2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第07讲 数列基础（2知识点+9大题型）（解析版）

第07讲数列基础内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：数列的概念与辨析】【题型02：根据规律写出数列中的确定项】【题型03：由数列通项公式确定某项】【题型04：由数列递推公式确定某项】【题型05：由数列的前几项确定通项公式】【题型06：Sn与an的关系求通项公式】【题型07：数列的单调性与最值】【题型08：数列的单调性求参数】【题型09：由递推公式求通项公式】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：数列的概念与表示1.数列的概念（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.（3）分类:若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列2.数列的表示方法（1）一般形式:数列的一般形式是简记为.（2）其他方法:解析式法、表格法、图象法.3.数列的通项公式（1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.（2）数列与函数的区别和联系：数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线.4.数列的单调性与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值.类别含义递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列知识点2：数列的递推公式1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.数列的递推公式与其通项公式的异同：相同点不同点通项公式均可确定一个数列,求出数列中的任意一项给出n的值,可求出数列中的第n项递推公式由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项2.数列的前n项和（1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即.（2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.与的关系式：①当时，若适合，则的情况可并入时的通项；②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.【题型01：数列的概念与辨析】1．下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列的第项为C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列D．数列0，2，4，6，可记为【答案】B【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等，所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误；选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确；选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同，所以这两个数列不是相同数列，C说法错误；选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为，而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误.故选：B2．设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数，即“是常数列”可推出“是常数列”，取，，显然有，且是常数列，但不是常数列，所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件，故选：A.3．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（

）A．此数列不能用图象表示B．此数列的图象仅在第一象限C．此数列的图象为直线D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点【答案】D【详解】数列的通项公式为，它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误，当时，，该点在第四象限，当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误.故选：D.4．（多选）下列叙述不正确的有（）A．数列，，，与，，，是同一数列B．数列，，，，的通项公式是C．，，，，是常数列D．，，，，是递增数列，也是无穷数列【答案】ABC【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误；对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误；对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误；对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确.故选：ABC.5．（多选）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项C．在数列1，，，2，，....，第8个数是D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为【答案】BC【详解】A选项，数列，0，4中，，数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误；B选项，，则110是该数列的第11项，B正确；C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确；D选项，，故通项公式不为，D错误.故选：BC【题型02：根据规律写出数列中的确定项】6．数列，，，，，…的第7项是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和，所以该数列的第6项是，第7项是.故选：C7．已知，数列，，，…，的项数为（

）A． B． C．m D．【答案】B【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列.根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差），这里，，则被开方数的通项公式为.已知数列的最后一项为，那么被开方数对应通项公式.令，解得.所以数列，，，…，的项数为，故选：B.8．数列，，，，…的第项为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为.再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为.综上所述，数列的第项为.故选：C9．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数称为五边形数，则第8个五边形数是．【答案】92【详解】，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，第5个五边形数是，第6个五边形数是，第7个五边形数是，第8个五边形数是．故答案为：92．10．已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项．【答案】/【详解】可以将数列分组如下：，，，，，由项数，知第17项应该是第6组的第2个，而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项．故答案为：11．删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，求的第2012项．【答案】2057【详解】将新数列分组为：，则的第2012项前删去了45项，所以．【题型03：由数列通项公式确定某项】12．若数列满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【详解】由，得，，，．所以数列以4为周期．余1，故.故选：D13．已知数列满足，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【详解】可知，，，，，可知数列周期为，即，可得.故选：B.14．已知数列满足，则（

）A．9 B．11 C．18 D．29【答案】B【详解】因为，且，所以，则.故选：B．15．在数列中，，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】因为，所以.因为，所以，，，所以是以3为周期的周期数列，则.故选：A.16．已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（

）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【详解】，若为偶数，则，解得，满足要求，若为奇数，则，解得，不合要求，若为偶数，则，解得，满足要求，若为奇数，则，解得，不合要求，若为偶数，则，解得，满足要求，若为奇数，则，解得，满足要求，①若，若为偶数，则，解得，若为奇数，则，解得，不合要求，舍去；则或，或，同理可得，若则，或21，若，则，或3；②若，则，，则或8，或16，综上：，3，16，20，21，128.则m的值不可能为，故选：B17．数列满足，则＝．【答案】3【详解】因为，，所以，因此可以判断该数列的周期为，.故答案为：318．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为．【答案】2【详解】由题目的条件可以知道,即，所以有,且除以5的余数为2，;除以5的余数为3，;除以5的余数为1，;除以5的余数为2，;除以5的余数为3，显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2.故答案为：2【题型04：由数列递推公式确定某项】19．已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（

）A．8 B．10 C．9 D．【答案】C【详解】由题可知，该数列的第40项为，故选：C.20．已知，则数列中相等的连续两项是（

）A．第9项，第10项B．第10项，第11项C．第11项，第12项D．第12项，第13项【答案】B【详解】，的对称轴为，数列中相等的连续两项为第10项，第11项.故选：B.21．已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（

）A．18 B．20 C．32 D．66【答案】B【详解】因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数，当或时，，故D错误；当或时，，故C错误；当或时，，故B正确；当时，，故A错误．故选：B．22．已知数列的通项公式为，则（

）A．34 B．36 C．38 D．40【答案】D【详解】．故选：D.23．已知数列的通项公式为，则110是该数列的第.项【答案】11【详解】数列的通项公式为，由，得，而，解得，所以110是该数列的第11项.故答案为：1124．若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第项.【答案】2【详解】令，解得或(舍去)，所以是数列中的第项，故答案为：2.【题型05：由数列的前几项确定通项公式】25．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】已知数列可化为：，根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为.故选：B.26．数列的一个通项公式为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意，数列，即，该数列的奇数项为正，偶数项为负，可以用表示，分子都为1，分母为，所以通项公式可以为，故选：A.27．数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】将数列改写为：，，，，，…，所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式.故选：D28．（多选）数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】A选项，前4项为：2,0,2,0，A选项符合；B选项，前4项为：2,0,2,0，B选项符合；C选项，前4项为：0,0,0,0，C选项不符合；D选项，前4项为：0,2,0,2，D选项不符合；故选：AB.29．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为．【答案】【详解】由前四项可知，其分子为奇数，其分母后一项是前一项的二倍，所以数列的通项公式为.故答案为：30．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式.【答案】/【详解】，，，，，归纳得.故答案为：.【题型06：Sn与an的关系求通项公式】31．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．【答案】【详解】当时，，当时，，当时，，故，故答案为：32．已知数列的前项和为，且，则．【答案】【详解】当时，；当时，由于不适合此式，所以.故答案为：.33．在数列中，已知其前项和则当为奇数时，．【答案】【详解】当时，，当时，且为奇数时，为偶数，所以，，所以，综上，34．已知数列的前项和为，则.【答案】【详解】因为数列的前项和为，所以，当，时，，又，故满足关系，所以，故答案为：35．（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式（2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，当时，，当时，，又不满足上式，所以；（2）因为，当时，，当时，，又满足上式，所以.36．已知数列的前项和为，求的通项公式.【答案】【详解】当时，；当时，.因为不满足上式，所以.【题型07：数列的单调性与最值】37．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设函数，由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若数列仅第7项最小，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C38．若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为；当时，，是递减数列，则的最大项为.故选：B.39．数列的最大项的值为.【答案】【详解】由数列，则，当时，，即，且，当时，，即；当时，，即，且；当时，，即；当时，，即，所以.综上可得，数列的最大项为.故答案为：.40．已知数列的通项公式．(1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)数列是递减数列，理由见解析.【分析】【详解】（1），，当且仅当时，即时，等号成立，，，；（2）由函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，因为．所以数列是递减数列．41．作出数列的图象，并分析数列的增减性.【答案】作图见解析，既不递增也不递减【详解】由题意，作图如下：由图可知，数列既不是递增数列也不是递减数列.42．已知数列的通项公式为，求证：此数列为递增数列．【答案】【解析】略【题型08：数列的单调性求参数】43．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，若数列为递增数列，则对任意的恒成立，对任意的恒成立，又，；所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立，所以是的充分非必要条件.故选：A44．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，递增，则；当时，递增，若为递增数列，则，且，即，解得；综上，.故选：B.45．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将变形为..若数列递增，则，即.因，故，即（此为充要条件），所以A选项符合，BCD选项不符合.故选：A46．已知，若数列不是递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若不是递增数列，只需令或故.故选：B.47．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是．【答案】【详解】若数列为递减数列，且，则，可得对任意恒成立，可知当时，取到最小值9，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：.48．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为.【答案】【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.49．已知数列中，(且)．(1)若，求数列中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】(1)最大项为，最小项为(2)【分析】【详解】（1）∵，(，且).又，∴()．因为函数在和上单调递减，可知，（）.∴数列中的最大项为，最小项为.（2），已知对任意的，都有成立，因为函数在和上单调递减，可知，即.故的取值范围是．【题型09：由递推公式求通项公式】50．已知数列和满足，且，则（

）A．12 B．15 C．16 D．19【答案】A【详解】因为，所以，且，，所以．又因为，所以，故，所以．故选：A.51．数列中，，，则．【答案】【详解】，，时，，，，，符合条件，．故答案为：52．在数列中，若，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，，则，，，当时，，，，，，，所以，且，显然均满足上式，所以.故选：C53．已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式为．【答案】【详解】由已知得，所以，因为，所以，两边同时取对数得，即，所以是以为首项，公比为2的等比数列，故答案为：54．已知数列满足，则的最小值为.【答案】【详解】，将以上式子相加，可得：，即，又当时，有也适合上式，，易知：当时，单调递减；当时，单调递增，又的最小值为.故答案为：一、单选题1．已知数列，则是这个数列的第（

）项A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【详解】由题可得数列通项公式为：.则令.故选：A2．观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为数列，可以写成，所以可得到该数列的一个通项公式.故选：A3．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【详解】由题意可得，，，所以数列是周期为3的周期数列，即，则.故选：D.4．在数列中，已知，，则（

）A．32 B．33 C．31 D．30【答案】C【详解】已知，，则，，，.故选：C5．在数列中，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得：，．经验证，也适合上式.故选：B.6．记数列的前项和满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，当；所以，当时，，符合上式，所以，故选：C.二、多选题7．数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对于选项A，B，根据题意，数列，即，故一个通项公式为或，选项A，B正确，对于选项C，若，则，矛盾，C错误，对于选项D，若，则，矛盾，D错误，故选：AB8．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．