探究与建构：确定圆的条件-九年级数学教学设计

探究与建构：确定圆的条件——九年级数学教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本节课位于“图形与几何”领域，是“圆”这一主题中承上启下的关键节点。知识技能图谱上，学生此前已掌握了圆的基本概念、对称性，并初步学习了用尺规作线段的垂直平分线。本课的核心在于引导学生在“确定”这一动态建构过程中，从定性感知（无数个、一个）过渡到定量刻画（不在同一直线上的三个点），从而深刻理解“确定圆的条件”即“圆心和半径的唯一确定性”，并掌握其基本应用——三角形的外接圆与外心概念。这为后续学习点与圆、直线与圆的位置关系奠定了坚实的逻辑基础。过程方法路径上，课程标准强调通过观察、操作、猜想、证明来发展学生的几何直观与推理能力。本课天然地成为“数学探究”的优质载体：通过“过一个点、过两个点能否确定圆”的层层设问，引导学生经历“猜想操作验证归纳”的完整探究过程，将合情推理与演绎推理有机结合，体悟数学结论的严谨性与生成性。素养价值渗透方面，本课是培育学生“几何直观”、“逻辑推理”、“数学建模”素养的肥沃土壤。从生活实例（如考古学家根据碎片复原器皿轮廓、工程师定位基站信号覆盖范围）中抽象出数学问题，本身就是一次简化的数学建模；在尺规作图中感受几何图形的精确与和谐，则蕴含着对数学之美的初步感知。

学情研判是实施有效教学的前提。已有基础与障碍方面，九年级学生具备一定的抽象思维和动手操作能力，对圆的性质有直观认识，但将“确定圆”转化为“确定圆心和半径”的思维转换可能存在障碍。学生能熟练使用圆规作给定圆心和半径的圆，但对于“满足特定条件的圆心轨迹”这一动态集合思想较为陌生，这将成为探究两个点确定圆时圆心的位置（线段垂直平分线）的理解难点。过程评估设计将贯穿课堂：在导入环节，通过观察学生对“破碎圆盘复原”问题的初步反应，评估其几何直觉；在探究环节，通过巡视小组操作、倾听讨论，诊断其推理的严谨性与思维的缜密性；在随堂练习中，通过解题思路与答案，反馈其对核心原理的理解深度。教学调适策略上，对于思维活跃的学生，将引导其探究四点、五点共圆的条件，或思考外心在锐角、直角、钝角三角形中位置差异的本质原因；对于需要支持的学生，将提供“圆心到点的距离相等”这一核心等量关系的直观提示卡片，并采用“搭桥式”提问（如“要保证圆过A、B两点，圆心需要满足什么条件？这个条件让你想起了之前学过的什么知识？”）降低思维台阶，确保所有学生都能参与到探究的主航道中。二、教学目标

知识目标：学生能理解并阐述“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一基本事实，明确“确定”的数学含义是圆心和半径的唯一性。能够准确陈述三角形外接圆和外心的定义，并理解外心是三角形三边垂直平分线的交点这一本质属性。

能力目标：学生能够熟练运用尺规作出给定三角形的外接圆，并解释其作图原理。在面对“寻圆心”、“判断点共圆”等实际问题时，能灵活运用确定圆的条件进行分析和推理，发展几何作图与逻辑论证的关键技能。

情感态度与价值观目标：在小组协作探究中，学生能积极倾听同伴见解，勇于表达自己的猜想，体验从混沌到有序、从猜想到定理的数学发现乐趣，感受数学的确定性与严谨美。

科学（学科）思维目标：通过从“过一个点”到“过两个点”再到“过三个点”的阶梯式探究，学生能初步体会“从特殊到一般”、“分类讨论”的数学思想方法。在寻找圆心位置的过程中，强化“轨迹交点法”确定图形的思维策略，提升空间想象与逻辑推理素养。

评价与元认知目标：学生能依据“作图是否规范、说理是否清晰、结论是否完整”的小组互评量规，对他人的探究成果进行初步评价。在课堂小结阶段，能够反思自己在探究过程中遇到的困难及突破方法，梳理知识间的逻辑联系，构建个人化的知识网络图。三、教学重点与难点

教学重点：探究并理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一基本事实，掌握三角形外接圆及外心的概念与作法。其确立依据在于，该事实是圆这一章节中关于圆的存在性与唯一性的核心定理，是连接圆的基本性质与后续复杂位置关系的逻辑枢纽。从中考考查角度看，它既是尺规作图题的重要考点，也是解决与圆相关证明、计算题的基础工具，深刻体现了从“图形的性质”到“图形的变化”的能力立意。

教学难点：对“过两个点能作无数个圆，且圆心在线段的垂直平分线上”这一结论的理解与论证。难点成因在于，学生的思维需要完成两次飞跃：一是从“能作无数个”这一直观结果，逆向思考“这无数个圆的圆心有何共同规律”；二是将“圆心到两点的距离相等”这一几何条件，与已学的“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”这一定理建立联系。这需要克服静态看图形的惯性，建立动态、集合的观点。突破方向在于强化操作感知与几何画板动态演示相结合，引导学生自己“发现”圆心所在的这条“神秘的线”。四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含几何画板动态演示文件：展示过一个点、两个点、三个点作圆的过程，以及外心在三角形内外的动态变化）、圆规、直尺、三角板。

1.2学习材料：设计分层探究学习任务单（含基础作图区、思维挑战区）、当堂分层巩固练习卷。

2.学生准备

复习线段的垂直平分线的性质与尺规作法；每人准备圆规、直尺、铅笔、课堂练习本。

3.环境布置

学生按4人异质小组就座，便于开展合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：“同学们，咱们先来玩个‘破案’游戏。考古学家发现了一个古代陶罐的三块碎片（课件展示三个孤立的弧形碎片），他们能据此推断出这个陶罐完整的口沿是圆形，并复原其大小吗？再想想，生活中，要安装一个圆形井盖，至少需要测量井口的几个点才能确保严丝合缝？”这两个问题一抛出，立刻就能把生活与数学拉近。“大家凭直觉说说看，几个点能‘锁定’一个圆？”

1.1建立联系与路径预览：学生会有各种猜想，一个、两个、三个……教师顺势引导：“光靠猜可不行，数学讲究有理有据。今天，我们就化身数学侦探，拿起手中的工具——圆规和直尺，通过一系列探究实验，亲手找出‘确定圆的条件’。我们的探索将从最简单的‘过一个点’开始，逐步增加难度，最终破解谜题。”第二、新授环节

本环节以“支架式教学”推进，设计五个环环相扣的探究任务，引导学生主动建构。任务一：过一个点，能作多少个圆？

教师活动：教师在白板上标记一个点A。“侦探行动开始！第一个任务：过平面内这一个已知点A，你能作出多少个圆？请大家立刻动手试试，边作边思考。”巡视全场，关注学生操作，并挑选几位学生在白板上展示他们作出的不同大小的圆。“好，大家停一下。我看到小王同学画了一大一小两个圆，小李同学画了更多。来，分享一下你的发现和思考过程。”

学生活动：学生独立用圆规尝试过点A作圆。通过不断改变圆规两脚（半径）的距离并定点旋转，直观感受到可以作出无数个大小不一的圆。尝试用语言描述发现：“只要以点A以外的任意一点为圆心，以该点到A的距离为半径，就能画出一个过A的圆，所以有无数种可能。”

即时评价标准：1.操作是否规范、有序（能否有目的地改变半径作圆）。2.结论描述是否准确（“无数个”）。3.解释是否触及本质（圆心和半径都不固定）。

形成知识、思维、方法清单：★结论1：过平面内一个点，可以作无数个圆。▲认知提示：这是因为圆心和半径这两个确定圆的要素均未受限，有无限种选择。这培养了从“存在性”和“唯一性”角度思考问题的意识。任务二：过两个点，能作多少个圆？圆心在哪里？

教师活动：“看来一个点‘管不住’一个圆。升级难度：请过已知点A和点B作圆。大家分组试试看，能作出几个？并仔细观察，你所作的这些圆的圆心，有没有‘排队’站在什么特殊的位置上？”这是关键转折点，教师需深入小组，用启发性问题引导：“想想看，要让圆同时经过A和B，圆心O需要满足什么条件？（OA=OB）这个条件熟悉吗？它让你想起了哪条线？”对于快速得出结论的小组，可追问：“如何用尺规精确找到所有满足条件的圆心位置？”

学生活动：小组合作探究。先尝试作出几个过A、B两点的圆，直观感知有无数个。进而思考圆心特征：因为圆要同时过A、B，所以圆心到A、B的距离必须相等。由此联想到“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，从而猜想圆心都在线段AB的垂直平分线上。部分学生会尝试用尺规作出AB的垂直平分线，并在其上取点作为圆心进行验证。

即时评价标准：1.能否从“作圆”操作逆向思考“圆心满足的条件”。2.能否将几何条件（OA=OB）与已学定理（垂直平分线性质）建立有效关联。3.小组讨论中，是否每位成员都能理解并参与推理过程。

形成知识、思维、方法清单：★结论2：过平面内两个点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上。★核心思想：确定圆的条件探究，本质是寻找满足“到点的距离相等”的圆心位置（轨迹）。当条件不足时，圆心形成一条线（轨迹）；这是“轨迹交点法”确定图形的生动体现。任务三：过三个点，情况会怎样？

教师活动：呈现三种情况的点组：1.不在同一直线上的三点A、B、C；2.在一条直线上的三点D、E、F。“挑战最终关卡！现在，请分别对这两组三点进行探究，尝试作圆，看看结论有何不同。特别注意，当三点共线时，为什么圆‘消失’了？”教师利用几何画板动态演示，在第一种情况下拖动一点，展示外接圆始终存在；在第二种情况下，展示无论如何调整，都无法找到同时到三点距离相等的点（圆心）。

学生活动：分组选择一种或两种情况进行深入探究。对于不共线三点，学生尝试找到到三点距离相等的点（圆心）。他们会自然运用任务二的结论：既要满足在AB的垂直平分线上，又要满足在BC的垂直平分线上。因此，圆心必须是这两条垂直平分线的交点。通过尺规作图，找到交点O，以OA为半径作圆，验证圆确实过第三点C，从而成功“确定”一个圆。对于共线三点，通过类似分析，发现两条垂直平分线平行或无交点，无法确定圆心，故不能作圆。

即时评价标准：1.能否综合运用前两个任务的结论进行推理（圆心需同时满足两个轨迹条件）。2.尺规作图寻找交点（圆心）并作圆的过程是否准确、规范。3.能否清晰解释三点共线时不能作圆的原因（圆心不存在）。

形成知识、思维、方法清单：★核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。▲易错点：定理前提是“不在同一直线上”，三点共线则圆不存在。★方法升华：将复杂问题（过三点）分解为已解决的子问题（过两点找圆心轨迹），通过寻找多个轨迹的交点来确定唯一解，这是解决几何问题的通用策略。任务四：定义三角形外接圆与外心

教师活动：“我们刚刚完成的伟大工程——过一个三角形三个顶点作的这个圆，在数学上有专门的名字，叫作这个三角形的‘外接圆’。而这个由两条垂直平分线交点确定的圆心，则叫作三角形的‘外心’。请大家在任务单的三角形上标出外心O，并写出定义。”随后提问：“外心有什么性质？（到三角形三个顶点的距离相等）这个性质在解题中非常有用。”

学生活动：理解并识记外接圆、外心的概念。在图形上进行标注，并用自己的话复述外心的性质（OA=OB=OC）。思考外心在三角形内、上、外的不同情况，与三角形形状（锐角、直角、钝角）的关系。

即时评价标准：1.能否准确复述定义，并指出图形中的对应元素。2.能否理解外心性质是确定圆的条件在三角形语境下的直接推论。

形成知识、思维、方法清单：★概念建构：经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心。★外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。▲思维拓展：外心是三角形三边垂直平分线的交点，其位置与三角形的形状密切相关，这为后续学习埋下伏笔。任务五：基础作图——尺规作三角形的外接圆

教师活动：“现在我们都是理论上的专家了，能不能当一回‘施工员’，规范地作出一个任意三角形的外接圆？请总结出清晰的作图步骤，并和同桌互相讲解、检查。”教师示范关键步骤，强调作图痕迹的保留。

学生活动：独立完成给定三角形的外接圆尺规作图。总结步骤：1.作三角形任意两边的垂直平分线，找到交点O（外心）。2.以O为圆心，O到任一顶点的距离为半径作圆。同桌间互相口述步骤并检查作图结果。

即时评价标准：1.作图步骤是否清晰、有序。2.垂直平分线作法是否规范，交点（圆心）定位是否准确。3.最终作出的圆是否恰好经过三个顶点。

形成知识、思维、方法清单：★技能程序：尺规作三角形外接圆的标准化步骤。▲原理回溯：每一步操作背后的数学原理（垂直平分线性质、交点唯一性、半径相等）。强调“言之有据”的数学作图习惯。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，提供即时反馈。

基础层（全员过关）：1.判断题：“过两点可以确定一个圆。”（考查对“确定”的理解）“任意一个三角形都有唯一的外心。”（考查定理应用）2.如图，已知△ABC，利用尺规作图找出其外心（不要求写作法，保留作图痕迹）。

综合层（大多数学生达成）：1.如图，A、B、C三个村庄计划合建一座广播站，要求到三村的距离相等。请用数学方法确定广播站P的位置。2.已知平面内四个点，你能否快速判断它们是否在同一个圆上？说说你的思路。（引导学生思考：先取其中三点确定一个圆，再验证第四点是否在此圆上）

挑战层（学有余力）：1.探究：直角三角形的外心位置有何特殊性？（位于斜边中点）请证明你的结论。2.思考：要确定一个圆，除了“不在同一直线上的三个点”外，还有哪些等价条件？（如直径两端点、一条弧等）

反馈机制：基础题通过全班举手或互批快速统计；综合题请学生上台讲解思路，教师点评并提炼方法；挑战题作为课后思考或小组研究课题，下节课分享。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与反思。“同学们，我们的侦探之旅即将到站。谁来用一张图或几句话，梳理一下我们今天是如何一步步‘揪出’确定圆的条件的？”鼓励学生用思维导图形式，从“一个点→无数圆”到“两个点→无数圆（圆心在垂直平分线上）”，最终到“不在同一直线上的三个点→唯一圆（外心）”，形成知识链。

“回顾整个过程，最关键的思想方法是什么？（从特殊到一般、轨迹交点法）你最大的收获或困惑是什么？”通过元认知提问，促进学生反思学习过程。

作业布置：必做（基础）：课本对应习题，巩固外接圆作图与简单应用。选做（拓展）：（1）查找资料，了解“外心”在导航、定位等科技中的应用实例。（2）探究：如何找到破损圆形工件（已知弧上三点）的圆心？写下你的方案。六、作业设计

基础性作业（全体必做）：1.完成教科书本节后配套的基础练习题，重点练习根据“确定圆的条件”进行简单判断和三角形外接圆的尺规作图。2.整理课堂笔记，用自己理解的语言复述“确定圆的条件”及三角形外心性质。

拓展性作业（鼓励完成）：设计一个实际情境问题，例如：“小明要在班级墙上布置一个圆形照片墙，他已经钉好了三颗不在一条直线上的钉子作为固定点，请问他该如何确定圆形背板的圆心和半径？”要求写出解决问题的具体步骤和其中蕴含的数学原理。

探究性/创造性作业（自主选做）：1.数学探究：研究四边形何时有外接圆（四点共圆的条件），收集并初步了解相关判定方法（如对角互补）。2.跨学科联系：以“圆形在人类文明与科技中的应用”为主题，制作一份小型海报或PPT，从数学（确定圆的条件）、物理（匀速圆周运动）、工程（圆形建筑结构）等角度任选其一进行简要阐述。七、本节知识清单及拓展

1.★确定圆的条件（基本事实）：不在同一直线上的三个点确定一个圆。解读：“确定”意味着存在且唯一，即圆心和半径是唯一确定的。这是全课的逻辑核心。

2.★过一点作圆：过平面内一个点，可以作无数个圆。原因：圆心和半径均未受限。

3.★过两点作圆：过平面内两个点，可以作无数个圆。这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上。原理：圆心需满足到两点距离相等（OA=OB）。

4.▲轨迹思想的初步渗透：当条件只限制圆过两个点时，满足条件的圆心形成一条线（轨迹——线段的垂直平分线）。这是解析几何思想的萌芽。

5.★三点共线的情况：如果三个点在同一直线上，则无法确定一个圆（不存在到三点距离相等的点，即圆心）。

6.★三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。

7.★三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

8.★外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

9.★外心的位置：外心是三角形三边垂直平分线的交点。这一性质是作图和证明的基石。

10.▲外心位置与三角形形状的关系：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。可作为趣味结论了解。

11.★尺规作三角形外接圆步骤：①作三角形任意两边的垂直平分线，交于点O；②以点O为圆心，OA（或OB、OC）长为半径作圆。所作的⊙O即为所求。

12.▲方法提炼：轨迹交点法：要确定一个满足多个条件的图形，可先找出满足单个条件的元素轨迹，这些轨迹的交点即为满足所有条件的解。本课是该方法（交轨法）的经典案例。

13.▲易错点提醒：说“三点确定一个圆”时必须加上前提“不在同一直线上”。定理中的“确定”兼具存在性与唯一性，缺一不可。

14.▲生活与科技链接：确定圆的条件在考古复原、机械加工（找圆心）、卫星定位（三颗卫星二维定位原理）等领域有广泛应用，体现了数学的工具价值。八、教学反思

（一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成，绝大多数学生能准确叙述定理并完成基础作图。从课堂问答和巩固练习反馈看，“确定”一词的数学含义（唯一性）被大部分学生所理解，但仍有少数学生与“存在性”混淆，需在后续练习中强化辨析。能力目标方面，学生的动手操作与直观探究环节表现活跃，但在从操作现象到逻辑论证的转换上，部分小组依赖教师或组内优生的提示，独立完成推理链条的能力有待加强。情感与思维目标在热烈的探究氛围中得到了较好落实，学生体验到了发现的乐趣。

（二）环节有效性评估导入环节的生活实例迅速激发了兴趣，提出的核心问题贯穿始终，效果良好。新授的五个任务构成了逻辑严密的认知阶梯，任务二（过两点找圆心轨迹）是整个探究的“承重墙”，此处预留了充足的操作与讨论时间，并借助几何画板动态演示，有效突破了难点。心里不禁回想：“当学生自己‘看见’圆心排成一条线时，他们眼中的光亮是最真实的反馈。”当堂巩固的分层设计满足了不同需求，但时间稍显紧张，挑战层题目的交流不够充分。小结环节的学生自主梳理比教师的单向总结更有价值。

（三）学生表现深度剖析在异质小组中，思维活跃的学生