初中几何对称知识重点归纳与练习

初中几何对称知识重点归纳与练习对称，是几何学中一个充满魅力的概念，它不仅在我们的自然界和生活中随处可见，也是解决许多几何问题的有力工具。掌握好对称知识，能帮助我们更深刻地理解图形的性质，提升空间想象能力和逻辑推理能力。下面，我们就来系统梳理一下初中阶段几何对称的重点内容，并通过一些练习来巩固。一、轴对称1.1轴对称图形与轴对称的概念首先，我们要明确两个容易混淆的概念：轴对称图形和两个图形成轴对称。*轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。例如：我们熟悉的等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等，都是轴对称图形。一个轴对称图形可能有多条对称轴，比如圆有无数条对称轴，正方形有四条对称轴。*两个图形成轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。例如：把一张纸对折后剪出的两个小人，它们关于折痕成轴对称。1.2轴对称的性质轴对称的核心性质，是理解和应用轴对称的关键：1.对称轴是对应点连线的垂直平分线：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连的线段。反过来，如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。2.对应线段相等，对应角相等：成轴对称的两个图形是全等形，因此它们的对应线段长度相等，对应角的度数相等。3.对应线段或其延长线的交点在对称轴上（如果对应线段相交）。1.3常见的轴对称图形及其对称轴熟练掌握常见图形的对称性，对解题非常有帮助：*线段：是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条是线段的垂直平分线。*角：是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。*等腰三角形：是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线（或顶角的平分线所在的直线，或底边上的高所在的直线，这三线合一）。*等边三角形：是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是各边的垂直平分线。*矩形：是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线。*菱形：是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。*正方形：是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线。*圆：是轴对称图形，它有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。1.4轴对称作图利用轴对称的性质，我们可以完成以下作图：1.作出一个点关于某条直线的对称点。2.作出一个图形关于某条直线的对称图形。基本步骤（以作点A关于直线l的对称点A'为例）：1.过点A作直线l的垂线，垂足为O；2.在垂线上截取OA'=OA，则点A'就是点A关于直线l的对称点。对于一个图形，可以通过作出图形上关键点的对称点，然后连接这些对称点，得到原图形的轴对称图形。二、中心对称2.1中心对称图形与中心对称的概念与轴对称类似，中心对称也有两个相关概念：中心对称图形和两个图形成中心对称。*中心对称图形：如果一个图形绕着某一个点旋转180度后，能够与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。这个点叫做这个图形的对称中心。例如：平行四边形（非特殊的）、矩形、菱形、正方形、圆等。*两个图形成中心对称：如果把一个图形绕着某一个点旋转180度后，它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。2.2中心对称的性质中心对称的性质同样重要：1.对称中心是对应点连线的中点：如果两个图形关于某点成中心对称，那么对称中心是任意一对对应点所连线段的中点。反过来，如果两个图形各对对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。2.对应线段平行（或在同一直线上）且相等：成中心对称的两个图形是全等形，因此它们的对应线段长度相等，对应线段平行或者在同一条直线上。3.对应角相等。2.3常见的中心对称图形及其对称中心*平行四边形：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*矩形：既是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*菱形：既是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*正方形：既是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*圆：既是中心对称图形也是轴对称图形，对称中心是圆心。*线段：既是中心对称图形（对称中心是线段中点）也是轴对称图形。三、轴对称与中心对称的联系与区别*联系：1.两者都是指图形的一种特殊变换关系，变换前后的图形都是全等形。2.定义中都涉及到“重合”的概念。3.一些特殊的图形（如矩形、菱形、正方形、圆）既是轴对称图形，也是中心对称图形。*区别：1.变换方式不同：轴对称是“翻折”变换，对称轴是直线；中心对称是“旋转”变换（旋转180度），对称中心是点。2.对应点连线特征不同：轴对称中，对应点连线被对称轴垂直平分；中心对称中，对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。3.对称轴/中心数量：轴对称图形可能有一条或多条对称轴；中心对称图形只有一个对称中心。四、对称知识的应用对称知识在几何解题中有着广泛的应用：1.利用对称性求角度或长度：通过对称可以将分散的条件集中，或者将未知量转化为已知量。2.利用对称性进行作图或设计：如作最短路径、设计对称图案等。“将军饮马”问题是轴对称应用的经典案例。3.证明线段或角相等：利用对称变换得到的对应线段相等、对应角相等来证明。4.判断图形形状：根据图形的对称性可以判断或证明图形的特殊性质。五、练习题基础巩固选择题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.正方形2.下列说法中，正确的是（）A.轴对称图形必有对称轴B.中心对称图形必有对称中心C.既是轴对称图形又是中心对称图形的图形一定是圆D.角是中心对称图形3.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标是（），关于原点对称的点的坐标是（）A.(a,-b)B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(b,a)填空题4.线段的对称轴有______条，对称中心是______。5.矩形的对称中心是______，它有______条对称轴。6.已知点A(3,4)，则点A关于y轴对称的点A'的坐标是______，点A关于原点对称的点A''的坐标是______。能力提升解答题7.如图，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'。（提示：请自行在草稿纸上画出简单示意图进行操作）8.已知四边形ABCD是平行四边形，求证：平行四边形是中心对称图形。（提示：根据中心对称图形的定义，证明其绕对角线交点旋转180度后与自身重合）9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是AD上一点。求证：EB=EC。（提示：利用等腰三角形的轴对称性）10.（将军饮马问题）如图，一位将军从军营A出发，先到河边l饮马，然后再到军营B。请问：将军怎样走才能使所走的路程最短？（要求：在图中画出最短路径，并简要说明理由）（提示：请自行在草稿纸上画出点A、点B和直线l进行分析）参考答案与提示（部分）选择题：1.D；2.A,B；3.A,C。填空题：4.2，线段中点；5.两条对角线的交点，2；6.(-3,4)，(-3,-4)。解答题：7.（作图步骤：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'，然后顺次连接A'B'、B'C'、C'A'即可。）8.（证明思路：连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O。因为平行四边形对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。对于平行四边形上任意一点P，绕点O旋转180度后，能找到对应点P'也在平行四边形上，且整个图形重合。）9.（证明思路：因为AB=AC，AD是BC边上的高，所以AD是△ABC的对称轴。点E在AD上，所以点E关于AD的对称点是其本身，因此EB和EC是对应线段，所以EB=EC。）10.（解题思路：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P就是将军饮马的最佳位置，即路径A->P->B最短。理