2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第03讲 二项分布和超几何分布（4知识点+8大题型）（原卷版）

第03讲二项分布和超几何分布内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：独立重复试验判断】【题型02：二项分布的概率计算】【题型03：二项分布的分布列】【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】【题型05：超几何分布的概率计算】【题型06：超几何分布的分布列】【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：次独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．特点：①各次之间相互独立；②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生；③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的．知识点2：二项分布定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为知识点3：超几何分布定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式X01…mP…则称随机变量X服从超几何分布．知识点4：二项分布和超几何分布区别和联系二项分布超几何分布二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的不需要知道总体的容量需要知道总体的容量当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布【题型01：独立重复试验判断】1．将把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为（

）A． B． C． D．2．以下真命题共有个．①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响；②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同；③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率．3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为.4．判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．【题型02：二项分布的概率计算】5．已知随机变量，则（

）A． B． C． D．6．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（

）A． B． C． D．7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．8．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（

）A． B． C． D．9．甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为．（结果用数字作答）10．某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率.【题型03：二项分布的分布列】11．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.(1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；(2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列.12．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立.(1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率；(2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列.13．在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲，乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为，求的分布列．14．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数.(1)若有放回的抽取，求X的分布列；(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率.15．已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率.16．某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立）(1)求每个盲盒含限量版商品的概率；(2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布；(3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率．【题型04：二项分布与超几何分布的辨析】17．下列随机变量服从超几何分布的是（

）A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为18．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（

）A．X表示取出的最小号码B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码C．X表示取出的红球个数D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数19．一个袋中装有10个红色球，20个白色球，现从中任取5个小球，令随机变量表示取出的5个小球中红色球的个数，随机变量表示取出的5个小球中白色球的个数，试问：随机变量，是否服从超几何分布？若服从超几何分布，它们的参数分别是多少？20．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布？21．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.(2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为.(3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为.【题型05：超几何分布的概率计算】22．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（

）A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的23．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（）

A． B． C． D．24．（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．825．（多选）某单位推出了道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的道题，规定每次测试都是从这道题中随机抽出道，答对一题加分，答错一题或不答减分，最终得分最低为分，则下列说法正确的是（

）A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是26．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是．27．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为.若，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为.【题型06：超几何分布的分布列】28．若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率．29．从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示.(1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数；(2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列.30．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示．网民年龄好评人数中评人数差评人数50岁以下90003000200050岁以上（含50岁）100020003000(1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率；(2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列．31．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表：疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时12131415161718频率0.040.050.250.350.180.100.03(1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差；(2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列.32．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.(1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率.(2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率.【题型07：服从二项分布的随机变量概率最大问題】33．高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（

）A． B． C． D．34．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（

）A．14 B．13 C．12 D．1135．某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．436．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得分的概率最大．37．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入号格子的概率最大.图片仅供参考

38．甲、乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束;四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束．(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率;(2)证明采用三局两胜制比采用四局三胜制对甲更有利；(3)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值．【题型08：二项分布、超几何分布综合问题】39．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．40．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差.41．某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列．42．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.43．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：

(1)求的值；(2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列；(3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列.44．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：

(1)现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列；(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值.一、单选题1．某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（

）A． B． C． D．2．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（

）A． B． C． D．3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（

）A． B．C． D．4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（

）A． B． C． D．5．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则（

）A． B． C． D．6．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（

）111

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011A． B． C． D．07．甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（

）A． B． C． D．二、多选题8．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（

）A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布C．若表示取出白球的个数，则D．若表示取出黑球的个数，则9．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（

）A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为C．经过6次试验后试验停止的概率为D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大三、填空题10．某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜