4.2.1 指数函数的概念

4．2指数函数4.2.1指数函数的概念明确目标发展素养1.通过具体的实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念与意义2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型1.通过学习指数函数的概念和意义，培养数学抽象素养2.借助指数函数的实际应用，提升数学建模和数学运算素养知识点指数函数的概念(一)教材梳理填空一般地，函数_______________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．[微思考]为什么规定指数函数y＝ax的底数大于0且不等于1?y＝ax(a＞0，且a≠1)(二)基本知能小试1．判断正误：(1)y＝x2是指数函数．

(

)(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．

(

)(3)y＝2x－1是指数函数．

(

)答案：(1)×

(2)×

(3)×解析：由题得f[f(－1)]＝f[2－(－1)]＝f(2)＝a2＝4，又a＞0，且a≠1，所以a＝2，故选D.答案：D

3．我国2011年年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2021年年

底我国人口总数是

(

)A．M(1＋p)8

B．M(1＋p)9C．M(1＋p)10 D．M(1＋p)11解析：从2010到2020年一共增长了10次．答案：C

题型一指数函数的概念

【学透用活】指数函数有四个特点(1)定义域必须是实数集R.(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项．(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0，且a≠1)不是指数函数．(4)底数a的范围必须是a>0，且a≠1.[典例1]给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是

(

)A．0

B．1

C．2

D．4[解析]

①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．[答案]

B[方法技巧]判断一个函数是指数函数的方法(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备，则该函数就不是指数函数．

答案：A2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．答案：2[答案]

64[方法技巧]

(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．

题型三指数函数的实际应用

[探究发现](1)什么是增长率？增长率与增加量有什么区别？

【学透用活】[典例3]甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析．参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.[解]

(1)1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3，……x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.

10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139(2)10年，20年，30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.(3)甲、乙两城市人口都逐年增长．其中，甲城市人口增长的速度快些，呈指数型增长；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．实际应用问题中指数函数模型的类型(1)指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．(2)指数减少模型：设原有量为N，每次的减少率为p，则经