湖北省孝感市2026届高三上学期第一次统一考试 数学试卷

湖北省孝感市2026届高三第一次统一考试数学试题一、单选题1．下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（

）A． B． C． D．2．设全集，集合，则中元素个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（

）A．2 B． C．4 D．64．设数列满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．15．若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（

）A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（

）A． B． C．6 D．107．已知正实数x，y满足，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．12 D．168．已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（

）A．存在，使得B．存在，使得与圆C相切C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值二、多选题9．关于定义域为的函数，下列说法正确的有（

）A．存在函数，使得恒成立B．存在函数，使得恒成立C．存在函数，使得恒成立D．存在函数，使得恒成立10．若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（

）A． B．该三棱锥的表面积为C．该三棱锥外接球的体积为 D．异面直线，所成角的余弦值为11．曲线，，下列说法正确的是（

）A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上B．若曲线C表示双曲线，则其离心率C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点三、填空题12．函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则．13．已知数列为等比数列，，公比，是数列的前n项积．若，则n的最小值为．14．某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为．四、解答题15．已知函数（），且．(1)求在点处的切线方程；(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．16．2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：参赛县ABCDE宣传费用x（万元）23456现场观众人数y（百人）1922242728(1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．17．如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．）

(1)求曲线的方程；(2)矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点．（ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值；（ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上．18．已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积．19．已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时，；③对，均有，且．(1)用表示；(2)判断的单调性，并证明你的结论；(3)已知数列满足，求数列的前n项和．

参考答案1．A【详解】．故选：A2．C【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素.故选：C.3．C【详解】因为代入，得，故准线为，点到抛物线的焦点的距离等于点到准线的距离，所以，故选：C4．A【详解】因为，且，所以，，所以数列的周期为2，故故选：A5．D【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心，所以，，即，，所以，所以.故选：D6．B【详解】中，由余弦定理得，又，所以，所以，记边上的中点为M，因为，所以，所以.故选：B7．B【详解】因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时取等．故选：B8．D【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误；对于B：直线，令则，所以直线过定点，又因为，即在圆C内，所以直线与圆C相交，所以B错误;对于C：若两弦长相等，则，所以，所以或，所以或，所以C错误对于D：直线，令，则，所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确.故选：D9．BC【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为，因,故为偶函数，为奇函数，而为奇函数，为偶函数，故AD错误，令，可得，，故BC正确.故选：BC10．ACD【详解】由题意三棱锥为棱长为1的正四面体，对于A：因为在正四面体中，M为中点，所以，，又，平面，所以平面，平面，所以，所以A正确；对于B：因为正四面体每个面都是边长为1的正三角形，所以此正四面体的表面积为，所以B错误；对于C：把该正四面体放在正方体中，如下图所示：

设该正方体的棱长为，则有，所以该正方体的对角线长为，所以该正方体外接球的半径为，即该正四面体外接球的半径为，所以该正四面体外接球的体积为，所以C正确；对于D：因为，所以，又，所以异面直线，所成角的余弦值为，所以D正确.故选：ACD11．ABD【详解】A：将点代入方程左边：由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确.B：曲线方程可改写为：，当时，即，此时方程为：，即标准双曲线形式：，其中，，双曲线离心率公式：，所以B正确.C：因为，所以，方程为：，是椭圆标准形式，可得：，，因为，所以，故，焦点在y轴上，所以C错误.D：将直线代入曲线方程：，展开：，整理成关于的二次方程：，根据判别式：，化简得：，因为，所以恒成立,方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点.所以D正确故选：ABD12．【详解】根据题意可知，则可得，令，即，解之可得或，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以可知，，所以.故答案为：13．26【详解】由题意，所以，由，可得，则有，解得或，又n为正整数，所以n的最小值是26．故答案为：2614．【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有种，和为5的倍数的情况有：①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共种；②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共种，③三个编号都相同5，5，5共1种，所以中奖的概率，由题意，所以X的数学期望．故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）因为且，所以，所以，所以，所以，所以切线方程为，即为；（2）由条件可知，，因为，令，因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以，所以函数在上的值域为.16．(1)分布列见解析，(2)，预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人【详解】（1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以的可能取值为1，2，3，，，，所以分布列如下：123P所以；（2）由题意，，，，所以，，所以y关于x的线性回归方程为，当时，（百人），故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人．17．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）设点M的坐标为，点的坐标为，则点I的坐标为由得，，所以，因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是：（2）（ⅰ）由题意，点，，，所以直线方程为由得所以由得所以由相似得（ⅱ）证明：由题知：，，，，直线方程：直线方程：联立直线方程和直线方程，得，所以代入直线方程得所以所以所以，点L在椭圆上.18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取中点Q，连接，，则，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，则，又平面，平面，所以平面；（2）以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量为，由，，又平面的一个法向量为，平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为；（3）取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面，所以四边形为梯形，设，则平面，平面，所以平面平面，所以直线，所以直线，直线，直线共点S，所以为三棱台，显然为体积较小部分，因为，