2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第五章 数列（单元测评卷）（全解全析）

第五章数列·单元测评卷建议用时：120分钟，满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列的一个通项公式为（）A． B． C．nn D．【答案】B【详解】将数列7，25，79，241，…的各项都加上2后为9，27，81，243，…，故该数列的一个通项公式为.故选：B.2．已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有；取，数列的公比，而数列是递减数列，所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件.故选：A3．在数列中，点在直线上，则（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【详解】因为点在直线上，所以，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.故选：C.4．等差数列前n项的和为，已知，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【详解】因为数列为等差数列，则，又因为，即，解得或，若，则，不合题意；若，则，解得；综上所述：.故选：D.5．如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（

）A．32 B．40 C．48 D．64【答案】A【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为，设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为，所以第n+1个正方形的边长为，，即数列{}是首项为，公比为的等比数列，，数列{}是首项为，公比为的等比数列，，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32.故选：A6．已知数列满足：，对，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，所以为公比为的等比数列，则，故．取，则．故选：C．7．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（

）A．63 B．127 C．255 D．256【答案】C【详解】由得，又，易得，两边同时取以为底的对数得，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则.故选：C.8．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（

）A．168 B．188 C．212 D．222【答案】D【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项，因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为，则新数列到为止的前的总项数为，当时，可得；当时，可得，所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1，因为等差数列满足，所以新数列的前90项和为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（

）A．B．数列是等差数列，且公差C．对于任意的正整数，均有成立D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值【答案】AB【详解】因为，所以为常数，又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确；由等差中项的性质故C错误；又，所以，所以选项A正确；对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为.由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误．故选：AB.10．设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确．因为，所以．又因为，所以的奇数项均为2，A正确．，C，D错误．故选：AB11．记为数列的前项和，已知，则（

）A．为等比数列 B．为等比数列C． D．【答案】BCD【详解】由，可得：，两式相减得：，即，所以为等比数列，故B正确；再由，可得，即，当时，有，由于不满足上式，所以，故A错误；由，故C正确；由，则，两式相减得：，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是.【答案】【详解】因为，且可知：的第一个取值为，由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为．故答案为：.13．设等差数列的前项和为，则的最小值是.【答案】【详解】因为等差数列的前项和为，设公差为，则，化简得，解得，所以，.所以.令，此函数为对勾函数，根据对勾函数的单调性可知，所以当时，单调递增；当时，单调递减；因为只能取整数，当时，；当时，；即时取最小值为.故答案为：.14．已知正项数列的前n项和为，．数列的首项，数列为等比数列，且公比，则数列中的最小值为．【答案】【详解】因为正项数列的前n项和为，，所以当时，，所以，所以，又因为，所以，由，令，则，所以，所以数列是以6为首项以6为公差的等差数列，所以，数列的首项，数列为等比数列，且公比，则，则，又因为，当时，可得，当时，可得，则数列中的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知数列是等差数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的最小值.【详解】（1）设数列的公差为，则， 2分得， 4分则. 6分（2）得；得， 9分故当时有最小值，为. 13分16．（15分）记数列的前项和为，已知.(1)求；(2)证明：是等比数列；(3)求.【详解】（1）因为，当时，则，可得； 2分当时，则，即，可得；综上所述：，. 4分（2）因为，，当时，则，，两式相减得，即，整理可得， 7分且，所以是以首项为3，公比为3的等比数列. 9分（3）由（2）可知，即，可得， 11分所以. 15分17．（15分）已知数列为等差数列，，前n项和为.(1)求出，并求其最值；(2)数列中是否存在三项构成等比数列，如果存在则求出k、p、q，如果不存在，请说明理由.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分由，可知， 4分二次函数的对称轴，故当取正整数时，单调递增，故有最小值，无最大值； 7分（2）不妨假设三项构成等比数列，则有，即，展开上式得：， 9分因为k、p、q均为正整数，所以上式要成立，等价于 11分，所以，则，所以，与已知矛盾，故不存在三项成等比数列； 15分18．（17分）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值.【详解】（1）由，得, 2分即数列是以为首项，2为公比的等比数列，故所以; 5分（2）由题意得,从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 8分按原来顺序组成新数列，可知, 10分则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和，故, 13分故问题转化为求解满足的最小正整数，由可知时，;时，,故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 17分19．（17分）已知正项数列的前项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前项和，且满足.(1)求，的通项公式；(2)设，当时，若对