2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第08讲 等差数列（2知识点+9大题型）（原卷版）

第08讲等差数列

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

【题型01：等差数列的判断】

【题型02：求等差数列的基本项】

【题型03：求等差数列的通项公式】

【题型04：等差中项】

【题型05：等差数列的证明】

【题型06：等差数列的性质】

【题型07：对称设元法巧解等差数列】

【题型08：等差数列的单调性】

【题型09：等差数列的实际应用】

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：等差数列的概念与通项公式

1.等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数

列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.

2.等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列

的定义可以知道,2Aab.

3.等差数列的递推公式及通项公式

已知等差数列an的首项为a1,公差为d，则递推公式为an1and，

通项公式为ana1n1d

知识点2：等差数列的性质与应用

1.等差数列通项公式的变形及推广

**

（1）andna1dnN（2）anam(nm)dm,nN.

aa

（3）dnm

m,nN*,且mn.

nm

2.若an,bn分别是公差为d,d的等差数列,则有

数列结论

can公差为d的等差数列(c为任一常数)

公差为的等差数列为任一常数

c·ancd(c)

公差为的等差数列为常数

anank2d(k,kN*)

公差为的等差数列为常数

panqbnpdqd(p,q)

3.下标性质

在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特别的,若

mn2p(m,n,pN*),则有aman2ap

【题型01：等差数列的判断】

1．（多选）下列数列是递增的等差数列的是（）

A．7,13,19,25,31

B．1,1,2,3,,n

C．9，9，9，9...

D．数列an满足an1an3

2．若数列为37，310，313，316，…，则382是这个数列的第项．

3．已知数列an满足a11，an1an2，则a4（）

A．3B．5C．7D．9

4．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（）

A．16个B．24个C．32个D．48个

5．由公差d0的等差数列a1,a2,,an组成一个新的数列a1a3,a2a4,a3a5,，下列说法正确的是（）

A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列

C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列

【题型02：求等差数列的基本项】

，

6．已知等差数列an，a31a2a86，则a1＝（）

A．0B．－1C．－2D．－3

7．在等差数列an中a511,a115，则a1等于（）

A．15B．15C．25D．25

，

8．已知等差数列an的公差为d，若a12a3a840，则d（）

A．1B．2C．4D．6

9．已知等差数列an的公差为d，已知a12，且a3a6a10，则d（）

1

A．1B．2C．3D．

2

10．等差数列an中，a4a846，a728，则a12（）

A．35B．40C．55D．53

11．在等差数列an中，a215，a7a80，则公差d的取值范围是.

【题型03：求等差数列的通项公式】

12．设an是等差数列，且a12，a2a352，则an的通项公式为（）

．．．．2

Aann1Ban2nCan2nDann1

111

13．已知数列an中，a11,，则a3，数列an的通项公式是.

an1an2

14．已知等差数列an的公差为1，2a4a5a1，则an（）

A．n3B．2n3C．n6D．2n6

15．已知等差数列an的首项a12，公差d12，在an中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的

等差数列bn，则bn（）

A．4n2B．3n1C．3nD．2n+1

16．已知各项均为正数的数列an中，a12，an1an2，则a20（）

A．400B．600C．800D．1000

an

17．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则a5.

n

【题型04：等差中项】

18．等差数列an中，a1a510,a46，则数列an的公差为（）

A．1B．2C．-2D．-1

19．an为等差数列，若a13a8a15120，下列不是定值的是（）

．．．．

Aa3a13Ba16C2a9a10DS15

20．已知a,b是方程x22xm0的两个根，则a,b的等差中项为（）

A．1B．2C．4D．不能确定

21．在等差数列{an}中，a13a8a1560，则2a9a10的值为.

22．已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a2b47，a8b811，则a5b6（）

A．9B．18C．16D．27

23．已知数列an是公差为2的等差数列，数列lga1，lgak，lga7也为等差数列，且k3,4,5，则a1．

【题型05：等差数列的证明】

24．已知数列an,bn都是等差数列，公差分别为d1,d2，数列cn满足cnan3bn.

(1)数列cn是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；

(2)若a11,b12,d12,d24，求数列cn的通项公式.

2x

25．已知fx，若a1，且afa（n为正整数）.

x21n1n

(1)写出数列an的前5项；

1

(2)证明是等差数列，并求an.

an

26．在数列an中，a10,a24，且an22an1an2．证明：an1an是等差数列.

11

．已知数列a满足a0，且an1，证明：是等差数列

27n1.

2anan1

41

28．已知数列an，满足a14，an4n1，记bn.

an1an2

(1)试证明数列bn为等差数列；

(2)求数列an的通项公式．

3a11

n

29．已知数列{an}满足an1，a13，令bn.

an1an1

(1)证明：数列bn是等差数列；

(2)求数列an的通项公式．

【题型06：等差数列的性质】

30．在等差数列an中，a3a9a56，则a6a8（）

A．6B．8C．10D．12

31．已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则2a8a9（）

A．3B．3C．6D．6

32．设数列an是等差数列，“mnpq”是“amanapaq”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

aaana

132n1*2025

33．已知正项等差数列an满足nN，则（）

a3a5a2n1n2a3

A．670B．675C．2025D．4050

34．已知正项等差数列an满足a1a4a2a6a4a9a6a825，则a5（）

55

A．5B．5C．D．

24

14

35．正项等差数列an中，a41，则的最小值为．

a2a6

36．（多选）记等差数列an的公差为d，已知a70a8，则（）

A．d0B．a7a80

C．a7a90D．a9a8a10

【题型07：对称设元法巧解等差数列】

37．在3与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（）

A．21B．24C．27D．30

1

38．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这

7

五个数中最大的数为（）

5115175

A．B．20C．D．

336

39．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为．

40．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为．

41．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数．

【题型08：等差数列的单调性】

42．（多选）已知等差数列an的公差d0，则下列说法正确的是（）

1

A．若an0，则是单调递减数列B．若anN，则an是单调递增数列

an

an

C．an是单调递增数列D．2是单调递增数列

43．（多选）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题，其中正确的有（）

A．数列a2n1是等差数列B．数列2an1是等差数列

a

C．数列n是递增数列D．数列a3nd是递增数列

nn

44．设无穷等差数列an的前n项积为Tn.若a10，则“Tn有最大值”是“公差d0”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必

要条件

45．已知无穷等差数列an的各项均为正整数，且a92024，则a1的最小值是.

3

46．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差d，当|an|最小时，n＝．

4

【题型09：等差数列的实际应用】

47．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、

谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，

前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）

A．4.5尺B．3.5尺C．2.5尺D．1.5尺

48．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序

以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年

为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，

即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在

100年后的2122年为（）

A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年

49．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购

物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得

春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为.

50．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在

同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，

小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1

日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；

2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.

一、单选题

*

1．已知数列an满足a12，设甲：p,qN,apqapaq，乙：an为等差数列.则甲是乙的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．在等差数列an中，a3a54，a64，则a8（）

A．4B．5C．7D．6

3．在等差数列an中，a35，a73，则数列an的通项公式为（）

A．an2n1B．an174nC．an183nD．an112n

4．某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每

经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值

将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（）

280260280270

A．,27B．,26C．,28D．,27

11111111

5．已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚

好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根

横梁的长度是（