高一上期中数学考试函数经典难题汇编必修一

高一上期中数学考试函数经典难题汇编必修一函数作为高中数学的核心内容，贯穿整个高中数学学习的始终，其思想方法更是解决众多数学问题的基础。在高一上学期的数学学习中，函数的概念、性质及其应用构成了期中考试的重点和难点。不少同学在面对函数难题时，常常感到无从下手，思路不清。本文旨在结合高一上学期必修一的教学内容，对期中考试中可能出现的函数经典难题进行梳理与剖析，希望能为同学们的复习备考提供一些有益的启示与帮助。一、函数的概念与定义域、值域问题函数的概念是整个函数部分的基石，而定义域和值域则是函数的基本要素。在期中考试中，围绕这两点设计的难题往往具有概念性强、隐蔽性高的特点。问题特征：此类问题常涉及抽象函数的定义域求解、复合函数的定义域迁移、含参数的定义域讨论，以及一些非常规函数的值域求法，如分式函数、根式函数、绝对值函数等。解题策略：1.定义域求解：紧扣“函数定义域是自变量x的取值范围”这一核心。对于抽象函数f(g(x))的定义域，要理解其是指x的取值范围，且g(x)的值域即为f(t)的定义域。复合函数定义域的求解需“由内而外”或“由外而内”逐层分析。含参数时，需对参数进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。2.值域求解：常用方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法（代数换元、三角换元）、判别式法（慎用，注意条件）以及利用函数单调性求值域。对于一些结构复杂的函数，需要先进行变形或化简，再选择合适的方法。例题解析：已知函数f(x)的定义域为[0,2]，求函数g(x)=f(x+1)+f(2x-1)的定义域。分析：这是一个复合函数定义域的求解问题。要使g(x)有意义，那么f(x+1)和f(2x-1)都必须有意义，即x+1和2x-1都必须在f(x)的定义域[0,2]内。解答：依题意，得：0≤x+1≤2①0≤2x-1≤2②解不等式①：-1≤x≤1解不等式②：1/2≤x≤3/2取①和②的交集，得1/2≤x≤1所以，函数g(x)的定义域为[1/2,1]。点评：解决此类问题的关键在于理解“对应法则f作用的对象必须在其定义域内”，从而列出不等式组求解。二、函数的单调性与最值问题函数的单调性是函数的核心性质之一，它不仅是研究函数图像、比较大小、解不等式的重要依据，也是求函数最值的常用方法。期中考查中，单调性的证明、判断，以及利用单调性解决综合性问题是难点。问题特征：常涉及利用定义证明函数的单调性、判断复合函数的单调性、根据单调性求参数的取值范围，以及结合单调性求函数的最值（尤其是含参数的最值问题）。解题策略：1.定义法证明单调性：严格按照“取值—作差（或作商）—变形—定号—下结论”的步骤进行。变形是关键，通常要分解因式或配方，以判断差的符号。2.判断单调性：对于基本初等函数，可直接利用其单调性；对于复合函数，遵循“同增异减”的原则，但要注意定义域；对于含绝对值或分段函数，需分段讨论。3.单调性与参数：已知函数在某区间上的单调性，求参数范围，通常需将其转化为导函数（高一暂未学，故主要指利用定义或基本性质）在该区间上恒正或恒负的问题，或结合函数图像进行分析。4.单调性与最值：若函数在闭区间上单调，则其最值在区间端点处取得。对于含参数的函数，需根据参数对单调性的影响进行分类讨论，确定不同情况下的最值。例题解析：已知函数f(x)=x+a/x(a>0)，试判断函数f(x)在(0,√a]和[√a,+∞)上的单调性，并求出函数f(x)在x∈[1,2]上的最小值。分析：这是一个典型的对勾函数模型。利用单调性定义可以证明其单调性，进而根据单调性求最值。由于区间[1,2]与函数单调区间的关系不确定，需要对a进行分类讨论。解答：先证f(x)在(0,√a]上单调递减。任取x₁,x₂∈(0,√a]，且x₁<x₂，则f(x₁)-f(x₂)=(x₁+a/x₁)-(x₂+a/x₂)=(x₁-x₂)+a(x₂-x₁)/(x₁x₂)=(x₁-x₂)(1-a/(x₁x₂))=(x₁-x₂)(x₁x₂-a)/(x₁x₂)∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0∵x₁,x₂∈(0,√a]，∴x₁x₂<(√a)(√a)=a，即x₁x₂-a<0又x₁x₂>0，∴f(x₁)-f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)∴f(x)在(0,√a]上单调递减。同理可证f(x)在[√a,+∞)上单调递增。（证明过程略）接下来求f(x)在[1,2]上的最小值：由上述单调性可知，f(x)的减区间为(0,√a]，增区间为[√a,+∞)。①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)min=f(1)=1+a。②当1<√a<2，即1<a<4时，f(x)在[1,√a]上单调递减，在[√a,2]上单调递增，∴f(x)min=f(√a)=√a+a/√a=2√a。③当√a≥2，即a≥4时，f(x)在[1,2]上单调递减，∴f(x)min=f(2)=2+a/2。综上，当0<a≤1时，最小值为1+a；当1<a<4时，最小值为2√a；当a≥4时，最小值为2+a/2。点评：本题综合考查了函数单调性的证明、判断以及利用单调性求含参数函数的最值。分类讨论思想是解决此类问题的关键，需准确划分参数的取值范围。三、函数的奇偶性与周期性问题函数的奇偶性是函数的另一个重要性质，它刻画了函数图像的对称性。奇偶性与单调性的综合应用，以及抽象函数的奇偶性判断与性质推导，是期中考查的难点。周期性在高一上学期可能涉及较少，但简单的周期性概念及应用也可能出现。问题特征：判断函数的奇偶性、利用奇偶性求函数解析式（或参数值）、利用奇偶性与单调性结合比较大小或解不等式。解题策略：1.判断奇偶性：首先看定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶；若对称，再验证f(-x)与f(x)的关系：f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数。2.奇偶性与解析式：若已知函数奇偶性及某区间上的解析式，求另一对称区间上的解析式，常用f(-x)=±f(x)进行转化。3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。利用此性质可将不同区间上的自变量转化到同一区间上，再利用单调性求解。例题解析：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x。(1)求f(-1)的值；(2)求当x<0时，函数f(x)的解析式。分析：利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)求解。解答：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(-1)=-f(1)。又当x≥0时，f(x)=x²-2x，∴f(1)=1²-2×1=-1。∴f(-1)=-(-1)=1。(2)设x<0，则-x>0。∵当x≥0时，f(x)=x²-2x，∴f(-x)=(-x)²-2(-x)=x²+2x。又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即x²+2x=-f(x)。∴f(x)=-x²-2x(x<0)。点评：利用函数奇偶性求解析式的关键在于“设所求区间上的自变量，通过负号转化到已知解析式的区间上”。四、分段函数与抽象函数问题分段函数因其在不同定义域区间上对应法则不同，其图像和性质的研究相对复杂。抽象函数则因缺乏具体解析式，对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要求较高。问题特征：分段函数的求值、单调性、奇偶性判断，分段函数的最值问题，以及抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的判断与证明，利用抽象函数的性质解题等。解题策略：1.分段函数：处理分段函数问题，关键在于“分段讨论”，即根据自变量的取值范围，选择对应的解析式进行求解。注意各段定义域的端点是否取到，以及分段函数整体性质的判断需分段进行再综合。2.抽象函数：解决抽象函数问题，通常需要利用函数的定义、奇偶性、单调性等性质，通过赋值法（赋予自变量特殊值）、构造法等方法进行推理和计算。要善于根据题目所给条件，联想具体的函数模型（但不可完全依赖模型，需严格推理）。例题解析：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，若f(a+1)<f(2a-1)，求实数a的取值范围。分析：本题是偶函数与单调性结合解不等式的问题。由于f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，且在[0,+∞)上单调递增，那么在(-∞,0]上单调递减。对于偶函数，有f(x)=f(|x|)，这是一个重要的转化技巧。解答：∵f(x)是偶函数，∴f(a+1)=f(|a+1|)，f(2a-1)=f(|2a-1|)。又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(a+1)<f(2a-1)，∴f(|a+1|)<f(|2a-1|)等价于|a+1|<|2a-1|。两边平方，得(a+1)²<(2a-1)²展开：a²+2a+1<4a²-4a+1移项化简：3a²-6a>0，即3a(a-2)>0解得a<0或a>2。∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞)。点评：利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)，可以将不等式f(a+1)<f(2a-1)转化为f(|a+1|)<f(|2a-1|)，再结合单调性去掉“f”，转化为绝对值不等式求解，避免了对a+1和2a-1正负性的讨论，简化了运算。五、函数图像与性质的综合应用函数的图像是函数性质的直观体现，掌握函数图像的画法（包括平移、对称等变换）及其与函数性质的联系，对于解决综合性函数问题至关重要。问题特征：根据函数解析式判断函数图像，利用函数图像解决方程根的个数问题、不等式的解集问题，以及函数图像的变换等。解题策略：1.识图与用图：熟悉基本初等函数的图像特征。对于复杂函数，可通过化简、分段、分析单调性、奇偶性等性质来描绘其大致图像。利用数形结合思想，将代数问题转化为图形问题求解。2.图像变换：掌握平移变换（“左加右减，上加下减”）、对称变换（关于x轴、y轴、原点、直线y=x等）的规律。例题解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像与直线y=a有且仅有两个交点，求实数a的取值范围。分析：先将函数f(x)去绝对值符号，化为分段函数，再画出其图像，通过观察图像与直线y=a的交点个数来确定a的范围。解答：当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x；当-1<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x≤-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x。所以，f(x)={2x,x≥1,{2,-1<x<1,{-2x,x≤-1.其图像为：在x≥1时是斜率为2的射线；在-1<x<1时是平行于x轴的线段y=2；在x≤-1时是斜率为-2的射线。由图像可知，当a>2时，直线y=a与f(x)的图像有两个交点；当a=2时，有无数个交点；当a<2时，没有交点或只有一个交点（a=2时是特殊情况）。∴实数a的取值范围是(2,+∞)。点评：本题通过将绝对值函数转化为分段函数，画出图像，利用数形结合的方法直观地解决了方程根的个数问题，体现了数形结合思想的优越性。总结与备考建议函数难题的求解，不仅需要扎实的基础知识（概念、性质、图像），更需要掌握科学的思想方法（如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想）和解题技巧。在期中考试备考过程中，同学们应：1.回归课本，夯实基础：深刻理解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性等核心概念和性质，熟练掌握基本初等函数的图像和性质。2.专题突破，总结规律：针对上述几类经典难题，进行专项练习，归纳各类问题的常见题型、解题思路和方法技巧。3.