高等数学课程课件第5章-5.5元素法定积分在几何学上的应用1

(1)选取积分变量,如选取x,并确定其变化区间在[a,b]上选取任一小区间(2)所求部分量则记作量U的元素,2利用定积分求某个量U,可将步骤简化为:二、平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形的面积(1)设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,若曲线则解:例1与直线及

x

轴所围成的平面图形的面积A.(2)求由曲线与直线则取x为积分变量,例2

计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取x为积分变量例2

计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取y为积分变量例3

计算抛物线与直线的面积.解:得交点所围图形取

y

作积分变量,则解方程组2极坐标系下平面图形的面积(1)极坐标系极轴极径极点极角例4写出下图中各点的坐标

:(2)极坐标系下与直角坐标系下点的坐标之间的关系：(3)极坐标系下平面图形的面积求由曲线及围成的取θ为积分变量,任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为设曲边扇形的面积.对应

从0到2

例5计算阿基米德螺线解:的一段弧与x轴所围成的图形的面积.例6.计算心形线围成图形的面积.解:(利用对称性)由一个平面图形绕这平面内三、立体的体积1.旋转体:一条直线旋转一周而成的立体.如圆柱、圆锥、球体等.的曲边梯形曲边梯形坐标轴(1)由连续曲线直线及x轴所围成绕

x轴旋转一周而成的立体的体积.取x为积分变量,的曲边梯形(2)由连续曲线直线及y轴所围成而成的立体的体积.取y为积分变量,绕y轴旋转一周例7.

连接坐标原点O及点P(h,r)的直线,过O与P的直线方程为:旋转成一个底半径为r,直线x=h及x轴轴围成一个直角三角形,它绕x轴高为h的圆锥体,求这个圆锥体的体积.取x为积分变量,例8.

计算由椭圆所围图形分别绕

x

轴,

y轴旋转而成的椭球体的体积.

则机动目录上页下页返回结束解:(1)绕

x轴旋转,取x为积分变量例8.

计算由椭圆所围图形分别绕

x

轴,

y轴旋转而成的椭球体的体积.

则(2)绕

y轴旋转,取y为积分变量a=b

时,得半径为a的球体的体积例9.

计算由曲线及直线图形绕y轴旋转而成的立体的体积.

解：绕

y轴旋转,取y为积分变量，则所围成的图形绕y轴旋转而成的立体的体积.

图形绕y轴旋转而成的立体的体积.

则体积元素为因此所求体积为2.平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续.取x为积分变量,切片法计算该平面截圆柱体所得立体的体积.

x交成

角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面例10.作垂直于x轴的截面.取x为积分变量,解:截面面积A(x)问题:还有别的方法吗？xy

.解法2计算该平面截圆柱体所得立体的体积.交成

角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面取y为积分变量,作垂直于

y

轴的截面.截面面积四、平面曲线的弧长(1)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):所求弧长第三章第7节，曲率的推导公式*(2)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长(3)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长(4)曲线弧由极坐标方程给出:所求弧长得例11

计算曲线上相应于解:的一段弧长.例1