5.3.2三角函数的诱导公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

高中数学必修第一册 -PAGE1-§5．3．2三角函数的诱导公式导学目标：(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）．（预习教材P130~P135，回答下列问题）回忆：诱导公式（一）——（四）诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）思考：我们知道，，，那么我们可否得到和相等呢？请设计一个证明方法？【知识点一】诱导公式（五）——与的三角函数关系（1）如下图：给定一个角，借助于单位圆，请作出角的终边与角的终边；（2）设角的终边与单位圆的交点坐标为，请写出角的终边与单位圆的交点的坐标；（3）根据三角函数的定义，分别写出角与角的三角函数值，看看有何结论．结论：诱导公式（五）自我检测1：；．【知识点二】诱导公式（六）——与的三角函数关系你能根据所学的知识，推导出诱导公式（六）自我检测2：；．【知识点三】六组诱导公式的作用与记忆方法(1)诱导公式（一）～（六）揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．正确使用诱导公式，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：(2)这六组诱导公式可归纳为“”的三角函数值与的三角函数值之间的关系．当为偶数时得角的同名三角函数值，当k为奇数时得角的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为：奇变偶不变，符号看象限．题型一诱导公式的推广【例1-1】根据所学的知识，你能推导出与的结果吗？题型二利用诱导公式求值【例2-1】若，且，________．【例2-2】已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，求的值．题型三已知角和所求角间的关系——角的变换【例3-1】已知，且，求的值．【例3-2】已知，求的值．【例3-3】求的值．1．化简：()A．B．C．D．2．已知，则的值等于（）A．B．C．D．3．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是()A．B．C．D．4．的值为________．5．已知，则．§5．3．2三角函数的诱导公式答案导学目标：(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）．（预习教材P130~P135，回答下列问题）回忆：诱导公式（一）——（四）诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）思考：我们知道，，，那么我们可否得到和相等呢？请设计一个证明方法？【知识点一】诱导公式（五）——与的三角函数关系（1）如下图：给定一个角，借助于单位圆，请作出角的终边与角的终边；（2）设角的终边与单位圆的交点坐标为，请写出角的终边与单位圆的交点的坐标；（3）根据三角函数的定义，分别写出角与角的三角函数值，看看有何结论．结论：诱导公式（五）自我检测1：；．【知识点二】诱导公式（六）——与的三角函数关系你能根据所学的知识，推导出诱导公式（六）自我检测2：；．【知识点三】六组诱导公式的作用与记忆方法(1)诱导公式（一）～（六）揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．正确使用诱导公式，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：(2)这六组诱导公式可归纳为“”的三角函数值与的三角函数值之间的关系．当为偶数时得角的同名三角函数值，当k为奇数时得角的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为：奇变偶不变，符号看象限．题型一诱导公式的推广【例1-1】根据所学的知识，你能推导出与的结果吗？【答案】；．题型二利用诱导公式求值【例2-1】若，且，________．【答案】因为cos(π＋α)＝－eq\f(\r(10),5)，所以cosα＝eq\f(\r(10),5)，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(15),5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝eq\f(\f(\r(10),5),\f(\r(15),5))＝eq\f(\r(10),\r(15))＝eq\f(\r(6),3)．【例2-2】已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，求的值．【答案】因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，所以a2＋eq\f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以原式＝eq\f(cosα＋2cosα,－2sinα)＝－eq\f(3,2)·eq\f(cosα,sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2．题型三已知角和所求角间的关系——角的变换【例3-1】已知，且，求的值．【答案】设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sinγ＝sin(90°－β)＝cosβ．因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°．由sinβ＝eq\f(1,5)>0，得143°<β<180°．所以cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以sin(37°＋α)＝sinγ＝－eq\f(2\r(6),5)．【例3-2】已知，求的值．【答案】【例3-3】求的值．【答案】1．化简：()A．B．C．D．【答案】B2．已知，则的值等于（