇偶且a≠c.①若a,c同为奇

２

数，那么从1至13的整数中7个奇数有序地取2个不同奇数的取法为A７,再从余下的11个数中随机取1个数

２

的取法为11,因此这种情形的取法有11A７种．②若a,c同为偶数，那么从1至13的整数中6个偶数有序地取

２２

2个不同偶数的取法为A６,再从余下的11个数中随机取1个数的取法为11,因此这种情形的取法有11A６种．因

此，P(a+2b+3c能被2整除故选B.

10.【答案】BCD

【解析】由题意可知a3≥5,a4≥12,a5≥29,a6≥70,a7≥169,a8≥408,a9≥985,a10≥2378,易知BCD正确．

11.【答案】BCD

ADP<4

【解析】P为侧面ABB11内的动点（包含边界），故当且仅当P与B重合的时候，1max=2、,故A项错误；

如图1,取棱AB的中点P1,则可以证明CM丄平面B1D1P1,P为侧面ABB1A1内的动点（包含边界），且D1P丄

CM,故动点P的轨迹就是线段B1P1,则B1P1=、5为所求，故B项正确；如图2,取棱BB1的中点P2,则可以证明

平面A1D1P2∥平面BCM,P为侧面ABB1A1内的动点（包含边界），则动点P的轨迹就是线段A1P2,当且仅当P

AP-ABCDR=C

与1重合时，四棱锥的外接球的半径最大，此时、，故外接球的体积的最大值为4、π,故项正

确；由PA1+PD1=4,点P在以A1,D1为两焦点，长轴长为4,且绕直线A1D1旋转的椭圆上，又P为侧面ABB1A1

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22-123

内的动点（包含边界），且PA1⊥A1D1,故动点P的轨迹是以A1为圆心，半径为r==的圆的四分之一,如

22

图3,此时，PB的最小值=BA1-r=2、＝，则S△PBC=PB·BC=PB,其最小值为，故D项正确．

故选BCD.

D1D1D1

C1C1

C1

A1A1

B1B1

A1

B1

P

PP

MMP2

D

DCDCC

AA

P1BBAB

图1图2图3

12.【答案】

13.【答案】

【解析】因为方程两根为x=,不妨设两根为x1=-2+bi,x2=-2-bi,则两根在复平面xOy上对应的

点分别为P(-2,b),Q(-2,-b).因为△POQ是等边三角形，则b

14.【答案】

xxx

【解析】f(x)=(x-m)2+2x+2m-4=x(2+2)-m(2x-2)-4=(x-1)(2+2)-(m-1)(2x-2),易知，1是f(x)的一

ｘｘ２ｘ

２２２２２--２

个零点，当x≠1时，f(x)=(2x-2)(x-1)-(m-1)，记g(x)=(x-1),则g(2-x)=(1-x)=

[２ｘ２]２ｘ２２２ｘ２

,所以g(x)的图象关于x=1对称，所以a+c=2,b=1,所以

2

4a2+2b2+c2=4a2+2+(2-a)2=5a2-4a+6=5(a+,所以4a2+2b2+c2的最小值为．

15.解：(1)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA

-

=4+22×2×、×cos=10,

则a=、，

由正弦定理可得

所以

(2)因为sinB+、cosB=2sin(B+=2,

所以sin(B+=1,

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π

因为0<B<,所以B=,

6

3ππ

因为A=,所以B+C=,

44

所以

aa4

由正弦定理可得：=,得,

sinA3π=π

sinsin

46

所以a=4、2,

6-

、、2

又因为sinC=sin,

=4

43-4.

所以△ABC的面积S△ABC=absinC=、

16.(1)证明：解法一：如图1,取PD中点H,连接FH,AH.

因为F是PC的中点，所以HF瓛CD,

又因为AB∥CD,AB=、2,CD=2、2,所以HF瓛AB,

所以四边形AHFB是平行四边形，所以BF∥AH,

又因为AHC平面PAD,BF丈平面PAD,

所以BF∥平面PAD.

P

HF

EG

D

C

AB

图1

解法二：由DA,DC,DP两两垂直，

以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),C(0,2、2,0),B(2,、2,0),

因为E,F分别为PA,PC的中点，所以E(1,0,1),F(0,、2,1),

—→→—

则BF=(-2,0,1),DＣ=(0,2、2,0),

由DC⊥AD,DC⊥PD,PD∩AD=D,PD,ADC平面PAD,

—→

所以DC⊥平面PAD,即平面PAD的一个法向量为DC=(0,2、2,0).

—→—→—→—→

又因为BF·DC=0+0+0=0,所以BF⊥DC,

又因为BF丈平面PAD,

所以BF∥平面PAD.

z

P

F

EG

D

Cy

A

B

x

图2

数学第3页（共6页）

(2)解：存在．

假设线段EF上存在一点G,使得DG⊥平面PBC,

→—→—→—→—→—-

记EＧ=λEＦ(0≤λ≤1),则DＧ=DＥ+λEＦ=(1λ,、λ,1),

→—-→—-

因为BＣ=(2,、，0),PＣ=(0,2、，2),

·n=0,

2ｘ１ｙ1=0,

记平面PBC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则—即

P·n=0,

{{、２ｙｚ１=0,

取x1=1,则n=(1,、，2).

—→

因为DG⊥平面PBC,所以DG∥n,

所以所以

所以

17.(1)解：由条件，可知a1=P(X1=1)=×+×=,

(2)证明：因为P(Xn=0)=1-an-bn,对第n次操作后，由全概率公式得：

所以，

可得

且，则{an}是以为首项、为公比的等比数列，证毕．

(3)解：解法一：由已知得Xn=0,1,2,

由可得

11

同理bn+1=P(Xn+1=2)=P(Xn=1)·+P(X=2)·0+P(X=0)·0=a,

4nn4n

n-1

故当n≥2时，bn=an-1=+.

注意到b1=也满足上式，因此

nn-1

*

因此，数学期望E(Xn)=1·an+2·bn+0·(1-an-bn)=an+2bn=+++=1,n∈N，

所以E(Xn)=1.

解法二：由全概率公式可知

又由可知

当n=1时，E(X1)=1×+2×+0×=1,

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当n≥2=1+2b+0-a-b=+2b=+=1

时，E(Xn)·an·n·(1nn)annanan-1.

综上，E(Xn)=1.

18.解：(1)由c=1,e==有：c=1,a=2.

222

又因为a=b+c,所以b=、，

22

故C:+=1.

(2)(i)∠BFA的平分线在直线x=1上，即kFB+kFA=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+x0(m≠0).

由

所以

所以

所以2m