有理数的乘除运算：从数系扩张到运算律的迁移-北师大版七年级数学上册教学设计

有理数的乘除运算：从数系扩张到运算律的迁移——北师大版七年级数学上册教学设计一、教学内容分析  本节课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在掌握了有理数的意义、数轴表示及加减运算后，对数系运算规则的又一次关键性扩张。从知识图谱看，有理数的乘除运算不仅是算术四则运算在数系上的完整延展，更是后续学习有理数的乘方、实数运算、整式乘除乃至函数等内容的逻辑基石，其“承上”巩固了绝对值的概念与运算，“启下”为代数式的恒等变形提供了基本法则。课标强调在具体情境中理解运算意义，发展运算能力和推理能力，这要求教学不能停留于法则的记忆与操练，而应深入其数学本质。过程方法上，本节课是渗透“转化与化归”、“模型思想”与“符号意识”的绝佳载体。例如，将除法转化为乘法，体现了化未知为已知的转化思想；从实际情境或算式特例中归纳一般法则，则是数学建模的雏形；而对“符号”与“绝对值”的分别处理，则是抽象符号意识的集中体现。素养价值层面，通过探讨“为什么‘负负得正’”，引导学生超越经验直觉，进行逻辑层面的思辨与论证，初步体验数学规则规定的合理性与逻辑自洽性，培养严谨求实的科学精神和理性思维。  学情研判需立体展开。学生已有基础包括：熟练的正数乘除运算技能、有理数的概念及加减运算经验，并初步具备了用数轴表示数的能力。潜在障碍主要有三：其一，从加减运算的“方向”思维惯性，转向乘除运算的“比例与反比例”关系，认知跨度较大；其二，对“负负得正”这一核心法则的理解容易停留在机械记忆层面，缺乏逻辑认同感；其三，在混合运算中，容易混淆运算顺序与符号法则。教学对策上，应设计坡度渐进的活动序列。对于基础较弱的学生，借助直观模型（如债务模型、温度变化模型）和大量具体算例，帮助其建立感性认知与运算熟练度；对于思维较快的学生，则引导其关注法则的归纳过程与逻辑验证，鼓励其探究法则间的内在统一性。课堂中，将通过“前测”问答、小组讨论中的观点捕捉、板演练习的典型错误分析等形成性评价手段，动态诊断学情，适时调整讲解深度与练习节奏，为不同认知节奏的学生搭建适宜的“脚手架”。二、教学目标  知识目标：学生能够理解有理数乘法与除法法则的生成过程，不仅能准确表述“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）”的运算规则，还能解释其合理性。学生能熟练进行两个有理数的乘除运算，并明确除法可转化为乘法的内在联系，初步形成对有理数四则运算体系的整体认知。  能力目标：学生能够从实际情境或系列算式中，通过观察、比较、归纳、类比等思维活动，自主发现有理数乘除运算的符号规律与绝对值运算规律，发展归纳推理能力。在解决涉及有理数乘除的实际问题或复杂算式时，能灵活、准确地运用运算顺序和法则进行计算，提升运算能力与综合应用能力。  情感态度与价值观目标：在探索“负负得正”等数学规则的过程中，学生能体验到数学并非任意规定，而是源于逻辑一致性的内在需求，从而培养对数学严谨性与逻辑美的欣赏。在小组合作探究中，能积极倾听同伴意见，敢于提出自己的猜想并尝试论证，形成理性交流、合作探究的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的数学建模思想与转化思想。通过将现实问题抽象为数学算式，并归纳出普适法则，体验数学建模的过程。深刻体会除法运算统一转化为乘法运算的化归策略，认识到这是简化数学体系、彰显数学内部和谐统一的重要思想方法。  评价与元认知目标：学生能够运用清晰的运算步骤（先定符号，再算绝对值）作为自我检查的“量规”，来核验计算结果的正确性。在课堂小结时，能够反思自己在探索法则过程中遇到的困难及克服方法，初步学会梳理知识之间的逻辑联系，如思考“乘除运算与加减运算在确定符号的方法上有何本质不同？”三、教学重点与难点  教学重点：有理数乘法和除法的运算法则，及其在混合运算中的准确应用。确立依据在于，该法则是本节课最核心的“大概念”，是整个有理数运算体系的支柱性规则。从学业评价角度看，它是解决一切有理数乘除运算问题的直接工具，是后续学习代数式运算、解方程等不可或缺的基础技能，属于高频、高基础性考点。掌握其本质，方能确保运算的准确性与后续学习的流畅性。  教学难点：对乘法法则中“负负得正”的理解，以及除法法则与乘法法则之间内在统一性的认识。难点成因在于，“负负得正”超出了学生的日常生活直觉（如“亏损的亏损”为何是“盈利”），具有一定抽象性，学生易产生“为什么这样规定”的困惑。而除法作为乘法的逆运算，其法则可以从乘法直接推导，但这种逻辑关联需要学生进行主动的思维建构，而非被动接受。突破方向在于，利用多种模型（如数轴连续运动、规律排列）进行直观阐释，并设计从乘法推导除法的逻辑链条，引导学生完成认知跨越。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、情境动画、分层练习题）；板书设计稿（左侧预留法则归纳区，右侧为核心例题与学生板演区）。1.2学习材料：“有理数乘除运算探索”学习任务单（含前测、探究记录表、分层巩固练习）；小组讨论卡片。2.学生准备2.1知识准备：复习有理数的绝对值概念及加减运算法则；预习课本相关章节，记录疑问。2.2物品准备：直尺、不同颜色笔。3.环境准备  课桌椅调整为4人小组合作式布局，便于讨论与互学。五、教学过程第一、导入环节1.情境激疑，提出问题：1.2.1.1呈现微型情境：“小明的财富日记：如果每天亏损（记为负）3元，那么3天后的总变化是多少？如何列式？如果已知3天后的总变化是亏损9元，平均每天亏损多少？又如何列式？”同学们，这里的“亏损”和“天”数，能直接用我们学过的数表示吗？2.3.1.2学生容易列出：（3）×3=？和（9）÷3=？。教师追问：“我们知道正数乘除怎么做，可当数前面带上了‘’号，这些运算又该如何进行呢？这就是我们今天要攻克的核心堡垒。”3.4.1.3路径明晰：“我们将像数学家一样，从已有的经验出发（指正数运算和有理数加减），通过观察算式的规律、联系实际意义，一步步推理、归纳出有理数乘除运算的‘宪法’。首先，我们将联手探索乘法法则，然后看看能否利用乘除的‘亲密关系’，一鼓作气拿下除法。”第二、新授环节任务一：温故知新，奠基探究教师活动：首先进行简短前测，口答或板演：①4×5=?②(4)+(4)+(4)=?并提问：“第②题能用乘法表示吗？它等于多少？”借此建立乘法与连续加法的联系。接着，抛出启发性问题：“在有理数加法中，我们处理了‘符号’问题。请猜想，乘法运算中，‘符号’和‘绝对值’可能会分别遵循什么规律？”引导学生将问题分解为“符号如何确定”和“绝对值如何计算”两个子问题，为后续探究定向。好，我们先聚焦正数与负数的乘法。学生活动：回答前测问题，理解乘法是加法的简便运算。针对教师提出的猜想，进行初步思考并与同桌简单交流，明确本环节探究的核心是两个子问题：积的符号规律与积的绝对值规律。即时评价标准：1.能否准确建立相同负数连加与乘法的等价关系。2.能否清晰地将探究目标分解为符号与绝对值两个维度。形成知识、思维、方法清单：  ★探究导向：有理数乘法法则的探究，可以系统性地从两个维度展开——积的符号和积的绝对值。这是一种重要的分析复杂数学问题的结构化思维。  ▲知识关联：乘法是求几个相同加数和的简便运算，这一定义在有理数范围内依然成立，是联系新旧知识的桥梁。任务二：探索规律，归纳乘法法则（以异号相乘为例）教师活动：利用课件出示一组算式：3×2=6；3×(2)=?；(3)×2=?；(3)×(2)=?。首先聚焦前两个算式：“3×2=6我们熟悉。那么3×(2)可以理解为3个(2)相加，根据加法法则，结果是6。”板书展示计算过程。接着问：“(3)×2又该如何理解？能转化为加法吗？”（引导学生思考：可理解为2个(3)相加，结果为6）。此时，引导学生观察前三组算式：“大家看看，积的符号与因数的符号有什么关系？积的绝对值与因数的绝对值又有什么关系？”鼓励学生用语言描述初步发现。对于“负负得正”暂不直接给出，转入下一任务。学生活动：跟随教师引导，通过将乘法转化为已学的加法，计算出3×(2)和(3)×2的结果。观察、比较算式，尝试用语言归纳异号两数相乘的规律：“异号得负，绝对值相乘”。记录这一发现。即时评价标准：1.能否顺利将乘法转化为加法进行计算。2.归纳的规律语言是否准确、简洁。3.小组讨论时，是否每位成员都参与了观察与表述。形成知识、思维、方法清单：  ★核心法则（一）：异号两数相乘，结果为负，并将绝对值相乘。这是通过“转化化归”为已知的加法运算而推导出的可靠结论。  ▲思维方法：从特殊到一般。通过对几个具体算例的精确计算和观察，发现其中稳定的规律，是数学归纳推理的基本方法。  ●教学提示：此环节务必放慢节奏，让学生亲身经历从“加法”这座已知桥梁走向“乘法”新大陆的过程，这是理解而非记忆法则的关键。任务三：挑战认知，理解“负负得正”教师活动：指向最后一个算式(3)×(2)。“现在最有趣的挑战来了：负数乘负数，结果应该是正还是负？绝对值是多少？我们不能直接套用加法了，需要新的思考方式。”提供两种“脚手架”：方式一（规律延续性）：纵向观察上面四组算式：3×2=6，3×(2)=6，(3)×2=6，引导学生发现，当第一个因数从3变为3（即乘以1），积从6变为6（也是乘以1）。那么，如果第二个因数也从2变为2（再乘以1），积会如何变化？按照“规律延续”的猜想，(6)再乘以1，结果应为6。方式二（现实模型）：用“时间与债务”模型解释：“如果每天偿还债务（减少负债）可视为‘正’，那么(3)表示每天负债增加3元。(2)表示两天前。那么(3)×(2)就表示：两天前，我的负债比现在少6元，即财产多6元，所以结果是+6。”然后提问：“这两种解释，哪种让你对‘负负得正’感觉更信服？为什么？”学生活动：在教师引导下，尝试用“规律延续”的逻辑进行推理，或理解“债务模型”的现实意义。小组内部讨论对“负负得正”的理解，尝试用自己的话向同伴解释。最终认同并接受“同号两数相乘，结果为正，绝对值相乘”的法则。即时评价标准：1.能否跟上教师的逻辑推理或理解现实模型的类比。2.在小组讨论中，能否尝试用自己的语言解释“负负得正”。3.是否表现出对数学逻辑一致性的认同感。形成知识、思维、方法清单：  ★核心法则（二）：同号两数相乘，结果为正，并将绝对值相乘。结合任务二，合并为完整的乘法法则。其理解难点“负负得正”需借助数学内在规律的自洽性或合理的现实模型来阐释。  ▲数学本质：数学规则的制定追求逻辑自洽与体系完备。“负负得正”是为了确保乘法交换律、结合律及分配律在有理数范围内依然成立而必须做出的规定，它体现了数学的严谨与和谐之美。  ●易错警示：切勿将加减法的符号法则（同号相加取原符号）与乘法的符号法则混淆。可以开玩笑地说：“加减法是‘同伙聚会’，乘除法是‘正反对决’，规则完全不同哦！”任务四：转化视角，自主推导除法法则教师活动：板书：∵(3)×4=12，∴(12)÷(3)=?且(12)÷4=?。提问：“除法是乘法的逆运算。已知积和其中一个因数，求另一个因数，这就是除法。请大家利用这个关系，填空并计算上述两题。”待学生得出(12)÷(3)=4，(12)÷4=3后，引导学生将这四个式子（连同符号）看作一个整体：“观察这些乘除互逆的算式，你能发现除法运算的符号和绝对值，与乘法法则有类似之处吗？试着模仿乘法法则，总结一下除法法则。”教师巡视，收集不同表述。学生活动：根据乘除互逆关系完成填空和计算。观察、对比乘法与除法算式，独立尝试归纳除法法则。随后小组交流，完善表述：“同号得正，异号得负，并把绝对值相除。”即时评价标准：1.能否准确运用乘除互逆关系进行计算。2.归纳的除法法则是否完整、准确，且与乘法法则形式对称。3.是否意识到可以通过“转化”利用已知（乘法）解决未知（除法）。形成知识、思维、方法清单：  ★核心法则（三）：有理数除法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。其推导完全依赖于除法是乘法的逆运算这一根本关系。  ★核心方法：转化法（化归）。将除法运算转化为乘法运算，是更根本、更统一的策略。即“除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数”。教师可以提示：“这是除法运算的‘终极法宝’，下节课我们会重点操练，今天先知其然。”  ▲体系观：乘法和除法法则在形式上高度统一，这体现了数学知识内部的对称与和谐。鼓励学生从整体上把握运算体系。任务五：法则整合与初步应用教师活动：邀请学生代表将乘法、除法法则完整地书写在板书的指定区域。教师用精炼的语言总结：“符号命运共同体，乘除法则一家亲；同号得正异号负，绝对值来算分明。”然后出示两道例题：①(5)×(6)②8÷(4)。请两名学生板演，要求体现“先定符号，再算绝对值”的步骤。板演后，组织学生评议，强调步骤规范性。学生活动：参与法则的最终表述与板书。观看同伴板演，按照步骤规范进行评议。每人随堂完成任务单上的23道类似简单计算，进行即时巩固。即时评价标准：1.板演是否清晰展示了“先定符号，后算绝对值”的两步思维流程。2.评议时能否指出步骤的规范性与结果的正确性。3.自主练习的准确率。形成知识、思维、方法清单：  ★操作流程：进行有理数乘除运算的标准化步骤：一、定符号（运用符号法则）；二、算绝对值（进行乘除运算）。这一流程是保证运算正确性的“行动指南”。  ●学习策略：程序性知识的学习，需要清晰的步骤分解和规范的练习。遵循步骤能有效减少错误。第三、当堂巩固训练  设计分层训练任务，学生可根据自身情况选择完成。基础层（全体必做）：1.口答符号：(+7)×(9)，(10)÷(2)，0×(5.2)，(1)÷(+1)。2.计算：(1)(4)×6(2)(9)÷(3)(3)0÷(7)。（教师巡视，关注基础薄弱生的完成情况，即时个别辅导：“先别急算数，看符号定了吗？”）综合层（多数完成）：1.计算：(1.25)×(8)÷(0.5)。引导思考：“这里有乘有除，运算顺序如何？可以一步步按顺序算，也可以灵活处理。”2.一个数的绝对值是5，另一个数的绝对值是2/5，且两数乘积为负，求这两个数的商。（此题综合绝对值、符号法则和乘除互逆，鼓励小组讨论。）挑战层（学有余力选做）：探究：已知a,b均为非零有理数，试判断“若a+b<0且ab>0，则a,b的符号特征”并说明理由。（此题关联加减与乘除的符号特征，锻炼逻辑推理。）反馈机制：基础层练习通过全班核对、手势反馈（如拇指向上/下表示正负）快速了解整体掌握情况。综合层与挑战层选取有代表性的解答进行投影展示，由学生讲解思路，教师侧重点评其中蕴含的数学思想（如综合应用、分类讨论）。展示典型错误（如符号定错、顺序混乱），进行集体“会诊”，深化理解。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结：“如果让你用一张图或一个结构表来梳理今天的收获，你会如何设计？”给予一分钟构思，随后邀请学生分享。可能的框架：中心是“有理数乘除运算”，分出两大主干“乘法法则”和“除法法则”，枝叶包括“符号法则”、“绝对值运算”、“两者关系（互逆、可转化）”、“思想方法（转化、归纳、模型）”等。  教师进行元认知引导：“回顾一下，在探索‘负负得正’时，你经历了怎样的心路历程？从困惑到理解，是什么帮助了你？（是老师的模型，还是自己的推理？）这种经验对你以后学习新规则有什么启发？”（“学习的过程，有时候需要跨越直觉，拥抱逻辑。”）  布置分层作业（详见第六部分），并预告下节课：“今天我们是‘立法者’，制定了乘除法则。下节课我们将成为‘执行官’和‘设计师’，进行混合运算的实战，并运用这些法则解决生活中的实际问题，比如计算复利、分析数据变化率等。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.完成课本本节后配套的基础练习题（全部）。2.整理今日课堂笔记，用彩色笔突出标注乘除法符号法则。3.自编3道有理数乘法和3道除法计算题，并给出答案。...展性作业（建议大多数学生完成）：1.生活应用：查阅资料或自行设计一个可以用有理数乘法或除法解决的实际问题情境（如温度变化速率、海拔升降、收入支出累计等），并写出解答过程。2.思维挑战：计算：(1)×2×(3)×4×...×(19)×20的符号是正还是负？请写出你的推理过程，不需算出最终数值。  探究性/创造性作业（选做）：1.数学史小探究：历史上，不同文明（如古印度、阿拉伯）的数学家是如何接受和理解“负负得正”的？写一段300字左右的简介。2.创意表达：尝试创作一首短诗、一个口诀或一幅漫画，来帮助同学们形象地记忆和理解有理数乘除法的符号法则。七、本节知识清单及拓展  ★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。这是有理数乘法运算的根本大法，其核心在于符号与绝对值分别处理。  ★2.“负负得正”的理解：这是法则的难点。可从两个角度理解：一是保持乘法运算律（如分配律）在有理数范围内的一致性；二是利用现实模型（如负债模型、方向与时间模型）进行直观类比。其接受标志着数学思维从直观经验向逻辑抽象的飞跃。  ★3.有理数除法法则：两数相除（除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意，法则形式上与乘法高度统一。  ★4.除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是更本质、更通用的运算策略，实现了乘除运算的内在统一，是后续简化运算的关键。  ★5.运算步骤标准化：进行单步乘除运算，建议遵循“先定符号，再算绝对值”的清晰流程。此步骤能有效剥离难点，降低错误率。  ●6.符号决定本质：有理数乘除运算结果的符号，完全由因数的符号决定。这与加减法“看绝对值大小”有本质区别，是极易混淆点。  ▲7.倒数概念预热：乘积为1的两个有理数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。此概念是除法转乘法的桥梁。  ▲8.运算律的初步印象：有理数乘法同样满足交换律、结合律、分配律。这些运算律是简化复杂计算的利器，其有效性也反向印证了法则（尤其是“负负得正”）的合理性。  ●9.易错点警示：(1)漏定符号或符号定错。(2)除法中忽略“除数不为0”的条件。(3)将乘除法的符号法则与加减法混淆。(4)计算绝对值时出现基本算术错误。  ▲10.学科思想方法：本节课核心渗透了转化与化归思想（除法化乘法，复杂化归为简单）、模型思想（用实际模型解释抽象规则）、归纳推理思想（从特例归纳一般法则）和符号意识（用符号代表数并进行形式运算）。八、教学反思  （一）目标达成度分析从当堂巩固练习的反馈来看，约85%的学生能独立、准确完成基础层计算，表明核心知识与技能目标基本达成。在综合层问题讨论中，超过半数学生能清晰表述运算顺序和符号确定理由，体现了对法则的理解而不仅是记忆。情感与思维目标方面，在探讨“负负得正”时，学生眼中从困惑到恍然的神情，以及课后有学生主动分享用“方向反转”模型理解该法则，是目标达成的生动证据。然而，仍有少数学生在混合运算顺序与符号确定同时出现时显得犹豫，说明知识的内化与自动化还需后续练习巩固。  （二）教学环节有效性评估导入环节的“财富日记”情境虽小，但快速锚定了“负数参与运算”的现实必要性，激发了求知欲。新授环节五个任务的梯度设计基本合理：“任务二”通过加法过渡，有效化解了异号相乘的认知障碍；“任务三”提供逻辑与模型两种“脚手架”，尊重了学生不同的思维偏好，是突破难点的关键设计。有学生课后说：“用‘规律延续’（即因数变化引起积的规律变化）来解释‘负负得正’，让我感觉是数学本身在要求这样，而不是老师强加的规定。”这正体现了数学内在逻辑的魅力。巩固环节的分层设计满足了差异化需求，但时