3. 3 第一课时　对数函数y＝logax的图象和性质

3.3对数函数y＝logax的图象和性质明确目标发展素养1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．2.能结合图象分析对数函数的性质．3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．2.借助对对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理和数学运算素养.第一课时对数函数y＝logax的图象和性质(一)教材梳理填空对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表所示.

a>10<a<1性质(1)定义域：____________(2)值域：___(3)过定点______，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，____；当0<x<1时，____(5)当x>1时，

；当0<x<1时，____(6)在定义域(0，＋∞)上是增函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于

；当x值趋近于0时，函数值趋近于__________(7)在定义域(0，＋∞)上是减函数．当x值趋近于

时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大(0，＋∞)R(1,0)y>0y<0y<0y>0正无穷大正无穷大负无穷大[微思考]对于底数a＞1的对数函数，在区间(0，＋∞)内，底数越大，图象越靠近x轴吗？提示：是．(二)基本知能小试1．函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点

(

)A．(1,2)

B．(2,1)

C．(－2,1)

D．(－1,1)答案：D2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是

(

)答案：C题型一对数型函数的定义域

【学透用活】[典例1]求下列函数的定义域．(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x)；(3)y＝log(1－x)5.[方法技巧]求对数型函数定义域的注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．

题型二对数函数的简单应用

【分类例析】角度(一)比较大小

[典例2]比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141(a>0，且a≠1)．[解]

(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以f(1.9)<f(2)，即log31.9<log32.(2)(中间量法)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，则有logaπ>loga3.141；当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，则有logaπ<loga3.141.综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.141；当0<a<1时，logaπ<loga3.141.[方法技巧]比较对数值的大小的策略(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的单调性，然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论．(3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．

[方法技巧]对数不等式的三种考查类型(1)形如logam>logan的不等式，借助y＝logax的单调性求解．(2)形如logam>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．提醒：底数中若含有参数，一定注意底数大于0且不等于1，同时要注意对底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论．

【对点练清】1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则

(

)A．a＞c＞b

B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b(1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)；(2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s.(结果精确到个位，参考数据：e≈2.718，e4≈54.576，ln3≈1.099)[方法技巧]解决对数函数应用题的四个步骤

【对点练清】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：y＝k(1－p)x(k∈R，且k≠0；0<p<1；x≥0)．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值之差为1，求a的值．有位同学的解题过程如下：解：∵x∈[2,4]，∴f(x)的最大值为f(4)＝loga4，最小值为f(2)＝loga2，∴loga4－loga2＝1，即loga2＝1，解得

a＝2.这位同学的思路是否正确？如果不正确，请改正．提示：他的思路是错误的．正确解题过程如下：(1)当a＞1时，函数f(x)＝logax在[2,4]上是增函数，∴loga4－loga2＝1，二、应用性——强调学以致用2．溶液酸碱度的测量．