太奇mba数学全部笔记

MU年哀毒mnn数学全部笔记

1.备考资料：

①基础讲义②数学高分指南③太奇模考卷+周测+精选500题+历年真题

2..两个教训：

A、不要死抠题，要有选拦的放弃，舍得一定的机会成本。每年都会有难题，考试时不要随

便尝试死盯住一题不放。

B、一定要找巧妙的方法〔例如，特殊值法、看题目中条件间的关系等)

3、基础知识

①基本公式：

(1)(4±〃)2=/±2"+从

(2)(a±b)3=a3±3a2b-i-3ab2±Z?3

(3)(a-b)(a-]-b)=a2-b2

(4)a3=(。±力(/减力口4人+〃2)

(5)(a+Z?+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac-\-2bc

a2+b2+c2-^ab-i-ac+be=2(a2+/??+c2+ab+ac+be)

(6)|,、

=-[(a+h)2+(a+c)2+S+c)2]

②指数相关知识：

a"=a,。…a(n个a相乘)an=-^-a'n=\[a"

若aNO,则土，I为a的平方根，

指数基本公式：

am•an=am+n

,m-n

WAS

③对数相关知识:

对数表示为10g：(a>0且aW1,b>0)

当a:10时，表示为Igb为常用对数;

当a=e时，表示为Inb为自然对数。

有关公式：Log(MN)=logM+logNlog—=logm-logn噌:=£嘀

n

④有关充分性判断：题型为给出题干P,条件①S,②S?

若S1=>P,而52户”则题目选A若S|K>P,而S2np则题目选B

若3nP,而S2np则题目选D

但p+SQP则题目选。

若S]w>P,而S2w>P

S,+S2^>P则题目选E

形象表示：

①V②

x(A)

①X②

V(B)

①X②

①②X①②联(合)立J(C)

V

①②V(D)

X

X①②联(合)立X(E)

特点：

(1)肯定有答案，无“自检机会”、“准确性高”

(2)准确度

解决方案：

(1)自下而上带入题干验证(至少运算两次)

(2)自上而下，(关于范围的考题)

法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真”

图像法，尤其试用于几何问题

第一章实数

(1)自然数：

自然数用N表示(0,1,2-----------)

‘正整数z+

⑵整数Z,0

.负整数Z-

(3)质数和合数：

质数：只有1和它本身两个约数的数叫质数，注意：1既不是质数也不是合数

最小的合数为4,最小的质数为2：10以内质数：2、3、5、7；10以内合数4、

6、8、9。

除了最小质数2为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对

除了2以外的正偶数均为合数，反之则不对

只要题目中涉及2个以上质数，就可以设最小的是2,试试看可不可以

Eg：三个质数的乘积为其和的5倍，求这3个数的和。

解：假设3个质数分别为m、m2、nh。

由题意知：niim2nh=5(iri+m2+m3)一欠定方程

不妨令ni3=5,则mim2=mi+ni2+5

m时一m「1112+1=6

(mrl)(012-1)=6=1X6=2X3

则mi-l=2,012-1=3或者mi-1=1,m2-l=6

即mi=3,nu=4(不符合质数的条件,舍)或者皿=2,碓=7

+

则nii+m2ni3=140

★小技巧：考试时，用20以内的质数稍微试一下。

(4)奇数和偶数

整数ZJ奇数2n+l

1■偶数2n

相邻的两个整数必有一奇一偶

①合数一定就是偶数。［X)②偶数一定就是合数。(X)

③质数一定就是奇数。(X)④奇数一定就是质数。(X)

奇数偶数运算：偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;奇数土奇数=偶数

奇数*奇=奇数；奇*偶=偶；偶*偶二偶

合数=质数*质数*质数*...........*质数

例：12=2*2*3=22*3

(5)分数：

",当p〈q时为真分数，p2q时为假分数，带分数(有整数部分的分数)

q

⑹小数:

B、无理数（+—X+）无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数；无理数♦非零有理数二

无理数

eg.如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（X）。如，0和2-0。

C、有理数（+一）无理数二无理数，非零有理数（X+）无理数二无理数

（8）★连续k个整数之积可被k!整除（k!为k的阶乘）

（9）被k（k=2,3,4——）整除的性质，其中被7整除运用截尾法。

★被7整除的截尾法：截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的2倍，所

得结果若是7的倍数，该数就可以被7整除

同余问题

被2整除的数,个位数是偶数

被3整除的数。各位数之和为3倍数

被4整除的数,末两位数是4的倍数

被5整除的数,个位数是0或5

被6整除的数,既能被2整除又能被3整除

被8整除的数,末三位数之和是8的倍数

被9整除的数,各位数之和为9的倍数

被10整除的数，个位数为0

被11整除的数，奇数位上数的和与偶数位上数的和之差（或反过来）

能被11整除

被7、11、13整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或

反过来）能被7、11、13整除

第二章绝对值（考试重点）

1、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的

穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集

要求：（l）x系数都要为正

（2）奇穿偶不穿

2、实数a的绝对值的几何意义：数釉上实数a所对应的点到原点的距离

【例】充分性判断f(x)=l只有一根

(1)f(x)=|x-l|(2)f(x)=|x-l|+l

解：由(1)f(x)=|xT|=l得x-l=±l两根

由(2)f(x):|xT|+l=l得|xT|二O,一根答案：(B)

3、基本公式：|x|<a<=>-a<x<a|x|>aox>a或x〈-a|x|=a<=>x=±a

4、几何意义的扩展：|x|表示x到原点的距离

|x-a|表示x到a(两点)的距离

Ix-a|+|x-b|表示x到a的距离与x到b的距离之和，并且有最小值

a-b|,没有最大值，当x落入a,b之间时取到最小值

|x-a|-|x-b|表示x到a的距离与x到b的距离之差，并且有互为相反

数的最小值-la-b|和最大值|a-b|,当x在a,b两点外侧时取到最小值与最大值

5、性质:

对称：互为相反数的两个数的绝对值相等

等价：(1)।ai=47(升次)

应用：/一々1二4(1一巧尸二J(百+々)2-4工/2

।.2_2

(2)=a~(去绝对值符号)

aa>0

(3)=|a|=

-aa<0

非负性(重点)：归纳具有非负性的量

2।

\a\>(\a2……/〃2(),/……>()

11__1_

-2—4—2〃、22n

ciM......a>0；a,a5.......a>0

6、重要公式囚二二二fx>0

x|x|[-x<0

回+粤+1£1一半!有几种取值情况？

【例】a,b,c都为非零实数,

abcabc

讨论：两正一负：2

两负一正：-2

三正2

三负-2

7、绝对值不等式定理

★三角不等式：|。|一|6区|a+Z?凶。|+|加形如三角形三边关系

左边等号成立的条件：出?W0且以加

右边等号成立的条件：ab>0

第二章整式和分式

一、内容提要

败单项式：若干字母与数字之积

、［多项式：若干单项式之和

2、乘法运算

(1)单项式X单项式2x•3X2=6X3

(2)单项式X多项式x(2x-3)=2x2-3x

(3)多项式X多项式(2x+3)(3x-4)=6x2+x-12

3、乘法公式(重点)

(1)(a±b)2=a2±2ab+b2

(2)(«+Z?+c)2=a2+b2+c2+2ab-^-2bc+2ac

(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab-¥2bc-2ac

(3)(a+=/+〃，+3a2b+3时

(a-b)3=a3-b3-3a2b+3ab2

(4)a2-b2=(a+b)(a-b)

(5)a3+Z?3=(a+b)(a2-ab+b2}

a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2)

AA

4、分式：用A,B表示两个整式，A+B就可以表示成一的形式，如果B中还有字母，式子一

BB

就叫分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在解分式方程的时候要注意检验是

否有增根

5、有理式：整式和分式统称有理式

6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的

值不变

7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式

8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式

9、分式的运算：

、…a.ca±c,cad±be

加减法：一±一=----±-=-------

bbbdbd

_..aac

乘法：-

hd~bd

acadad

除法:—：—=一•一=—

bdbcbe

乘方：.宁

10、余式的定义(重点)：被除式=除式X商+余式

F(x)=f(x)g(x)+r(x)

当r(x)=0时，称为整除

11、/(X)含有因式。/(幻能被(工-。)整除

12、二次三项式：十字相乘可以因式分解

ci

13.因式定理

I

f(x)含有(ax-b)因式。f(x)可以被(ax-b)整除。f(一)=0

a

f(x)含有(x-a)因式Of(a)=0

14、余式定理：

f(x)除以ax-b的余式为f(2)

a

二、因式分解

常用的因式分解的方法

1、提公因式法

【例】

2x3-12x2y2+18xy4

=2x(x2—6xy2+9y2)

=2x(x-3y2)2

2、公式法

a2±2ab4-b2=(a±b)2

a2-b2=(a4-b)(a-b)

a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

3、十字相乘因式分解，适用于◎?+历:+。，见上面第12小点

4、分组分解法

(1)eve+bx+c十字相乘

(2)ax'+bx+c了解内容

(・

方法：or，-\-bx-\-c-ax'+bxx+b2x+c=x(ax'+4)+b、(x+一)或

b2

3

ax'+bx+c=ax'+bx-\-c^+c2=ax+c,~Zz¥+c2

⑶o?+bx2+c,设/=d将原式化为2+的+°

(4)ax3+bx2+c

方法一、拆中间顶

322

=ax+Z?)x+b2x+c

22

=x(ax+/?1)+[b2x+c)

方法二

32

=ar4-c]4-Zzr+c2

立方公式平方差

ex：2x3-13x2+3=2A3-x2-12x2+3

(5)ax'+bx+c

方法—、办〉+-dx3+bx+c

方法二，+dx2-dx1+bx+c

(6)待定系数法(见讲义24页)

多项式4广+《1乂5+.•…+4X+4=0的根为旬的约数除以勺的约数

(7)双十字相乘法

应用：ax~+by~+cxy+cbc-\-ey-\-f

=（4式+4y+＜）（外戈+&）'+人）

其中=。，岫?=b,fxf2—f

砧2+a2bl=c,%于2+M=d，hfi+4/=

经典例题：

1.实数范围内分解(工+1)(/—6)(/一51+16)0+1)(工+2)(工+3)(工+4)—120有(B〕：

A.(x4-l)(x-6)(x2-5x+16)

B.(x-l)(x+6)(x2+5x+16)

C.(x+l)(x+6)(x2-5x+16)

D.(x-1)(x+6)(f+5x-16)

E.以上都不对

解答：用特殊值代入得B

2.已知。儿:工0且a+O+c=O,则^(―+-)+/?(—+—)+c(—+—)=(A)

bcacab

A.-3B.-2C.2D.3E.以上全不对

A1、,1111

〃(丁+-)+bZ(-4一)+c(—+-)=

bcacab

2+(空)+(£+》=

bcacab

田田c\,b。、cb、

解答：(:+:)+(一■<■-)+(z—।­)=

bbccaa

/4+c、，〃+>、力+c、

(——)+(——)+(——)=

bca

—h—c—Cl

(—)+(—)+(—)=-3

bc

第三章比和比例

一、基本定义

1.比a\b=—

b

2.关系

(1)原值为a,增长了P%,现值为a(l+P%)

原值为a,下降了P%,现值为a(l-P%)

如果原值先增加吃，减少多少可以恢复原值

、P%

a(l+P%)(l-x)=ax=———<P%

1+P%

如果原值先减少P%,增加多少可以恢复原值

00/

a(l-P%)(l+x)=ax=-----——>P%

1-P%

(2)比较大小

甲比乙大p%,=里六=p%二甲=乙（i+p%）乙比甲小忌

乙

乙比甲大庆

甲比乙少P%,O=P%。甲=乙（1-P%）

乙

甲比乙多n个单位=甲=乙+n

（3）甲是乙的P%,u>上二P%o甲二乙・P%

乙

3比例:

67：Z?=C：t/<=>—=—

bd

a:b=b:cb为a、c比例中项

4.正比

y=kx（k可正可负）

二、性质

a:b=c:d<=>ad=bc内项积=外向积

三、重要定理

acab

1.更比定理一=一<=>—=—

bdcd

2.反比定理-=-<^>-=-（两边取倒数）

bdac

、人一aca+bc+d.

3.合比定理一=一0----=-----（两边加1,通分）

bdbd

4.分比定理-=—=（两边减1,通分）

bdbd

「八八一aca±mca±c

*5.合分比定理一二1=------=-----

bdb±rndb±d

a+c+ea

*6.等比定理

b+d+f~b

【例】a,b,c为非0实数，旦史上工_a+c-3b_a+b-3c

m求m

abc

（l）当a+b+cwO时

由等比定理，分子分母同加减，得m=T

（2）当a+b+c=O时a+b=-c代入原式，得m=-4

陷阱在分母的取值，要分开讨论

7.增减性（比较大小）a,b,m均大于0

a+tna八、

若色〉1则-----<-(/z«>0)

bb+mb

,ia+ma,、八、

若O<，1则m----->—(m>0)

bb+mb

四、平均值

1、算术平均值:

-X.+X-,+...+X,

X=———---------j=l

nn

2、几何平均值

要求是n个正数，则/二也洛…龙”=(|口%

Vi=l

五、平均值定理

X,+x2+...+X”

1、当且仅当为二/=…=七时，两者相等

2、n=2时，-----Nab

2

3、当。二一，ciH—22

bci

六、比较大小的方法：

1、整式作减法，与。比较大小2、分式作除法，与1比较

技巧方法：1、特值法2、极端法(趋于0或无穷大)

【例】—：—=—且a+b+c=27,求a-2b-2c

abc234

由题意可知，a:b:c=2:3:4,“十0+'=2+3+4=?,可得联6,b=9,c=12

a22

算出a-2b-2c=-36

第四章方程不等式

一、基本定义：

1、元：方程中未知数的个数次：方程中未知数的最高次方数

2、一元一次方程

Ax=b得X=2

a

3、一元二次方程

4/+bx+c=0(aW0)<=>■元二次方程a『+bx+c=。,因为一元二次方程就意味着dHO。

当△:从-4ac>0时，方程有两个不等实根，为X1广一"石。

…2a

当△=//_4ac=0时，方程有两个相等的实根。

当△="-4ac<0时，方程无实根。

一元n次方程根的情况：一元二次方程中带根号的根是成对出现的，一元三次方程至

少有一个有理根，或者说奇数次方程至少有一个有理根

二、重要公式及定理

1、一元二次方程ax2+bx+c=O的解法

(1)因式分解：十字相乘(△为完全平方数)

(2)求根公式X-二—Z?+〜X/A

L-2a

2、抛物线y=o?+bx+c图像的特点及性质

y=o?+bx+c(抛物线)，则①开口方向由a决定：a〉0时，开口向上，a<()时，开口向

b

下②c决定与y轴的交点③对称轴x=2cj对称轴左右两侧单调性相反④两根决定了与

@(_±4〃c-J

X轴交点⑤IX1二时代表抛物线在X轴上截取的长度⑥顶点坐标2〃'4a

⑦当△》()时，有两个不等实根，△=(),有两个相等实根，△<()时，无实根⑧恒正：a>0,

A<0；恒负：a<0,A<0

三、根与系数关系(韦达定理)

bc

X+工>=--,XyX-,=一

如果林毛是加+笈+c=0的两个根，则一a-a,注意：韦法定

理不仅对实根是适用的，对虚根也适用

韦达定理的扩展应用：

一、11x+x,b.丁“

(1)—十—=———=一一与a无关

x,x2xxx2c

22

11_(^1+x2)-2X1X2_b-2ac

2

/2(X]X2)

2

IX-羽1=+X2)-4X]X2=变

HI

222

(4)X,4-X,=(X)+)-2x1x2

3322

X1+X2=(X14-x2)(x(-XX+X2)

(5)x2

二(%+%)[(须+々)2—3%工2]

考试题型

1、题型•a^+Ax+c-O的根的分布情况

bc

(1)有两个正根x+x>=——>0,xx^=—>0,A>0

ax-a

hc

(2)有两个负根为+占=—<0,xx=—>0,A>0

ay2~a

(3)—正一负根x,x=-<0即a和c异号即可；

2a

如果再要求I正根|>|负根I，则再加上条件a,b异号：

如果再要求I正根|<|负根I，则再加上a,b同号

(4)一根比k大,一个根比k小af(k)<0

2、对数方程，不等式的应用

方程：log，')=log/)<=>f(x)=g(x)>0

不等式：a>l时log,3>log尹)<=>f(x)>g(x)>0

0<a<l时log:"，<log："'Of(x)>g(x)>0

指数相关知识：…a(n个a相乘)一]&二而

对于加，若n为正偶数，则a>0；若n为正奇数，则a无限制；若n为负偶数，则£>0；

若n为负奇数，则a/0。

若a20,则土6为a的平方根，负数没有平方根。

指数基本公式：(a)”二,"『二/「"其他公式查看手册

题型三、韦达定理的应用

不等式

不等式的性质：

1、同向皆正相乘性

■=>ac>bd

c>d>0

2、皆正倒数性

/7>/?>()<^>—>—>0

ba

a>b>0]ab

3、bn—>一

c>d>0\dc

4、a>b>O=>a2>b2

不等式解集的特色：解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。

一、一元一次不等式

ax+b'

①ax<-b若，a>0时x<—

a<0Mx>一一

②cix>—b若，a>0时)>--

a<0时---

2x+l।2x4-1

--------<1移向通分得:

3x-23x-2

(3-x)(3x-2)<0

二、含绝对值的不等式

|3x+2|<1—1<3x+2<1

|3x+2|>13工+2>1或3工+2<-1

三、一元一次不等式组

2x+3>0

34

<3x—2<7解得《x<3f—<x<—

25

5x-4<04

x<—

34

25

|x+l|+|2x-3|<10

临界点为T,

③

②

①

3

-1-

2

8

①x〈T时，解得—<x<—1

3

33

②TWxW二时，解得TWxW」

22

③时，-<x<4

22

Q

合并①②③得，一2<尤<4

3

性质：1.a>b>0,a2>b1

2.a<b<0,a2>bl

四、•元二次不等式

cve+bx-\-c>0(aw0)

注：将系数调整为正数后在求解

2

®ax+bx+c>0时，a>0时，x>x2ix<x]

②or?+法+。<()时，a>0时，x]<x<x2

解高次不等式：

(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)>0或<0

注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点;

奇次方不考虑全看为一次。

(x+l)2(x-l)(x-2)3(X-3)<0

▲类似于|ax+b|±|cx+d|〉e的不等式，可以分段讨论，但计算量大，这时使用折线法，限

于一次方程，步骤如下：

①根据ax+b=O,cx+d=O求出折点

>(),向上折

•=0,水平

+<0,向下折

一些图像的画法

y=|ax+b|,下翻上，把原下方图像上翻后去掠原下方

y=|ax+b,右翻左，把右边翻到左边，去掉原来左边的

|y|=ax+b,上翻下,原来下方去掉

五、超级不等式：指数、对数问题

(1)对数的图像要掌握

方程：log')=log：")of(x)=g(x)>0

不等式：a>l时logf(x)>log：⑺of(x)>g(x)>0单调递增

0<a<l时log："<log^A,Of(x)>g(j)>0单调递减

对于〃"若n为正偶数，则a20；若n为正奇数，则a无限制;

若n为负偶数，则a>0；若n为负奇数，则a工0。

若a20,则士6为a的平方根，负数没有平方根。

第五章应用题

一、比、百分比、比例

(1)知识点

利润:售价-进价利润:出厂价-成本

利润变化量

利润率二变化率=

进价(成本)

技巧（思路）思维

方法：特值法

如果题目中出现必需涉及的最，并且该最不可最化，则此显一定对结果无影响。可引入

一个特殊值找出普遍规律下的答案。

1、用最简洁最方便的量作为特指

2、引入特指时，不可改变题目原意

3、引入两个特值时需特别注意，防止两者间有必然联系而改变题目原意

讲义P131/例20

一般方法：

y=5()

L90x+75)，=50x81

十字相交法：优秀

优=2

人数比W3

非优秀759

3

非优=$50=30

十字交叉法的使用法则

1、标清量

2、放好位（减得的结果与原来的变量放在同一条直线上）

3、大的减小的

题型归纳

I.增长率（变化率问题）2.利润率3.二因素平均值4.多比例问题

5.单量总量关系6.比例变化7.比例性质

二、工程问题（总量看成1）

（1）知识点

工量=功效*工时（效率可以直接相加减）

工量定时，工效、工时成反比

工效定时，工量、工时成正比

工时定时，工量、工效成正比

纵向比较法的使用范围：

如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用

纵向比较法的使用法则：

1、一定要找到可比较的桥梁

2、通过差异找出关系并且利用已知信息求解

工程问题题型：

效率计算;纵向比较法;给排水问题；效率变化问题

三、速度问题

知识点：

1.S=vt

S表示路程（不是距离或位移），v匀速，t所用时间

S定，V、t成反比；V定，s、t成正比；t定，S-.V成正比

2.相遇问题

Sr-t--------------

S为相遇时所走的路程;S相遇=sl+s2=原来的距离;V相遇=vl+v2

r_s.遇

相遇时所用时间匕《迪

3.追击问题

S追击:sl-s2（走的快的人比走的慢的人多走的路程）

V追击=vl-v2

4.顺水、逆水问题

V顺二v船+v水

V逆=\，船-v水（V顺-V逆=2v水）

160160_?2

例16.公共汽车速度为v,则有vv+805得丫=40；最好用中间值代入法

中间值代入的适用范围：

往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最有效的方法

是中间值代入法，而回避解一元二次方程。

使用法则：

用中间值代入而非中间答案

同等条件下用最简洁最方便的代入

如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。

例17.(4+60)6=(48+崛)7得以二24

4+60)6=(%+24)8得％=39

例20.第一次相遇：小明走了500,小华走了S-500；

第二次相遇:小明走了S+10小小华走了ST00

500S+100

=>S=900

S-5OO-S-1OO

第一次相遇：小明和小华走了S；第二次相遇：小明和小华走了2s

说明第二次2个人走的都是第一次的2倍;对于小明来说：S+100=2X500=S=900

例21.设船速v,水速x,有

12080

----+---=16

V+XV-：

60120

----+----=16八

V+XV-X解得x=2.5

速度问题题型总结：

l.s=vt(中间值代入法)

2.S相遇=sl+s2,V相遇=vl+v23.顺水逆水问题

四、浓度问题

溶质

知识点：定义：浓度二溶液溶液二溶质+溶剂

溶质=浓度x•溶液

溶质

溶液二溶度

例24.属于补水(稀释)问题

(x-20)・60%

第一次剩下纯：(X-20).60%浓度：x

(x-20)・60%(x-20)・60%

第二次倒出纯：x30剩下纯：(X-20)・60%_30x

(x-20)・60%

浓度为：[(X-20)・60%—30x]/x=20%=>x=60

通用公式:

原浓度(v-a)电32=后浓度

倒两次:

原浓度(v-a)(v-b)(v-c)

=后浓度

倒三次:

v为原来溶液的量，a为第一次倒出的量，b为第二次倒出的量

题型归纳；

浓度计算；补水问题

五、画饼问题

1.两饼相交

总二A+B-x+y

例25.设只有小提琴人数为5x,则总人数=46=22+5x+3x-3x+14得x=2

只会电子琴的=22-6=16

2.三饼相交

总二人+1，+0乂-丫-7+111

例28.总=3・3°一5-6—8+3=74

六、不定方程

1.最优化方案选择的不定方程；2.带有附加条件的不定方程

3.不等式形式的不定方程

步骤：

1.要勇敢的表达出方程；2.观察方程和附加条件拉关系；3.求解（穷举法）

例27.设一等奖，二等奖，三等奖人数为a,b,c,则有

abc（a,b,c为正整数）

6a+3b+2c=22

9a+4b+c=22得a42接着穷举法

当a=l时，b=2,c=5

当a=2时，不符题意

最优化方案选择题目的解决方案：

1、找到制约最优的因素•1稳，准，狠）；2、判定什么情况下最优；3、求解

不等式形式的不定方程解决方案：

列出不等式

通过不等式组求出解得范荆

根据附加条件判定具体解集

例29.东欧＞2/3欧美=欧美＜15个

欧美＞2/3总数=总数＜3/2欧美=总数少于21

亚太＜1/3总数=＞总数＞18

七、阶梯价格问题

图表型、语言描述型

做题步骤：1.分段找临界；2.确定区间；3.设特殊部分求解

例30.

少于1万1万-1.5万1.5万-2万2万-3万3万-4万

0125150350400

125+150+350+xM脏770x=3625

第六章数列

一、等差数列

4用一%=常数，则｛〃“｝为等差数列，公差d二常数

1、通项公式

=%+(〃-k)d起始项不是第一项，

=力?+(勾一〃)关于n的函数，说明等差数列通项是关于n的一次函数，公差为n的

系数。

注：4=3是等差数列，为常数列，通项就是该常数，常数列是数列题特值法的首选,

已知

赢

求S儿就是脚码乘以一个数，5I3=13-X

二、等比数列

等比数列通项是关于n的指数函数，

【补例】%=、3”是等比数列,q=3-^=-3

n2,,+1214

_3.3〃T

~4-2n-,

5=^[)=_a1——生为一定有常数项的指数函数。

“\-q\-q\-q

*如果一个数列既是等差乂是等比数列，则该数列为非零常数列

数学思想

1、定性排除加反向验证；

2、首选特值法和图像法；

3、充分性判断先猜后做。

【补例】5=一7+11〃

4=5,d=-2

有最大值，在对称轴处取得，"=£，即S$=$6=S最大值

总结：S“=/(〃)=十"对称轴：〃=

4>0/<0,S.有最大值：4<0,d>0,S〃有最小值

N的取值四舍六入，例：

(1)n=5,S5有最值

(2)n=5.1,S$有最值,

(3)n=5.6,$6有最值，

(4)n=5.5,S$=S6有最值，且5]]=0,。6=。

总结：

(1)。〃为n的一次函数

(2)S”为n的无常数项的二次函数

(3)若｛〃”｝为常数列，%退化为常数，S”退化为n的一次函数，如4=3,S.=3〃

【补例】｛〃“｝,圾｝前n项和为S.7,则$9：/=3：2

⑴｛4｝，｛〃｝为等差数列

(2)4()=3:2

利用S=脚码*中间项，选C

【补例】等差数列中Sg=72,求生+4+%=

S9=9•%=72,%=8

%+%+%=3%=24

3"33

【补例】。“二是等比数列，=

2〃+i

33n-,33丫7

4.2"T4⑵

S=4（i——生“，为一定有常数项的指数函数。

“\-q\-q\-q

【补例】5“=2〃-1是等比数歹U

【补例】S“=-31”不是等比数列，需要配一个常数

13+g,常数与系数相反数，夕囚=一；的等比数列

S

n=~2⑵

注：S“=2〃不是等比数列，但是只影响第一项，从第二项开始与S〃=2"—1所代表的等差

数列的第二项开始完全相等。

]2sfi]

【补例】（）9-01-11,%—0,%=5，%=2S：]，贝叶晨]是

A、首项为2,夕=；的等比数列；B、首项为2,q=2的等比数列

C、既非等差又非等比；D、首项为2,d的等差数列

2

2s

E、首项为2,d=2的等差数列\-5,,-.=—,万能公式

23”一I

2S：_S._2S5T+S〃_=2S/

--2+—=0

S”_|s”答案选E

±--L=2

S"S〃_]

总结:

（1）々〃为n的指数函数（2）S”为n的有常数项的指数函数，且系数相反

⑶若｛。〃｝为非0常数列时，可退化为常数，s”退化为n的一次函数，如%=4=该常

数，S“=叫

（4）既成等差数列又成等比数列的一定是非0常数列

［补例］等差数列，3as=7%o,且q＜（）,则S”最小

A、S1或B、兀C、几D、S15E、以上都不对

3%=7%o,3（q+4J）=7（q+9d）

3=-二〃=:一^=［一?=13.2所以n取13,答案选C

d42d24

三个数成等差：a-d,aya+d

二个数成等比：a,aq,aq?,（一,a,aq,分式未必好处理）

q

四个数成等差：。一乩凡。+乩。+2”，（。一曲出■必+d3，对称，但公差为2”，

易错）

四个数成等比：',a,aq,aq，,对称，但公比为/,易错）

qqq

总结:

等差数列等比数列

1、定义

。2凤=（1

2、通项

q=q+(7?-lW

4=am+(n-m)da"=a"F

3、通项公式技巧

a'="+（%―/）

（《是关于n的一次函数）（为是关于n的指数函数）

_〃(4+〃”)

4、前n项和公式S”

“一2q2

Sit=nay+H^d

"2

」(1T)

i-q

q=\，s"=

5、S”技巧s“=万〃+（4一万）/s.=乌——

n\-q\-q

关于n的无常数项的二次函数

关于n的有常数项的指数函数

、角码规律

6m+n=k+t=2xrn+n=k+t=2x

4”-4=%+q=2%a,uan~akat~ax

74、b、C成等差，则/?=4+C