数学试题 人教b版选修2-3 同步练习第二章小节测试题

2.1离散型随机变量及其分布列

•课时过关-能力提升

1.下列分布列中，属于离散型随机变量的分布列的是（）

X012

p0.30.40.5

B.

X3

XXix2

P0.3-0.1D.8

x1234

p0

D.

Xs

XXix2

P

|答案:|c

2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的

—

村庄数,下列概率中等于C?5的是（）

A.P(X=2)B.P(XW2)

C.P(X=4)D.P(XW4)

近］15个村庄中,7个交通不方便,8个交通方便,"C4表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个

C士

交通方便的村庄,故P(X=4)=C?5

|答案:t

3.已知随机变量€的概率分布规律为P(€=k)=k=l,2,3,4,其中c是常数,则P的值为

)

AB

CI)

解析：由c=1,得。=

所以P=P(C=1)+P(€=2)=

|答案：|D

4.从分别写有a,b,c,d,e的五张卡片里任取两张,则这两张卡片的字母恰好是按字母顺序相邻的概率等于

()

ABCD

瓯］五张卡片中恰好按字母顺序相邻有ab,be,cd,de四种,其概率P=

|答案:|A

5.司时投掷2枚骰子一次,所得点数之和€是一个随机变量，则P(&W4)二.

|解析相应的基本事件空间有36个基本事件，具中;=2对应(1,1);&=3对应(1,2),(2,1；;g=4对应

(1,3),(2,2),(3,1),所以P(€W4)=P(，=2)+P(€=3)+P(€=4)=

答案:

6.8支篮球队中有2支强队，任意将这8支队分成两个组(每组4支队)进行比赛,则这两支强队被分在一个

组内的概率是.

解析：|由题意知,P二

答案:

★7.袋中有大小相同的3个白球,3个红球和5个黑球,从中抽取3个球.若取得一个白球得1分，取得一个

红球扣1分,取得一个黑球得0分,求所得分数€的分布列.

份册按求分布列的步骤求解，分清M的每个取值所对应的事件.

画分€的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3.€=-3时表示取得3个球均为红球，

C二1

165

所以P(g=-3)=;

€=~2时表示取得2个红球和1个黑球,

所以P(g=-2)=;

g=-1时表示取得2个红球和1个白球,或1个红球和2个黑球,

所以P(1=-1)=;

1=0时表示取得3个黑球或1个红球、1个黑球、1个白球,

所以P(&=0)=;

€=1时表示取得1个白球和2个黑球,或2个白球和1个红球,

2.2条件概率与事件的独立性

2.2.1条件概率

——•课时过关-能力提升

1.下列各式正确的是()

A.P(A|B)=P(B|A)

B.P(AnB|A)=P(B)

C=P(B|A)

P{A\B)

D.P(A|B)=

答案:|【)

2.若P(A)=,P(B|A)=，则P(AAB)等于()

ABCD

解析：由条件概率公式得

P(AAB)=P(A)・P(B|A)=

答案:|B

3.把枚硬币任意掷两次，事件A=｛第次出现正面｝,事件B=｛笫二次山现正面｝,则P(B|A)等「()

ABCD

解析：第一次出现正面的概率是P(A)=

第一次出现正面且第二次也出现正面的概率P(ADB)=

所以P(B|A);

I答案:B

4.在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球

的条件下,第二次也摸出红球的概率为()

AB

CD

新司第•次摸出红球,则还有5个红球4个白球，

所以第二次摸到红球的概率为

答案:|D

5.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,在笫一次取到不合

格品后,第二次再次取到不合格品的概率为()

AB

CI)

解析：设A=｛第一次取到不合格品｝,B=｛第二次取到不合格品｝.

P(A)=

根据条件概率的定义计算,需要先求出事件AB的概率P(AAB)=

所以P(B|A)=

|答案:「

6.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球,2个

白球，乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概

率为.(答案用分数表示)

4X11

而？］取出的两球都是红球的概率为=9'

答案:

7.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中随机抽取一粒,求这粒种子能成长

为幼苗的概率.

画解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这•条件卜的概

率,属于条件概率.

画设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件ACB(发芽，又成长为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为

P(B|A)=0.8,种子的发芽率P(A)=0.9.

根据条件概率公式P(AAB)=P(B|A)・P(A)=0.8X0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

★8.袋子中装有标号为1,2,3,4,5,6,7的7个大小颜色完全相同的小球,从中不放回地摸两次球,求在第一

次摸出奇数号球的条件下,第二次摸出偶数号球的概率.

画所求概率的事件是在第一次谟出奇数号球的条件下，第二次摸出偶数号球,是条件概率.

陋设第一次摸出奇数号球为事件A,第二次摸出偶数号球为事件B,第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶

数号球为事件APIB.

从7个球中不放回地摸两次，事件总数为二7X6二42.

A的事件数为A：・A2=24.

故P(A)二

ADB的事件数为M-Aj=12,

故P(ACIB)二

由条件概率公式,得P(B|A)=0.5.

2.2.2事件的独立性

I---------------------•课时过关■能力提升

1.设A为一随机事件，则下列式子不正确的是()

A.P(A，4)=P(A)・P(4)

B.P入A)=0

CP(A+4)=P(A)+PG)

D.P(A+4)=1

I答案:|A

2.甲、乙两人独立地解同一问题,如果甲解对的概率为Pi,乙解对的概率为P2,那么至少有1人解对的概率

是()

A.P,+P2

B.Pi•P2

C.1-P.P2

D.i-d-P.Xi-N

|解析:设甲解对为事件A,乙解对为事件B,则P(A)=PbP(B)=P2,则P=1-P0•5)=i-(i-P1)(i-p,2).

|答案：|D

|—IA|—।

------B---------

—ICI—

3.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则此系统正

常工作的概率为()

A.O.504B.0.994

C.O.496I).0.06

国至少有一个开关工作，则系统工作，

所以P=l-(l-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=0.994.

答案:|B

4.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母,其中有180个A型的,今从甲、乙两盒

中各任取一个,则恰好可配成A型螺栓的概率为()

.15

ABCD

解析：|设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A,“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B,则A与B

160A1803

200-5240-4

相互独立,P(A)二,P(B)=，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型蜷栓的概率为

P=P(AB)=P(A)P(B)=

|答案:|C

5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜者.根据经验,每局比赛中甲获

胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率为()

A.0.216B.0.36C.0.432D.0.648

解析：|甲获胜由“胜胜”“胜负胜”“负胜胜”三个事件组成，所以

P=0.6X0.6+2X0.6X0.6X0.4=0.648.

答案:卜

6.已知3人独立地破译一个密码，每人破译出密码的概率分别为,则此密码被译出的概率为.

解析:P=l-

答案:

7.有一道数学题，在10分钟内甲解对的概率为，乙解对的概率为，若二人不讨论，各自在10分

钟为做这道题,则二人都没有解对的概率是,这道题得到解决的概率是.

解析:P尸,P2=1-Pi=

8.某学生通过英语口语测试的概率是，现给他3次测试的机会,则他能通过的概率是.

画]某学生通过测试包含三个互斥事件：“第一次过”“第一次未过，但第二次过了”“前两次未过，第

三次过”.

所以,P=

63

答案:瓦

9.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为,在同一时间内，求:

⑴甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；

⑵至少有•个气象台预报准确的概率.

画“甲气象台预报天气准确”与“乙气象台预报天气准确”为相互独立事件.

陋]记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.

(i)P(AHB)=P(A)XP(B)=

⑵至少有一个气象台预报准确的概率为

P=1-P()=1-P0)xp(5)=i-

★10.如图所示，用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1,M已知元件A,B,C正常工作的概率依次为

0.8,0.9,0.9,分别求系统用正常工作的概率Pi,P2.

M—0~0~

匾设P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(C)=0.9.

(1)0为事件A,B,C相互独立,所以系统M正常工作的概率P产P(AGBnC)=P(A)P(B)P(C)=0.648.

(2)系统Nz正常工作的概率

P2=P(A)[1-P()]

=P(A)•[1-P(5)•p(C)]

=0.8X(1-0.1X0.1)

=0.792.

2.2.3独立重复试验与二项分布

I------------------------------------------------•课时过关■能力提升

1.在4次独立重复试验中,若随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率.贝J事件A在一

次试验中发生的概率p的取值范围是()

A.[0.4,1)B.(0,0.4]

C.(0,0.6]D.[0.6,1)

瓯]由题意得以p'(l-p)：，p2(l-p)2,解得p

答案:k

2.在一个口袋里装有4个红球,6个白球,每次从口袋中任意取出一球,记下颜色后再放回口袋札这样连续

取了4次，恰有2次是红球的概率是()

A.O.3456B.0.3546

C.D.3756D.0.4576

解析:悔次取到红球的概率为0.4,则取到白球的概率为1-0.4=0.6.所以P式：Xo.42X0.62=0.3456.

|答案:|A

65

3.在4次独立重复试验中,事件出现的概率相同,若事件A至少出现1次的概率为而,则事件A在1次试验

中出现的概率为()

ABCD

65

解析，由题意,p°(l-p)=1-R1,p=

答案:|A

4.限设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为l-p,且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引

擎能正常运行，飞机就可成功飞行.若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全,则p的取值范围是()

AB

cI)

解析偌4引擎飞机安全飞行,则至少2引擎无故障，

其概率为P产氏p2(1-P)4-p3(l-p)+以p4.

同理,2引擎飞机安全飞行的概率为Pd；p(l-p)+C?p2.

若4引擎飞机更安全,则有POP%即得<p<l.

|答案:|c

5.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次取出一个球，数列(aj满足an=如果&为数

列｛&,｝的前n项和,那么S；=3的概率为()

AB

CD

|解析：|由S；=3知,7次中5次摸到刍球,2次摸到红球,所以P=

I答案:|c

6.做一系列独立重复试验，每次试验中成功的概率为p,则在成功n次之前已经失败了m次的概率

为•

答案:Cm+”」(l-p)"p"

7.将一枚质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少

出现1次6点向上的概率是.

解析：|p=「c；Q)G)

91

答案也16

★8.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影

响有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9;

②他恰好击中目标3次的概率是0.9;,X0.1;

③他至少击中目标1次的概率是1-0.11.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

瓯I“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9,由于他各次射

击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标

的概率都是0.9,①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是

C：X0.9'XO.1,②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”

的概率是0.1\故至少击中目标1次的概率是1-0.1,,③正确.

答案:①③

9.某中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中

心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.

函3名同学拨打电话,即三次独立重复试验.

由3名同学各拨打•次电话，看成三次独立重复试验,拨通这•电话的人数即为事件发生的次数X,故符合

二项分布.

由题意：，所以P（X=k）=3I4/，其中k=0,1,2,3,分布列为

X0123

2727

P

nA64

★10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：

⑴甲恰好击中FI标2次的概率；

⑵乙至少击中目标2次的概率；

⑶乙恰好比甲多击中目标2次的概率.

强甲单独射击3次，为3次独立重复试验,对于乙，同理；（3）中，包含乙中三次甲中一次、乙中两次甲中零

次两个事件.

四(1)甲恰好击中目标2次的概率为

哈飞)Y

(2)乙至少击中目标2次的概率为c3MV不J/I」3Y/+c3弁\3灯/(I上3丫/=丝27,

(3)设乙恰好比甲多出中日标2次为事件A,乙恰好占中日标2次且甲恰好击中目标0次为事件B-,乙怡

好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2,

则A=B1+B?,BI,B?为互斥事件.

P(A)=P(B1)+P(B2)=

(3)•呜6)+呜(W),呜G)4+H-

所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为

2.3随机变量的数字特征

2.3.1离散型随机变量的数学期望

I--------------------•课时过关■能力提升

1.已知随机变量X的分布列为

X021

P0.40.30.3

则E(5X+4)等于()

A.13B.11

C.2.2I).2.3

2.有10件产品，其中3件是次品.从中任取两件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于()

AB

.14

C1).1

解析:|x=o时,P=Jo；x=lUt,P=C10；X=2时,P式左，

cfc?clcjcl7X3+2X33

X—j—X—y—X-=-=-------------------=—.

所以E(X)=0gn+]Cin+2Cin455

|答案:|A

3.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台

数为X,则£(用为()

A.O.765B.I.75

C.I.765D.0.22

瓯]由题意可知X的可能取值为0,I,2,

则P(X=0)=(l-0.9)X(1-0.85)=0.015,

P(X=l)=0.9X(1-0.85)+0.85X(1-0.9)=0.22,

P(X=2)=0.9X0.85=0.765,

所以E(以=0X0.015+1X0.22+2X0.765=1.75.

答案:|B

4.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()

0123-15

2x3x7x2x3xX

AB

.20

CD

解析：|由题意，得2x+3x+7x+2x+3x+x=l,解得x=，所以

120

/、x—=—.

E⑴=0X2x+1X3x+2X7x+3X2x+4X3x+5Xx=40x=40189

|答案:匕

5.一整数等可能地在1,2,3,…，W中取值,如果以X记这一整数的因数的个数,那么E(X)等于()

A.2.6B.2.5

C.2.7I).2.8

解析:|X可取1,2,3,4^P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=

1423

X--X--X--X--

所以E(X)=110+210+310+410=2.7.

答案:|c

6.已知X的分布列为

XT01

p

且Y=aX+3,E(Y)=,贝Ua=,

解析：先求出E(X)=-，再由E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3,得=a+3na=8.

I答案:卜

7.袋子里装有5只球,编号为】，2,3,4,5,从中任取3只球，若用X表示取出的球的最大号码，则E(X)等

于.

C13C16

cJ-Tocj-10

|解析：|x可能的取值为3,4,5,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,

136

x---x---X---

所以E(X)=310+410+510=4.5.

答案：|4.5

8.若一离散型随机变量X的概率分布列为

X0123

P0.1ab0.1

且E(X)=1.5,则a-b=.

COx0.1+1Xc+2Xb+3x0.1=l.S,

瓯|依题意,得i0.1+a+b+0.1=1,

(a+2b=1.2,0=0.4,

即IA+b=0.8Ih=0.4.

则a-b=0.4-0.4=0.

答案：|0

9.若根据以下盈利表中的数据进行决策,应选择哪种方案？

自然方案A方案B方案C

状况概率盈利/万元概率盈利/万元概率盈利/万元

巨大成功0.460.370.46.5

中等成功0.390.42.50.24.5

不成功0.3-40.3-50.4-4.5

函计算三种方案的期望值,再达行比较即可.

画由表格中的数据可知：

EA=O.4X6+0.3X2-0.3X4=1.8(万元)，

EB=O.3X7+0.4X2.5-0.3X5=1.6(万元)，

Ec=0.4X6.5+0.2X4.5-0.4X4.5=1.7(万元),

所以EDEDW故选择方案A.

★10.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依

次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,

各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

⑴求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(2)€表示开始第4次发球时乙的得分，求€的期望.

噩记人表示事件:第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0,1,2;

A表示事件:第3次发球，甲得1分；

B表示事件:开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.

(l)B=Ao•A+A.*耳，

2

P(A)=0.4,P(Ao)=O.4=0.16,P(AI)=2X0.6X0.4=0.48,P(B)=P(A0・A+A「4)

=P(Ao・A)+P(AjM)

=P(AO)P(A)+P(A1)P(5)

=0.16X0.4+0.48X(1-0.4)=0.352.

(2)P(A2)=0.62=0.36.€的可能取值为0,1,2,3.

P(€=0)=P(A2-A)=P(A>)P(A)=0.36X0.4=0.144,

P(€=2)=P(B)=0.352,

P(g=3)=P(Ao-3)=P(Ao)P(3)=0.16X0.6=0.096,

P(€=D=1-P(C=0)-P(，=2)-P(8=3)

=1-0.144-0.352-0.096=0.408.

E(€)=0XP(g=O)+1XP(€=1)+2XP(&=2)+3XP(e,=3)=0.408+2X0.352+3X0.096=1.4.

2.3.2离散型随机变量的方差

I------------------------------------------------•课时过关■能力提升

1.。尊4)塞))的值为()

A.不确定B.0

C.D(X)D.2D(X)

|答案:|c

2.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为()

A.64B.256C.259I).320

解析：|由题意知,D(X)=100X0.2X(1-0.2)=16,

所以D(4X+3)=42XD(X)=16X16=256.

答案:|B

3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()

A.3•2-2B.2"

C.3­210D.2

解析：•.•X3B(n,p),

:.E(X)=np,D(X)=np(1-p).

叩=6，=n=12,

1

叩(1叩)=3P=2-

I答案:|c

4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(l-p)号卜卜(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()

A.O和1

B.p和江

C.p和1-p

D.1-p和p(l-p)

解析：|随机变量X的概率分布为P(X=k)=(l-p)kpj(k=o,1),则P(X=O)=p,P(X=D=l-p,所以

E(X)=0Xp+lx(l-p)=l-p,D(X)=[0-(l-p)]2Xp+[l-(l-p)]2X(l-p)=p(l-p).

答案:|D

5.已知随机变量€的分布列为：

-101

23

则在下列式子①E(2)=-,©D(€)=27,©P(C=0)=中，正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析：由分布列可知P(&=0)=，根据公式可求得EG)=-,D(O=，所以①③正确.

答案:|C

6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X知,D(Y)=3.2,则P(己2)=.(结果用数字表示)

|解析:也已知条件可求得n=5,p=0.8,

故P(X=2)=髭p2(l-p)3=

32

答案：|62E

7.随机变量C的分布列为：

€-101

Pab(1

其中a,b,c成等差数列,若E(&)=，则D(&)的值是

'a+b+c=l,

o+c=2b,

-lXa+0X&+lXc=-

解析：由已知得3

/1

a=-

6

1

b=-

3

1

-

C-

得

所

I2以

DO

答案:

★8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(O〈p〈D,用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,

则方差D(X)的最大值为;的最大值为.

丽司随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为

X01

P1-pP

，从而E(X)=0X(1-p)+1Xp=p,D(X)=(0-p)2X(l-p)+(l-p)2Xp=p-p2.

D(X)=PP-(P'P+；)+：=-(P.J)+£

因为0<p<l,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为

因为0。<1,所以2p+2当2p=，即p=时,取等号.因此，当p=时，取得最大值2-2

答案2-2V2

9.设•次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差最大?并求其最

大值.

而I根据题意,可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式,所以解决本题的关键就是找出

几个变量之间的关系.

随］设成功次数为随机变量X,由题意可知X~B(100,p).

那么同j=JlO