素养导向的差异化教学设计：去分母解一元一次方程（浙教版七年级数学上册）

素养导向的差异化教学设计：去分母解一元一次方程（浙教版七年级数学上册）一、教学内容分析  本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中隶属于“数与代数”领域，要求学生“掌握等式的基本性质”“能解一元一次方程”。本课是解一元一次方程五种基本方法的收官之笔，其核心在于引导学生运用等式的基本性质，将含有分数系数的一元一次方程转化为整数系数的方程，从而化繁为简、化归为已学模型。从知识图谱看，它既是对“等式性质”与“移项、合并同类项、去括号”等已有技能的综合运用与高阶统整，也为后续学习二元一次方程组、分式方程及一元一次不等式的解法提供了关键的思想方法——“转化与化归”。过程方法上，本课是开展“数学建模”与“数学运算”素养培养的绝佳载体。通过从生活或数学内部情境中抽象出含分母的方程，引导学生经历“观察结构发现障碍制定策略实施转化求解检验”的完整探究过程，体会数学的理性思维与程序之美。素养价值层面，求解过程中的“寻找公分母”、“不漏乘”等要求，是培养学生运算能力、严谨求实的科学态度与逻辑条理性的重要契机，使“一丝不苟、步步有据”的理性精神在具象操作中得以内化。  学情研判需立体多维。知识储备上，学生已熟练掌握了等式的基本性质，并能利用移项、合并同类项、去括号解系数为整数的一元一次方程，这为学习新知奠定了坚实基础。然而，潜在障碍亦不容忽视：其一，认知层面，从处理整数系数到处理分数系数，学生需跨越“去分母”这一新的操作步骤，易与“去括号”步骤混淆顺序或产生漏乘；其二，技能层面，寻找各分母的最小公倍数并对每一项进行“整体性”乘运算是思维难点，部分学生可能出现只乘方程一边或只乘含分母项的错误。为此，教学中将通过前测性问题（如：求解方程2x1=5与(2x1)/3=5/3）动态评估学生转化思想的萌芽状态，并预设“脚手架”：对理解有困难的学生，提供具体数字的类比引导（“如果方程x/2=3两边同乘以2，会发生什么？”）；对思维敏捷的学生，则挑战其解释每一步变形的算理依据，并设计含多重括号与分母的复杂变式题，满足其深度探究的需求。二、教学目标  知识目标：学生能准确叙述“去分母”解法的依据是等式的基本性质2，并能依据方程的具体结构，正确确定各分母的最小公倍数。他们能清晰、有条理地写出包含“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”这五个步骤的完整求解过程，理解每一步骤的目的与前后逻辑关联，最终形成对解一元一次方程一般方法的整体性认知。  能力目标：学生能够独立、熟练地解系数为分数的一元一次方程，具备较高的运算准确率。在面对含有分母的一元一次方程时，能自主规划求解路径，选择合理的运算策略，并养成自觉检验解的正确性的习惯。进一步发展从特殊到一般、化归转化的数学思维能力。  情感态度与价值观目标：在探究去分母必要性的活动中，激发学生克服复杂问题的信心与兴趣。通过小组协作与解法互评，培养学生严谨、细致的运算习惯和批判性思维的意识，体会数学解题中的程序性与秩序美，认识到“规范化”操作对于保证结果正确的重要性。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的“化归”思维与“算法”思维。引导他们将“解含分母的方程”这一新问题，通过“去分母”这一关键操作，化归为已经解决的“解整数系数方程”的旧问题。在归纳一般步骤的过程中，体验将具体操作流程抽象为普适性算法的数学建模过程。  评价与元认知目标：引导学生建立解一元一次方程步骤的自我检查清单。能够依据“是否找到最小公倍数”、“是否每一项都乘以公倍数”、“去括号是否变号”、“移项是否变号”等关键点，对本人或同伴的解题过程进行评价与修正，并反思在运算中常出现的错误类型及规避策略。三、教学重点与难点  教学重点：探究并掌握利用等式基本性质去分母，从而将方程转化为整数系数方程的解法和完整步骤。其确立依据在于，从课程标准看，“去分母”是解一元一次方程这一“大概念”下的核心技能点，是完成方程求解的关键转化步骤。从学科能力体系看，它是综合运用等式性质、整数运算、分配律等知识的枢纽，其掌握的熟练度与准确度直接决定了解方程的最终成效，是后续学习更复杂方程的基础，也是中考等学业水平测试中考查运算能力的常见考点。  教学难点：一是准确、无遗漏地确定各分母的最小公倍数，并依据等式性质对方程的每一项进行乘法运算；二是在多步骤解题过程中保持清晰的思路和书写的规范性，避免步骤混淆或符号错误。难点成因在于，运算步骤的增多对学生的注意力分配、短时记忆和程序化执行力提出了更高要求。“去分母”步骤中“整体性乘以公倍数”的认知要求，与学生早期形成的“一项一项单独处理”的思维定势存在冲突，易产生漏乘常数项的错误。突破方向在于强化算理理解，通过可视化（如用括号将分子整体括起）和对比错例，深化对“等式两边同时乘以同一个数”的全局性认识。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含方程变形动画、分层任务卡、典型错例展示台）；实物道具（若干张可拼接的分数条模型，用于直观演示“整体乘以公倍数”后分母的消除）。1.2文本材料：分层学习任务单（含前测、探究指引、分层练习）；小组合作讨论卡；课堂总结反思便签。2.学生准备2.1知识预备：复习等式的基本性质及解一元一次方程（移项、合并、去括号）的步骤。2.2学具：练习本、草稿纸、红蓝双色笔（用于订正与标注）。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于开展合作探究与互评。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：同学们，我们之前已经能熟练解开很多方程的“锁”了。今天，老师带来了一把看似更复杂的“锁”：方程(x+1)/2=(2x1)/3+1。大家观察一下，它和我们之前解的方程最大的不同在哪里？对，分母！这些分母像一道栅栏，挡住了我们直接运用移项、合并的道路。难道我们就被难住了吗？古人云：“天下难事，必作于易”，我们能不能想办法把这些“栅栏”拆掉，把它变成我们熟悉的模样呢？1.1提出核心问题与唤醒旧知：我们的核心挑战就是：如何解含有分母的一元一次方程？回想一下，我们解方程的终极武器是什么？没错，是等式的基本性质。性质2告诉我们：等式两边乘同一个数，结果仍相等。这个性质有没有可能帮助我们“搬走”分母呢？比如，面对一个简单的方程x/3=4，你会怎么做？大家都想到了两边同乘以3。那么，对于更复杂的分母，这个思路能否推广？本节课，我们将化身“方程整形师”，一起探索“去分母”的奥秘，并归纳出一元一次方程的“通用解法说明书”。第二、新授环节任务一：从具体到一般，探究去分母的必要性与可行性1.教师活动：首先，出示方程(x2)/5=3与x2=15。提问：“大家猜猜看，这两个方程的解相同吗？为什么？”引导学生直观感受它们可能是等价的。接着，聚焦第一个方程：“能否利用等式性质，让它‘变成’第二个方程的样子？我们该对两边同时做什么运算？”等待学生说出“乘以5”。追问：“为什么是乘以5？乘以其他数可以吗？乘以5后，左边(x2)/5×5会怎样？右边3×5呢？”通过课件动画演示乘以5后分数分母与5“相约”的过程，强调是对(x2)这个整体进行的运算。最后，将方程变为(2x1)/3=(x+3)/2：“现在有两个分母了，3和2，如果想同时‘搬走’它们，两边该同乘以什么数？”引导学生思考“6”（最小公倍数），并初步体验“同时乘”以消去所有分母的思想。2.学生活动：观察教师给出的方程对，进行猜想并尝试说明理由。针对具体方程，思考并回答教师的连续追问，理解“同乘以分母”背后的算理。在遇到双分母方程时，与同伴小声讨论应同乘以哪个数最合适，并尝试口头描述变形过程。3.即时评价标准：1.能否正确判断两个方程的解是否相同，并联系等式性质进行解释。2.能否针对含分母的方程，提出“两边同乘以某个数”的转化思路。3.在讨论双分母方程时，能否想到寻找分母的最小公倍数作为乘数。4.形成知识、思维、方法清单：★去分母的核心目的：将系数为分数的方程转化为系数为整数的方程，化陌生为熟悉，化繁为简。这是化归思想的典型体现。（教学提示：要不断向学生强调，我们去分母不是为了增加步骤，而是为了简化问题。）★去分母的基本依据：等式的基本性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等）。（教学提示：这是所有变形合法性的根源，必须时刻牢记。）▲可行性分析：对于方程A/B=C（B≠0），两边同乘以B，即可得A=B×C。对于多个分母，需寻找一个能“通分”所有分母的数。任务二：明晰算理，理解“最小公倍数”与“整体性相乘”1.教师活动：板书方程：(3x1)/2(x+2)/3=4。提出问题链：“1.这个方程有几个分母？它们的最小公倍数是多少？2.根据性质2，方程两边应同乘以多少？3.左边有两项，乘以6时要注意什么？”针对问题3，这是难点所在。用彩色粉笔将(3x1)/2和(x+2)/3分别圈起，强调它们各自是一个整体。讲解并板书：“方程两边同乘以6，得：6×[(3x1)/2]6×[(x+2)/3]=6×4”。然后问：“6×[(3x1)/2]怎么算？可以把6看成6/1，利用分数乘法法则，相当于(6/1)×(3x1)/2=[6×(3x1)]/(1×2)=3(3x1)。看，分母2是不是被‘消去’了？”让学生同步计算第二项和右边。最后将过程简化为：“去分母，得：3(3x1)2(x+2)=24”。总结口诀：“方程两边同乘最小公倍数，每一项都要乘，分子是多项式时，记得添上括号哦！”2.学生活动：跟随教师的问题链，积极思考并回答。观察教师的圈画和板书，深刻理解“整体性相乘”的含义。动手尝试计算6×[(x+2)/3]，验证是否能得到2(x+2)。与同桌互相讲解“为什么常数项4也要乘以6”。3.即时评价标准：1.能否快速准确地找到多个分母的最小公倍数。2.能否理解并复述“每一项都必须乘以公倍数”的原则。3.在教师示范后，能否独立完成一项“去分母”的简化计算。4.形成知识、思维、方法清单：★去分母的关键操作：确定各分母的最小公倍数，方程两边每一项都乘以这个公倍数。（教学提示：这是避免漏乘错误的生命线，可通过错例反复强化。）★易错点警示（一）：当分子是多项式时，去分母后，原分子必须作为一个整体加上括号。因为乘以公倍数后，它将成为下一步“去括号”的对象。（教学提示：板书时用彩色粉笔添加括号，形成视觉强调。）▲算理的深化理解：去分母的本质是分数的基本性质与等式性质的联合应用。方程两边同乘公倍数，相当于对所有项进行“通分”，而公倍数恰能使所有分母化为1。任务三：完整求解，归纳一般步骤1.教师活动：承接任务二得到的方程3(3x1)2(x+2)=24。提问：“现在方程变成我们熟悉的样子了吗？接下来该怎么做？”引导学生回顾已学步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1。请一位学生上台板演后续过程，其他学生在任务单上完成。教师巡视，关注去括号时的符号问题和移项的正确性。板演完成后，组织学生共同检验解的正确性。最后，带领学生回顾从原始方程到最终解的全过程，用流程图或思维导图的形式共同归纳解一元一次方程的一般步骤：“一去（分母）、二去（括号）、三移（项）、四合（并同类项）、五化（系数为1）”，并强调“检验”是必不可少的环节。2.学生活动：独立或与同伴讨论，完成“去分母”之后方程的求解。观察同伴的板演，检查其每一步的规范性与正确性。参与归纳总结，将一般步骤记录在笔记的关键位置。口述检验过程。3.即时评价标准：1.能否流畅、准确地进行去括号、移项、合并等后续操作。2.解题书写是否规范、工整、步骤清晰。3.能否主动进行口头或笔头的代入检验。4.形成知识、思维、方法清单：★解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→检验。（教学提示：这五个步骤是通用算法，但需根据方程具体结构灵活运用，有时某些步骤可能不需要。）★检验的意义与方法：将求得未知数的值分别代入原方程的左右两边，计算是否相等。这是确保解题正确的最后一道关口，也能有效帮助发现运算中的错误。（教学提示：培养学生“逢解必检”的习惯。）▲程序化思维：归纳一般步骤的过程，是将具体经验提升为抽象算法的过程，是数学建模思想的初步体验。清晰的步骤有助于降低思维负荷，提高解题效率。任务四：辨析错例，深化理解1.教师活动：出示23道典型错例（如：去分母时漏乘常数项；去分母后分子是多项式忘记加括号；去括号时符号错误等）。提问：“这些解法哪里出了问题？请你来当‘小医生’，诊断病因并开出‘处方’。”组织小组讨论，然后请小组代表发言。教师最后进行总结，将常见错误类型进行归类，并再次强调正确做法。2.学生活动：以小组为单位，热烈讨论错例中的错误点及其原因。尝试用准确的语言描述错误，并提出修改方案。倾听其他小组的“诊断报告”，补充或完善自己的观点。3.即时评价标准：1.能否准确识别错误类型并分析其根源（是对算理不理解还是粗心所致）。2.能否给出正确的修正步骤。3.小组讨论是否全员参与，能否吸纳不同的见解。4.形成知识、思维、方法清单：★易错点警示（二）：去分母时，常数项或整数项容易被遗漏乘以公倍数。切记：方程中的每一项，包括单独的数字，都必须参与运算。（教学提示：可比喻为“雨露均沾”。）★易错点警示（三）：去括号时，若括号前是负号，去掉括号后括号内每一项都要变号，这是分配律的体现，也是高频错误点。▲批判性思维的培养：分析错例不仅是避免自己犯错，更是深化对算理和规则理解的过程。通过“诊错”，学生的思维从“知道怎么做”向“明白为什么不能那样做”迈进。任务五：灵活应用，解决情境问题1.教师活动：呈现一个简单的情境问题，例如：“一本书，小明第一天读了全书的1/4，第二天读了剩下的1/3，还剩60页。这本书共多少页？”引导学生用方程解决问题。提问：“如何设未知数？等量关系是什么？根据等量关系列出的方程，其形式可能是怎样的？”预计学生可能列出含分母的方程x(1/4)x(1/3)(x(1/4)x)=60。引导学生先简化方程，再求解。此任务旨在连接数学与现实，展示去分母解法的应用价值。2.学生活动：阅读问题，尝试设未知数、寻找等量关系并列出方程。在教师引导下，尝试化简并求解方程。感受用数学工具解决实际问题的完整过程。3.即时评价标准：1.能否正确设立未知数和建立等量关系。2.列出的方程是否合理。3.能否有耐心和信心处理列出的、可能略显复杂的方程。4.形成知识、思维、方法清单：★数学建模的微过程：从实际问题中抽象出数学问题（设元、列方程），然后求解数学问题（解方程），最后解释实际意义（答题）。去分母是求解环节的关键技术之一。▲方程选择的多样性：针对同一问题，可能列出不同形式的方程。鼓励学生尝试不同的等量关系列方程，并比较解法的繁简，体会优化策略。第三、当堂巩固训练  设计分层练习题组，学生根据自身情况选择完成，鼓励挑战更高层次。A组（基础巩固，人人过关）：1.解方程：(1)(x+1)/3=2(2)(2y1)/5=(y+2)/2B组（综合应用，大多数学生完成）：2.解方程：(1)(x3)/2(2x+1)/3=1(2)(0.1x0.2)/0.02(x+1)/0.5=3（提示：先利用分数基本性质将小数系数化为整数）C组（思维挑战，学有余力者选做）：3.若方程(2x1)/3=(x+a)/21的解是x=4，求a的值。4.思考：解方程(x1)/0.3x/0.7=2，观察分母是小数，如何运用今天所学思想将其转化？  反馈机制：学生独立练习时，教师巡视，进行个别指导。完成后，通过投影展示A组题的规范解答，学生自批或互批。B组题请学生上台讲解思路，重点讲清去分母时的思考过程。C组题组织简短讨论，由教师或优秀生点明逆推思想和处理小数分母的“化小数为整数”策略，拓宽思维。第四、课堂小结  知识整合：“同学们，经过一堂课的探索，我们终于攻克了含有分母的方程这座堡垒。现在，请大家闭上眼睛，在脑海里‘放电影’，回顾一下今天我们探索的完整路径：从遇到障碍（有分母）→思考策略（利用等式性质）→明确方法（找最小公倍数，两边同乘）→规范操作（逐项乘、添括号）→完成求解（五步法）→检验应用。”邀请学生用一句话或几个关键词分享本节课最大的收获。  方法提炼：“我们不仅学会了一种新的解法，更体验了‘化归’这一强大的数学思想——把不会的转化成会的。解方程的‘五步法’就像一套组合拳，让我们面对任何一元一次方程都能心中有谱，手中有法。”  作业布置与延伸：1.必做作业（夯实基础）：课本对应练习中，关于去分母解方程的基础题5道。2.选做作业（拓展延伸）：1.寻找生活中的一个可以用含分母的一元一次方程模型解决的问题，并尝试列出方程（可不解）。2.尝试解方程：(x1)/21=(2x+3)/5，并思考能否有不同的解法顺序（如先移项合并再去分母）？比较优劣。  “今天我们是‘方程整形师’，明天我们将运用这些工具去解决更复杂的实际问题。下课！”六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.2.解下列方程：(1)(x)/5=3(2)(2x1)/3=5(3)(x+2)/4(2x3)/6=12.3.（设计意图：巩固去分母的基本操作和一般步骤，确保全体学生掌握核心技能。）4.拓展性作业（建议完成）：1.5.解方程：(0.5x0.7)/0.3(0.3x+0.1)/0.2=1。2.6.一个数的一半比它的三分之一多5，求这个数。（列方程并求解）3.7.（设计意图：将去分母技巧应用于小数系数方程和简单实际问题，促进知识迁移和综合应用能力。）8.探究性/创造性作业（选做）：1.9.数学小论文（提纲）：标题《“去分母”的前世今生》。内容建议：①为什么要去分母？（从数学简洁美的角度谈）；②去分母的依据是什么？（深刻阐述等式性质2）；③在去分母的操作中，最容易在哪个环节犯错？如何避免？（结合自己的练习经验）；④除了解方程，你还能想到“去分母”思想在其他数学知识中的应用吗？（如分式运算、比例问题等）。2.10.（设计意图：引导学生进行深度反思与知识关联，培养元认知能力和初步的数学写作与探究能力。）七、本节知识清单及拓展★1.去分母解法的定义与地位：指利用等式性质，消去方程中分母的运算步骤。它是解一元一次方程通用五步法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）中的第一步，也是将复杂方程化归为简单形式的关键转化步骤。★2.去分母的核心依据：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，左右两边仍然相等。这是所有方程变形合法性的根本保证。★3.去分母的具体操作方法：找：找出方程中各分母的最小公倍数（最简公分母）。乘：方程两边每一项都乘以这个最小公倍数。约：分数线上下的数进行约分，从而消去分母。注：若分子是多项式，乘完后应给该分子加上括号。★4.解一元一次方程的一般步骤（算法）：“一去二去三移四合并五化一”，即：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。务必养成最后检验的习惯。▲5.最小公倍数的确定技巧：对于数字分母，直接求最小公倍数；若分母中含有字母参数，则最小公倍数通常为各分母的乘积（在后续分式方程中深入）。★6.易错点聚焦（一）：漏乘。去分母时，切记方程中的每一项都要乘以公倍数，包括常数项。例如，方程x/2+1=3，去分母得x+2=6，而非x+1=6。★7.易错点聚焦（二）：忘添括号。当分子是多项式时，去分母后，原分子必须作为整体加上括号，否则会影响后续去括号的符号。如：(x1)/2去分母后应为(x1)，但若不加括号，在2(x1)/2简化后直接写成x1看似结果对，但思维过程不严谨，在复杂方程中易出错。规范写法是(x1)。▲8.化归思想在本课的应用：将“解含分母的方程”（新问题）转化为“解整数系数方程”（已解决的旧问题）。这是数学中解决问题的基本策略之一。▲9.小数系数方程的处理策略：若方程分母为小数（如0.3,0.2），可先利用分数的基本性质，分子分母同乘以10的幂，将小数化为整数，然后再去分母。这体现了“化未知为已知”思想的灵活运用。★10.检验的必要性与方法：将求得的解代入原方程的左右两边，分别计算数值。若左边=右边，则解正确；若不等，则需检查求解过程。这是验证结果、排查错误的有效手段。▲11.解方程步骤的灵活性：一般步骤是通用流程，但并非僵化不变。对于某些特殊方程，可能调整顺序会更简便。例如，方程(x1)/21=(x+2)/3，也可以先移项合并常数项，再去分母。鼓励学生在掌握通法的基础上探索优化。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和巩固练习反馈，约85%的学生能独立、规范地完成去分母解方程的基本操作，并能口述主要步骤。能力目标方面，学生在任务五的情境列方程环节表现出一定差异，部分学生列方程仍显生疏，这说明将实际问题数学化的能力培养需要更长期的渗透。情感与思维目标上，通过探究活动和错例辨析，学生对化归思想有了直观感受，严谨细致的运算意识在“诊断错例”环节被显著激发。  （二）核心环节有效性评估导