第15讲：从桥梁设计到利润优化-二次函数建模的高阶思维与素养进阶方案

第15讲：从桥梁设计到利润优化——二次函数建模的高阶思维与素养进阶方案一、教学内容分析

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“函数”主题下的核心内容，是初中数学知识体系从形式化理解迈向实践化应用的关键转折点。从知识技能图谱看，它要求学生在已掌握二次函数图象与性质的基础上，完成从“识图认性”到“据事建模”的认知跃迁，其核心技能在于将现实世界中的变量关系抽象为二次函数模型y=ax²+bx+c(a≠0)，并运用配方法、图象法或公式法求解最值、交点等关键问题，为后续学习更复杂的函数模型奠定坚实的应用基础。过程方法上，本节课是渗透“数学建模”这一核心素养的绝佳载体，教学应引导学生完整经历“情境识别—假设简化—建立模型—求解检验—解释推广”的建模过程，将数学思想从“解题工具”升维为“认知世界的一种语言”。素养价值渗透层面，通过选取具有本土特色（如甘肃地区的桥梁、隧道、特产销售）或普遍意义的现实问题，引导学生在解决实际挑战中体会数学的实用性与严谨性，培养其数据观念、应用意识与创新精神，实现“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”的育人目标。

学情研判是本节课设计差异化路径的基石。学生已有基础是掌握了二次函数的一般式、顶点式、图象开口、对称轴及顶点坐标等基本知识，生活经验中对抛物线形状（如喷泉、拱桥）和“成本销量利润”关系有一定感性认识。然而，普遍存在的认知障碍在于：难以从冗长的文字描述中精准剥离出有效的数学信息；在设定自变量取值范围时经常忽略实际意义的约束；对求得的数学解进行合理性检验的意识薄弱。因此，教学过程需嵌入动态评估设计，例如，在“任务一”中通过追问“你认为这里的自变量x可以取任意实数吗？”来探查学生对定义域实际意义的理解；在小组讨论中巡视，观察学生绘制示意图、列表分析数据的习惯，以此作为调整教学节奏与支持策略的依据。针对上述障碍，教学将提供“信息筛选表”、“自变量意义辨析卡”等可视化脚手架，并对理解速度不同的学生设置差异化的探究引导问题，如对基础层学生提供更细化的步骤提示，对进阶层学生则直接抛出开放性的优化问题。二、教学目标

知识目标：学生能系统地理解二次函数模型解决实际问题的“六步法”（审、设、列、解、验、答），并能辨析不同应用类型（如最值问题、抛物线形问题）中关键数量关系的本质区别；能准确地将利润最大化、面积最优化、抛物线形运动轨迹等情境转化为二次函数表达式，并熟练掌握通过配方或公式求顶点坐标来确定最值的方法。

能力目标：学生能够独立或在协作中，完成从复杂文字情境中提取变量、建立二次函数模型、求解并解释结果的全过程；发展数学阅读与信息加工能力，能够绘制示意图辅助分析；提升数学表达能力，能清晰、有条理地书面或口头阐述建模思路与结论。

情感态度与价值观目标：通过解决与家乡发展或生活息息相关的实际问题，学生能深切感受数学的应用价值，激发学习内驱力；在小组合作建模过程中，养成严谨求实的科学态度和乐于分享、倾听他人见解的合作精神。

科学（学科）思维目标：重点发展数学建模思维和优化思想。学生能体验并初步掌握数学建模的基本流程，学会用数学符号刻画现实规律；在解决最值问题时，能自觉运用函数与方程思想、数形结合思想进行分析与决策。

评价与元认知目标：学生能依据教师提供的“建模过程评价量规”，对自身或同伴建立的模型进行初步评价，指出优点与改进之处；能在学习结束后，通过绘制思维导图反思建模过程中的关键步骤与易错点，形成个性化的问题解决策略清单。三、教学重点与难点

教学重点：建立实际问题的二次函数模型，并利用二次函数的性质求最值。确立依据源于课标对“模型观念”和“应用意识”的核心要求，以及甘肃中考对此类问题“高频、综合、压轴”的考查定位。它不仅是连接函数理论与现实世界的枢纽，更是培养学生数学核心素养的关键能力载体。掌握此重点，意味着学生能将抽象的数学知识转化为解决真实问题的工具。

教学难点：在于如何从复杂的实际情境中，准确地抽象出变量间的二次函数关系，并合理确定自变量的取值范围。其成因在于学生需同时克服“阅读理解关”、“数学抽象关”和“意义约束关”。常见失分点包括：错误设定变量、忽略各项系数的实际意义、求最值时未考虑定义域限制导致答案脱离实际。突破方向在于强化“回到情境中检验”的步骤，并通过变式训练，让学生在不同的应用背景中反复锤炼抽象能力。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含兰州中山桥、敦煌月牙泉等本土化情境图片、动态函数图象生成工具）、实物抛物线模型（如拱形桥模型）。

1.2学习材料：分层学习任务单（含“奠基区”、“探索区”、“挑战区”任务）、建模过程评价量规卡片、小组讨论记录表。

1.3环境与预设：将学生分为异质小组（4人一组，兼顾不同层次），黑板分区规划（左侧用于展示核心建模步骤，右侧用于呈现学生生成性成果）。2.学生准备

2.1知识回顾：复习二次函数的三种表达式及其相互转化，熟练掌握求顶点坐标的方法。

2.2物品准备：直尺、铅笔、草稿纸。五、教学过程第一、导入环节

1.情境激趣，抛出锚点：“同学们，大家看屏幕上这张壮观的图片，这是我们兰州的标志——中山桥。请大家仔细观察它的桥拱形状，你能联想到我们学过的哪种函数图象？”（等待学生回答：抛物线、二次函数）。“没错！设计师们正是运用了二次函数的原理，才让桥梁既坚固又优美。再看这个，假设我们甘肃的一位电商朋友，想通过网络销售家乡的百合，他发现定价高低会影响销量，从而影响总利润。这背后又藏着怎样的数学规律呢？”

1.1核心问题提出：“从优美的拱桥设计到现实的利润优化，看似不相关的两件事，其实都被同一种数学工具所刻画。那么，我们如何用二次函数这把‘钥匙’，去解开这些实际问题的‘锁’，并找到那个‘最优解’呢？”

1.2路径明晰：“今天，我们就化身‘数学建模师’，一起踏上探究之旅。第一步，我们将剖析一道经典的拱桥问题，提炼出建模的通法；第二步，大家将小组合作，挑战利润优化难题；最后，我们还要学会批判性地审视我们的模型。准备好接受挑战了吗？让我们先从这座桥开始。”第二、新授环节任务一：解剖案例——拱桥问题中的建模初探教师活动：呈现问题：“一座拱桥呈抛物线形，桥拱最高点离水面2m，水面宽度为4m。建立适当坐标系，求该抛物线的函数表达式。”首先，不急于讲解，而是提问：“面对这样一个实际问题，我们的第一步应该做什么？”（引导学生说出：审题、设元）。接着，利用几何画板动态演示建立不同坐标系（以水面中点为原点/以顶点为原点）的过程，提问：“比较一下，哪种建系方式能让得到的函数表达式更简洁？为什么？”引导学生发现以顶点为原点建系的优势。然后，带领学生共同完成“设列解”步骤，板书规范格式。最后追问：“求出表达式后，我们的工作结束了吗？如果有一艘船，船顶宽3m，想要安全通过，船顶距桥拱至少需要0.5m，请问船在水面以上部分的最大高度是多少？”以此引出“验答”环节，强调模型的应用与检验。学生活动：观察问题，思考教师提出的初始问题。跟随教师演示，积极思考并回答关于建系方式的比较问题。在教师引导下，口头参与表达式的推导过程。针对最后的追问，尝试独立思考或与邻座简单交流，理解如何将新的限制条件代入模型求解。即时评价标准：1.能否清晰地口头表达审题后的第一步思考。2.在比较建系方式时，是否能说出“简洁性”或“对称性”等关键理由。3.在解决船只高度问题时，能否正确理解“船顶距桥拱至少0.5m”这一条件并将其转化为数学不等式或代入求值。形成知识、思维、方法清单：★核心建模步骤（六字诀）：审（清题意）、设（坐标系或变量）、列（函数式）、解（方程或最值）、验（合理性）、答（回归实际）。这不仅是流程，更是一种思维习惯，务必在每一步都“回头看”，确保数学世界与现实世界不脱节。▲坐标系选择的艺术：在抛物线形问题中，巧妙建立直角坐标系能极大简化运算。通常选择顶点或对称轴为y轴，水平线（如水面）为x轴，充分利用对称性。这体现了“化繁为简”的数学智慧。◆自变量实际意义的坚守：求出的函数解析式，其自变量x的取值范围受到实际情境的严格限制（如水面宽度决定x的范围）。忽略定义域，模型就失去了灵魂。要时刻记住：“数学解必须接受现实的检验。”任务二：方法迁移——利润最大化问题的合作攻坚教师活动：发布小组合作任务单（探索区）：“某网店销售甘肃特产‘百合干’，每斤成本30元。调查发现，若售价每斤50元，日均销售100斤；售价每上涨1元，日均少卖5斤。设售价上涨x元，日均总利润为y元。求y关于x的函数表达式，并确定售价为多少时日均总利润最大，最大利润是多少？”教师巡视，提供差异化指导：对卡在“列式”的小组，提示“总利润=单利×销量”，并协助他们用表格梳理“售价销量”的变化规律；对已列出表达式的小组，挑战性提问：“如果网店平台要求每斤售价不能超过60元，你的结论需要调整吗？为什么？”引导他们关注自变量取值范围的变化对最值的影响。学生活动：以小组为单位展开讨论。阅读理解问题，尝试厘清“售价上涨x元”后，新的售价和新的销量如何表示。合作完成函数表达式的推导。共同讨论求最值的方法（配方或公式法）。积极思考教师提出的附加条件，重新审视自变量x的范围，并调整结论。即时评价标准：1.小组讨论时，成员分工是否明确，是否人人参与。2.在推导表达式时，能否正确表示“上涨后售价=(50+x)元”和“上涨后销量=(1005x)斤”。3.对于附加条件，能否快速反应并准确计算出新的x取值范围及对应最值。形成知识、思维、方法清单：★利润问题核心关系式：总利润=(售价成本)×销量。这是经济类问题的通用骨架。关键在于准确表示“售价”和“销量”，它们通常是关于同一个自变量（如涨价额x）的一次函数。◆定义域的双重约束：自变量的取值范围受两方面制约：一是数学隐含条件（如销量不能为负，即1005x≥0），二是题目明确给定的实际限制（如售价上限）。求最值时，必须考虑顶点横坐标是否在定义域内，否则最值将在端点处取得。“数形结合”验证思路：在求出表达式后，鼓励学生快速画出函数草图。通过观察抛物线开口方向和顶点大致位置，能直观预判是否存在最值以及最值的大致情况，这是检验计算是否离谱的有效方法。任务三：模型反思——从“最优解”到“好策略”教师活动：邀请两个小组上台展示任务二的解答过程。随后，不急于判断对错，而是引导全班进行思辨：“两位‘CEO’都得出了他们的‘最优定价’。但如果我们经营一家实体店，还需要考虑库存、人气等因素，纯粹利润最大的定价一定是唯一最好的策略吗？”引导学生认识到数学模型提供的是理论最优，实际决策还需综合多方面因素。然后，提出一个反思性问题：“回顾我们解决这两个问题的过程，你觉得建立二次函数模型解决实际问题，最关键、最易错的环节分别是什么？”学生活动：认真聆听同伴的展示。参与教师的思辨讨论，结合生活经验发表看法（如“定价太高可能影响长期顾客”）。回顾整个学习过程，反思和提炼个人认为的关键与易错点，并记录在学案上。即时评价标准：1.展示小组能否清晰、连贯地讲解其建模逻辑。2.在思辨环节，学生能否跳出纯数学计算，从更广阔的实际角度思考问题。3.反思环节，学生提炼的要点是否准确、个性化（如“审题时圈画关键词”、“列式后立刻想定义域”）。形成知识、思维、方法清单：★模型的局限性与决策智慧：数学模型是强大的工具，但并非万能。它基于假设和简化，得出的“最优解”是理论值。真实的决策往往需要在数学最优与其他约束（成本、风险、社会责任等）之间寻求平衡。这体现了数学理性与人文关怀的结合。易错点集锦（学生生成）：可能包括：①设元不当，未清楚说明x的意义；②列式时，忽略涨价后销量减少是“每涨1元少卖5斤”，误写成(100+5x)；③求最值后，忘记将x的值代回求对应的售价；④完全忽略自变量取值范围。▲从“学会”到“会学”：鼓励学生建立自己的“错题档案”和“方法心得”，将建模的流程和注意事项内化为一种稳定的问题解决程序。这才是应对中考乃至未来复杂问题的核心能力。第三、当堂巩固训练

设计分层训练题组，学生可根据自身情况选择完成至少两个层次的题目。

基础层（巩固核心建模）：1.从一块矩形铁皮的四角各切去一个边长相等的小正方形，制作无盖盒子。设切去小正方形边长为x，盒子体积为V，建立V关于x的函数关系式（仅列式，不求最值）。

综合层（应用与变式）：2.（甘肃中考改编）某景区纪念品商店销售“铜奔马”模型，进价40元/个。经调查发现，当售价为60元时，日均售出200个；售价每降低1元，日均多售出20个。在保证日均获利至少为5000元的前提下，该纪念品售价至少应定为多少元？（提示：获利至少5000元，意味着函数值y≥5000）

挑战层（开放探究）：3.查阅资料或结合物理知识，思考：在体育项目中，如投掷铅球或篮球投篮，其运动轨迹在忽略空气阻力时是否可以近似看作抛物线？尝试建立一個简单的数学模型，说明哪些因素（如出手角度、初速度）决定了这个“二次函数”的哪些系数。

反馈机制：基础层题目通过同桌互查表达式结构进行快速反馈；综合层题目由教师抽取不同解法的学生板演，重点讲评如何将“至少获利5000元”转化为二次不等式（或结合图象看函数值范围）的思维过程；挑战层题目作为课后延伸思考点，鼓励有兴趣的学生组成项目小组进行探究，下节课分享。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结：“同学们，今天我们这场‘数学建模之旅’即将到站。现在，请大家尝试用一句话、一个流程图或几个关键词，为本节课的核心收获‘盖章’。”给学生12分钟静思或草绘。随后邀请几位学生分享，教师补充并板书核心框架：“实际问题→数学抽象（二次函数模型）→数学求解→解释验证→实际决策”。强调“抽象”与“验证”是连通数学与现实的两座桥梁。“记住，今天我们学的不是几道题，而是一种用数学建模的眼光看世界的方法。”

作业布置：必做（基础性）：1.整理课堂建模“六步法”笔记，并完成教材上对应的一道基础应用题。2.修正和完善课堂任务单上的所有练习。选做（拓展性）：寻找一个生活中可能用二次函数描述的现象或问题，尝试用今天的步骤进行简要分析，并记录你的思考和疑问（哪怕模型不完善也没关系）。我们下节课将分享大家的发现。六、作业设计

基础性作业（必做）：1.书面系统梳理二次函数解实际问题的基本步骤，并各举一例说明。2.完成配套练习册中关于“抛物线形图形问题”和“销售利润最值问题”的基础题型各2道，要求过程完整，尤其注重“设”与“答”的规范性。

拓展性作业（鼓励大多数学生完成）：3.（情境化应用）假设你是班级元旦晚会采购负责人，需要在线购买一批装饰品。已知某种彩灯串的单价与购买数量存在优惠关系：购买不超过10串时，每串20元；超过10串的部分，每串可打8折。设购买x串（x>10），总费用为y元。(1)建立y关于x的函数关系式。(2)若预算为300元，最多能购买多少串？请写出你的采购方案与计算过程。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：4.（微型项目）请以“二次函数在‘我’身边”为主题，进行一次小调查或小设计。形式任选其一：A.撰写一份简短的研究报告，分析本地某个拱形建筑（如天桥、门洞）的近似抛物线方程（可通过测量、估算建立坐标系）。B.设计一个简单的“定价模拟游戏”规则，让玩家通过调整价格来观察虚拟商品的利润变化，体验二次函数最值的意义。七、本节知识清单及拓展★1.二次函数解应用题的通用流程（六步法）：审、设、列、解、验、答。其中“设”要明确，“验”含两方面：检验数学解的正确性，检验解的合理性（是否满足实际情境）。★2.抛物线形问题建系技巧：通常以对称轴为y轴，过顶点或特殊点的水平线为x轴建立坐标系，目的是使函数表达式最简（常为y=ax²形式）。★3.利润问题核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。单件利润=售价进价；销售量通常是关于调价幅度的一次函数。◆4.自变量取值范围的确定：这是连接数学与现实的“生命线”。需同时考虑：①使实际问题有意义（如长度、数量为正）；②题目中的明确限制条件。★5.最值点的判断：先求出顶点横坐标，再判断该坐标是否在自变量取值范围内。若在，则顶点纵坐标为最值；若不在，则需考察区间端点处的函数值。◆6.二次函数模型的主要应用类型：最值问题（利润、面积、材料最省）；抛物线运动轨迹问题；抛物线形建筑问题。▲7.配方法在求最值中的应用优势：配方得到顶点式y=a(xh)²+k，能直接读出顶点(h,k)，非常直观，且便于讨论参数变化对最值的影响。◆8.常见错误警示：①忘记定义域；②关系式列错，特别是销量与涨价关系搞反；③求最值后，未将自变量值代入回求所需实际量（如最大利润对应的售价）。▲9.“数形结合”思想的渗透：即使不精确画图，在心中勾勒抛物线草图，能快速判断开口方向、最值存在性，是验证答案合理性的快速手段。★10.数学建模思想的本质：是用数学语言和方法描述、分析和解决实际问题的过程。它培养的是一种高阶的“数学化”能力。▲11.跨学科联系初步：二次函数模型在物理（抛体运动）、经济（边际分析）、工程（优化设计）等领域有广泛应用，体现了数学作为基础学科的工具性价值。◆12.从解题到决策：认识到数学模型给出的“最优解”是理论参考，真实世界的决策往往是多目标权衡的结果，培养批判性思维和社会责任感。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从预设的课堂练习反馈和小组展示情况来看，知识目标与能力目标达成度较高。约85%的学生能独立或在少量提示下完成“六步法”建模，并正确求解基础与综合层问题。情感目标在引入和任务三的讨论中得到较好体现，学生表现出浓厚兴趣。然而，元认知目标的达成可能不够均衡，仅部分优秀学生能系统梳理反思，需在后续课程中加强引导和提供反思模板。

（二）核心环节有效性评估：1.导入环节：本土化情境成功引发了学生共鸣，迅速聚焦核心问题，效率较高。2.任务一（解剖案例）：教师引导下的共同剖析起到了良好的示范作用，但部分学生仍处于被动跟随状态。思考：下次是否可以改为先让学生自主尝试建系，暴露更多思维差异后再进行对比优化？3.任务二（合作攻坚）：小组合作有效促进了思维碰撞，巡视中的差异化指导至关重要。但时间把