2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第11讲 等比数列的前n项和（4知识点+7大题型）（解析版）

第11讲等比数列的前n项和内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】【题型02：等比数列的片段和性质的应用】【题型03：等比数列奇偶项和的性质】【题型04：等比数列前n项和其他性质】【题型05：等比数列中an与Sn的关系】【题型06：等比数列的简单应用】【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为知识点2：等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）若项数为，则，若项数为，则．（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】1．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（

）A．16 B．8 C． D．【答案】D【分析】【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为，若，则，所以，又，故不符合题意，若，则根据题意可知，且，解得，，故.故选：D.2．已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】因为，可知，由，得，由，得，所以，所以.故选：D.3．已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，故，即，故公比.故选：B4．已知为等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为，因为，，所以，联立方程组，解得，结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和，由求和公式得前50项和为，故D正确.故选：D5．设等比数列的前项和为，公比，若，则．【答案】【详解】因为数列是等比数列，所以，，所以是方程的两根，所以或，所以公比或，所以或，又，所以，所以所以.故答案为：.6．设等比数列的前项和为，且，，则.【答案】1020【详解】设数列的公比为，又，，则，所以，则.故答案为：.【题型02：等比数列的片段和性质的应用】7．已知为等比数列的前项和，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列，所以，又因为，，则，整理可得，解得或（舍去），故选：A.8．（多选）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（）A． B．C．，，成等比数列 D．【答案】ABC【详解】对于A，，，当时，若，则，，当时，若，则，故A错误；对于B，若，，则，故，B错误；对于C，等比数列中，因为，故成等比数列，而非成等比数列，所以，，不一定成等比数列，例如，若，，则，此时，，不是等比数列，故C错误；对于D，当时，，，等式成立；当时，，，故，等式成立，故D正确．故选：ABC9．已知等比数列的前项和为，若，且，则.【答案】17【详解】设的公比为，则，解得，所以.故答案为：1710．已知是等比数列的前项和，，，则【答案】【详解】设等比数列的公比为，因为为等比数列，故，而，故答案为：.11．已知正项等比数列的前项和为，且，则.【答案】52【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，则，即，两式相除得，所以，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故答案为：52【题型03：等比数列奇偶项和的性质】12．在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（

）A．150 B．200 C．250 D．300【答案】B【详解】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故选：B13．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（

）A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2【答案】D【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，所以，，故满足，解得，又，所以.故选：D14．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.15．若等比数列共有奇数项，且所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则公比.【答案】【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项和为，偶数项和为，所以，即，可得：，解得．故答案为：16．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比.【答案】/【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，.由题意可得解得所以．故答案为：.17．设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值．【答案】【详解】解：设无穷等比数列的公比为，首项为，有题意知，且奇数项和偶数项的公比为，则，解得．【题型04：等比数列前n项和其他性质】18．记等比数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设等比数列的公比为（），则，解得：，又，所以，故选：C.19．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列无最大值C．是数列中的最大值 D．【答案】D【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误；BC选项，若，则，与矛盾，不合要求，当时，，又，所以，即，又，故满足要求，故当时，，当时，，故有最大值，最大值为，BC错误；D选项，当时，，当时，，故，，所以，D正确.故选：D20．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，若，则，，此时不存在符合题意的，所以.若，则，当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使.当时，，其中，，所以，此时不存在符合题意的.当时，，其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的；当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使.综上所述，的取值范围是.故选：B21．已知等比数列的前项和为，若，则.【答案】【详解】设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故答案为：22．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）.①②③的最大值为④的最大值为【答案】①②③【详解】因为，，，所以，所以，故①正确.，故②正确；又，所以的最大值为，故③正确.因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误；故答案为：①②③【题型05：等比数列中an与Sn的关系】23．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，解得；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，因为，所以.故选：B24．（多选）记为数列的前项和.若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】当时，，解得，A正确.当时，，所以，即，则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确；由上知，B错误；，D正确.故选：ACD25．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】B【分析】【详解】是以为公比的等比数列,

所以，所以公比进而，所以，故选：B26．已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，在等比数列中，，设公比为q，，解得，∴，当时，，解得：，∴是以2为首项，3为公比的等比数列，∴.故选：A.27．已知等比数列的前项和为，则．【答案】【详解】解法一：当时，，显然不合题意，可得；当时，；若为等比数列，则，且，解答；解法二：因为，设等比数列的公比为，由题可知，1，因为等比数列的前项和（为常数，且），所以，得．故答案为：.28．在等比数列中，前项和，则实数的值为．【答案】/【详解】，当时，，依题意，也应满足，所以有，得．此时，，，满足是等比数列，所以.故答案为：【题型06：等比数列的简单应用】29．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为：，故选：A.30．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；第3关收税金为斤，以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，所以，即，解得.故选：C.31．近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（

）A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟【答案】C【详解】设第秒种的细菌的个数为，且，又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，则经过秒钟共杀死个新冠病毒，依题意，需使，即，所以，因是增函数，且，故.即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟.故选：C32．龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为.【答案】13【详解】从最下层开始，往上每一层“浮雕像”的数量构成一个数列，因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，所以是以2为公比的等比数列，由于共有1016个“浮雕像”，即，整理得：，解得，所以，所以.故答案为：1333．已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比．则该热气球在前3分钟里上升的总高度．故选：C．【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】34．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（）A．264 B．520 C．521 D．265【答案】B【详解】因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.故选：B35．已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（

）A．30 B．32 C．42 D．46【答案】A【详解】依题意，，显然，，则，又，故，所以，由，得，则，解得，所以.故选：A36．已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）设数列的公比为，由题意可知，即，解得∴，当时，，当时，，验证当时，，∴（2）37．已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，其中.(2)，其中.【分析】【详解】（1）解：由数列满足，因为数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列，设数列的前5项的公差为，可得，，设从第4项起构成的等比数列的公比为，可得，则，所以，解得，当时，，当时，，所以数列的通项公式为，其中.（2）解：由（1）知数列的通项公式为，其中，当时，；当时，，所以数列的前项和为，其中.38．已知等差数列与等比数列满足，，.(1)求，的通项公式；(2)记，为数列的前项和.求【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）记公差为，公比为，则，，故，则即，故，解得，故，.（2）由，当为偶数时，，而，两式相减，可得到，故此时；当为奇数时，，于是.39．已知数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和；(3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】【详解】（1）由，当时，，解得；当时，，则，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则.（2）由（1）知，则，所以，.两式作差得，.（3）证明：由，，成等差数列，得，即，整理得，因为，，所以，，所以为偶数，故必有，即，，又，所以，故，，是数列中连续的三项.一、单选题1．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（

）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】A【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，其前项和，又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍，所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，其前项和，令，解得或，因为，所以，故选：A.2．数列中，，，若，则（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【详解】由题可知，数列为等比数列，且公比，又因为，故.所以，所以.故选：D.3．某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（

）（参考数据：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【详解】由于每月加工的零件数构成一个等比数列，首项，公比.那么由题意得.化简得，对不等式两边取对数得，即.因为，所以因为为正整数，所以的最小值是12.故选：B.4．已知为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为①，当时，②，①-②得：，因为是等比数列，设公比为，所以，因为，所以，解得；当时，，即，所以，又因为，所以，解得，所以，故选：A．5．已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当时，，，所以，即甲是乙的充分条件；当时，若，则，由等比数列中知，对任意不成立，所以，所以，即，可得，而已知，则不恒成立，故必有，解得，即甲是乙的必要条件，综上，甲是乙的充要条件.故选：C6．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，由，则，即.所以满足的的最大值为9.故选：A.二、多选题7．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．数列是递减数列 D．【答案】ABD【详解】对于AB，由题意得且，，由得，由得，所以，化简得，解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确；对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误；对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以；法二：因为，所以，所以；故D正确．故选：ABD．8．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（

）A．等差数列的公差B．等差数列的通项公式为C．等比数列的公比D．等比数列的前4项和为40或【答案】AB【详解】由题意可知，解得，故A正确；通项公式为，故B正确；∴，又因为，即，∴，C选项错误；∵，设为数列的前项和，∴，当时，∴；当时，．∴，故D错误