2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第12讲 数学归纳法（2知识点+6大题型）（解析版）

第12讲数学归纳法内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：相关关系的概念和判断】【题型01：数学归纳法的概念】【题型02：数学归纳法的增项】【题型03：用数学归纳法证明恒等式】【题型04：用数学归纳法证明不等式】【题型05：用数学归纳法证明整除问题】【题型06：数学归纳法证明数列问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:（1）（归纳奠基）证明当时命题成立;（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法.知识点2：用数学归纳法证明恒等式（1）弄清取第一个值时等式两端项的情况;（2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;（3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形.【题型01：数学归纳法的概念】1．用数学归纳法证明，第一步应验证（

）A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立【答案】C【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，故选：C.2．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】显然当时，，而当时，，A不是；当时，，B不是；当时，，C不是；当时，，符合要求，D是．故选：D3．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，，即从起连续项正整数之和.则为从起连续3个正整数之和，故第一步应证明.故选：B.4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（

）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】D【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误；若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误；由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误；，则当时，均有成立，故D正确；故选：D5．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】当时，，所以左边为.故选：C.6．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】作出示意图如图所示：

第一个正方形是，记为，由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，所以正方形的面积为，记为，依次类推可得第三个正方形的面积为，记为，可得第个正方形的面积为，所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，所以前10个正方形的面积和为.故选：C.【题型02：数学归纳法的增项】7．用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（

）A．增加项 B．增加和两项C．增加和两项，减少项 D．以上结论均不正确【答案】C【详解】由题意，不等式，当时，不等式的左端，当时，左端，所以从到，不等式的左端增加和两项，减少项.故选：C.8．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（

）A．增加一项 B．增加两项、C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项【答案】D【解析】理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，∴，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项故选：D9．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于，左边；时，左边，比较两式，从而等式左边应添加的式子是．故选：C10．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，左边的代数式为，当时，左边的代数式为，故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：故选：D．11．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是.【答案】【详解】用数学归纳法证明等式时,当时，左边所得的项是;假设时,命题成立,左端为;则当时,左端为,所以从“”需增添的项是.故填:.【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推,从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.【题型03：用数学归纳法证明恒等式】12．求的和.【答案】【详解】因为当时，；当时，；当时，；当时，；猜想：，下面利用数学归纳法证明：1.当时，左边，右边，等式成立；2.假设当时，等式成立，即，3.当时，左边右边，所以当时，等式成立；综上所述：.13．用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【详解】当时，左式，右式，显然等式成立，假设当时，等式成立，即，则当时，，故当时，等式也成立，所以成立.14．用数学归纳法证明（为正整数）．【答案】证明见解析【详解】当时，左侧，右侧，显然成立，假设时，当时，，即当时，等式也成立，综上可得，．15．是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论．【答案】存在，证明见解析【详解】取，，联立得，即，解得；下用数学归纳法证明．（i）当时，命题成立；（ii）假设时命题成立，即，则当时，左边，即时命题成立．综上，命题得证，存在常数，使命题成立．16．设是定义在上的增函数，且，求证：．【答案】证明见解析【详解】令，得，显然，设时，成立，那么时，．故对一切正整数，．【题型04：用数学归纳法证明不等式】17．用数学归纳法证明：对任意的正整数．【答案】证明见解析【详解】当时，不等式成立，假设时原不等式成立，即，则时，左边，当时，，即，因此时原不等式也成立．综上，对任意的正整数．18．当且时，求证：．【答案】证明见解析【分析】【详解】①当时，左边，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，左边．由①②知对任意且不等式成立．19．若，，，，，，求证：．【答案】证明见解析【详解】用加强命题法，先证．（i）当时，，成立；（ii）假设当时，成立，则时，，即时命题成立．由（i）（ii）知对命题均成立．因为，且，所以．20．当且时，求证：．【答案】证明见解析【详解】（i）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；（ii）假设当时，命题成立，即，当时，有：．由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立．21．用数学归纳法证明不等式：．【答案】证明见解析【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，即，那么当时，．又，所以，即时，不等式也成立．由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立．22．用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立；②假设时不等式成立，即，则当时，左边，即当时，不等式也成立.由①②可知，原不等式成立.【题型05：用数学归纳法证明整除问题】23．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（

）A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立【答案】D【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.故选：D24．用数学归纳法证明：能被64整除．【答案】证明见解析【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立；（ii）假设当时命题成立，即能被64整除，则当时，能被64整除，故当时命题成立．由（i）（ii）可知对，都能被64整除．25．用数学归纳法证明：能被整除（）【答案】答案见解析【详解】当时，，故能被整除，假设当时，结论成立，即能被整除，则当时，，由于和均能被整除，故能被整除，综上：能被整除（）.26．求证：对任何正整数n，数都能被8整除【答案】证明见解析【分析】【详解】证明:1°当n=1时，，命题成立．2°假设n=k时，能被8整除，则当n=k+1时，,因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，即n=k+1时，命题也成立由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．27．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析【详解】时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；证明：（1）当时，，命题显然成立；（2）假设当时，能被6整除．当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立．据（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然数6,，1，2，3整除.【题型06：数学归纳法证明数列问题】28．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除．【答案】证明见解析【详解】用数学归纳法证明：①当时，，能被3整除．②假设当时，能被3整除．当时，,由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除,因此，当时，也能被3整除．综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除．29．已知数列满足，且，．(1)求，，；(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)，，．(2)猜想，证明见解析【分析】【详解】（1）将已知等式展开整理得，解得．由，知．故，，.（2）由，，，，猜想．（i）当时，，命题成立；（ii）假设当，命题成立，即，那么，即时命题成立．由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立．30．在数列中，，.(1)求，，猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）因为，，可得，，因此可猜想.（2）当时，，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立.综上所述，对任意，.31．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．【答案】(1)，，，，(2)，证明见解析【分析】【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，因为，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，证明过程如下：当时，显然成立，假设当时成立，即，当时，，解得：，或，因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，显然，所以，舍去，所以当时，成立，综上所述：32．设数列满足，，2，3，．(1)当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；(2)当时，用数学归纳法证明对所有，有．【答案】(1)，，．猜想(2)证明见解析【分析】【详解】（1），则，，．猜想：．（2）证明：当时，，不等式成立；假设时不等式成立，即，则，即时，不等式仍成立．综上，对于所有，都有．33．已知数列1，，，，…，（）的前项和为．(1)求，，；(2)猜想前项和，并证明．【答案】(1)，，(2)；证明见解析．【详解】（1），，；（2）猜想前项，证明：当时，,成立，当时，假设命题成立，即，那么当时，，，即当时，命题成立，综上可知当时，命题成立，即.一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项C．项 D．k项【答案】B【详解】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，增加的项为，共有项.故选：B2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当（且）时，不等式成立，即，那么当时，，所以当时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确【答案】D【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D.3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立【答案】B【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即时等式成立.故选：B4．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域，归纳得，假设当时，即，则当时，.故选：D.5．若正项数列中，，，则的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】,在正项数列中,当时,,解得,当时,,解得,猜想,证明:当时,显然成立;假设时,,则当时,.故时,结论也成立.故,故选:C.二、多选题6．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是【答案】BC【详解】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.7．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（

）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】ABC【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；故选：ABC.三、填空题8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为．【答案】【详解】由当到时，左边增加了两项，减少了一项，即左边所增加的项为．故答案为：．9．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则．【答案】24【详解】令，则，则.故答案为：2410．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则：①每次只能移动一个盘子；②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面；③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上.若用表示个盘子时最小的移动次数，则，.【答案】7/【详解】由题意，当时，金盘从A杆移到C杆需要的最少移动次数为1次，即；当时，将第一层（自上而下）金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为1次，将第二层（自上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为1次，所以；当时，将第一层､第二层（自上而下）金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为次，将第三层（自上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为次，所以；则，，，猜想：，，证明如下：①当时，成立．②假设当时猜想成立，即，即将个直径不同的盘子从