初中数学专题8一次函数中的面积问题（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题8一次函数中的面积问题知识对接考点一、怎样解一次函数中的面积问题（１）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）直接用面积公式求面积．（２）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需转化为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【答案】A【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．【详解】解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0）∴0＝2m﹣5m+3∴m＝1．故选：A．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．2．将一次函数y＝2x＋4的图象与坐标轴围成的三角形面积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】当x＝0时，求出函数与y轴的交点坐标；当y＝0时，求出函数与x轴的交点坐标；然后即可求出一次函数y＝2x＋4与坐标轴围成的三角形面积．【详解】解：当x＝0时，y＝4，与y轴的交点坐标为（0，4）；当y＝0时，x＝－2，与x轴的点坐标为（－2，0）；则三角形的面积为×|－2|×4＝4．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（，5），点B坐标为（0，3），点D在x轴上．若线段DB交直线于点C，当点D从点O向x轴负半轴方向运动时，△ABC面积的变化趋势是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．先变大再变小 B．先变小再变大 C．无法确定 D．保持不变【答案】D【分析】根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为，当点D从点O向x轴负半轴方向运动时，点C始终在线段DB交直线上，在△ABC中，始终以AB边为底边，过C点作直线AB的垂线为高，根据两直线斜率可得出平行关系，利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变，因此△ABC面积保持不变．【详解】解：设直线AB的解析式为将点A（，5），点B（0，3）代入可得：得出直线AB的解析式为：又∵点C所在直线解析式为：∴∵点C始终在线段DB交直线上在△ABC中，以AB边为底边则点D运动过程中高不变故△ABC面积保持不变．故选：D．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理，熟练运用以上性质定理是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher4．直线与两坐标轴所围成三角形的面积等于（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据题意易得此直线与坐标轴的两个交点坐标，该直线与坐标轴围成的三角形的面积等于直线与轴交点的横坐标的绝对值直线与轴交点的纵坐标．【详解】解：当时，当时，所求三角形的面积．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征、三角形的面积．解题的关键是某条直线与轴，轴围成三角形的面积为：直线与轴的交点坐标的横坐标的绝对值直线与轴的交点坐标的纵坐标的绝对值．5．一次函数y＝2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积（）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】D【分析】由一次函数解析式分别求出点A和点B的坐标，即可作答．【详解】解：一次函数y=2x+4中当x=0时，y=4；当y=0时，x=-2；∴A（-2，0），B（0，4），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴OA=2，OB=4∴△AOB的面积=2×4÷2=4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标特征以及三角形的面积公式，属于基础题型．6．如图，点A，B，C在一次函数y=-2x+m的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中的阴影部分的面积之和是（）A．1 B．3 C．3（m-1） D．【答案】B【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案．【详解】解：如图由题意可得：A点坐标为（-1，2+m），B点坐标为（1，-2+m），C点坐标为（2，m-4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，-2+m），G点坐标为（1，m-4）．

所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m）=-2+m-（m-4）=2，

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又因为AD=BF=GC=1，

所以图中阴影部分的面积和等于．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键．7．如图，直线l分别与x轴，y轴相交于点A（5，0），B（0，4），点E（2.5，m）在l上，直线y＝kx+b经过点E，并与x轴相交于点F．若EF将△AOB分割为左右两部分，且四边形OFEB与△FEA的面积之比为3：2，则线段OF的长为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】利用待定系数法求直线AB的解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特点求得E点坐标，从而确定点E为AB的中点，从而结合三角形面积比计算求解．【详解】解：设直线的解析式为，将，代入解得：直线的解析式为：又点在上，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher点坐标为又，点是线段的中点又四边形与的面积之比为与的面积之比为故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．8．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是（）A．6 B．12 C．2 D．3【答案】A【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系a2﹣2ab+b2＝c2，再根据Rt△ABC的面积是，可求解ab＝9，再由勾股定理计算可求解．【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上∴即b﹣a＝c∴（a﹣b）2＝c2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴a2﹣2ab+b2＝c2∵Rt△ABC的面积是∴ab＝9∴a2+b2﹣c2＝18∵a2+b2＝c2∴c2﹣c2＝18解得c＝6（舍去负值）故选：A．【点睛】此题主要考查一次函数与勾股定理综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系及勾股定理的应用．9．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图像分析各拐点的意义，时沿运动，时沿运动，可知，的值，从而求得；【详解】根据函数图像分析时，的值不断增大，沿运动；时，的值没有变化，沿运动；时，的值不断减小，沿运动；,更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher四边形是矩形故选A【点睛】本题考查了矩形的性质，动点问题，动点问题的函数图像的实际意义，理解函数图像中拐点的意义是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（）A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2【答案】C【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案【详解】解：连接OC，如图∵点C为弦AB的中点∴OC⊥AB∴∠ACO＝90°∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外）以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3）当y＝0时，x﹣3＝0解得x＝4，则D（4，0）∴OD＝4∴DE＝∵A（2，0）∴P（1，0）∴OP＝1∴PD＝OD﹣OP＝3∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD∴△DPH∽△DEO∴PH：OE＝DP：DE即PH：3＝3：5解得PH＝∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7设△CDE面积为S当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小∴S的范围为2≤S≤7∴△CDE面积的最小值为2．故选：C．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．二、填空题11．在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．【答案】3【分析】若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2）∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1）∵直线的表达式为y＝2x＋1令y=0，2x+1=0，解得x=-∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5令y=0，2x−5=0，解得x=∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0）∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）∴直线运动的距离为＋＝3∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．故答案为：3．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．12．已知平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（7，4）．直线y＝kx+1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，则k的值为______．【答案】【分析】由平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（5，0），C（7，4），可求得平行四边形ABCD的对角线的交点为点E的坐标，又由直线y=kx+1将平行四边形分成面积相等的两部分，可得此直线过点E，继而求得答案．【详解】解：设平行四边形ABCD的对角线的交点为点E∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（5，0），C（7，4）∴点E（3，2）∵直线y=kx+1将平行四边形分成面积相等的两部分∴直线y=kx+1过点E∴2=3k+1解得：k=故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．13．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成三角形的面积_______．【答案】【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A和B的坐标得到OA和OB的长，即可求解.【详解】解：设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点∴A（2，0），B（0，4）∴OA=2，OB=4∵∠AOB=90°∴故答案为：4.【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的面积，解题的关键在于能够准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标.14．直线m过A（1，﹣4）和B（5，4）两点，则它与坐标轴围成的面积＝__．【答案】9．【分析】设直线m解析式为y＝kx+b（k≠0），求出解析式，再求出它与x轴、y轴的交点坐标，根据面积公式即可求得．【详解】解：设直线m解析式为y＝kx+b（k≠0）∵直线m过A（1，﹣4）和B（5，4）两点∴解得：直线m的解析式为y＝2x6∴此直线与坐标轴的交点为（0，6），（3，0）∴直线与坐标轴围成的图形的面积．故答案为：9．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）是解题的关键．15．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，则△ACD的面积____．【答案】18．【分析】根据点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上先求出这两点坐标，再求一次函数表达式，求出点C，再求出点D，即可求出面积．【详解】∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函的图象上∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4∴点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得∴一次函数的表达式为：；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6）∵点D为点C关于原点O的对称点∴D（0，﹣6）∴CD＝2OC＝12∴△ACD的面积＝×CD•xA＝×12×3＝18故答案为18．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此题考查反比例函数与一次函数交点问题中有关三角形面积的计算，难度一般，求函数表达式根据表达式求坐标点是关键．三、解答题16．（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，AB∥CD，请写出图中面积相等的三角形；（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．①分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；②请利用（1）的结论解决如下问题：D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．【答案】（1）S△ABD＝S△ABC，S△ADC＝S△BDC，S△AOD＝S△BOC；（2）①S△AOC＝2，S△BOC＝2，C（0，2）；②见解析．【分析】（1）根据同底等高面积相等，即可解决问题；（2）①先求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式即可解决问题；②连接CD，过点O作OE∥CD交AB于点E，连接DE，则DE就是所作的线．【详解】解：（1）∵AB∥DC∴S△ABD＝S△ABC，S△ADC＝S△BDC∴S△AOD＝S△BOC．（2）①设直线AB解析式为∵点A（﹣2，3），B（2，1）∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2∴C坐标为（0，2）∴S△AOC＝×2×2＝2，S△BOC＝×2×2＝2；②连接CD，过点O作OE∥CD交AB于点E，连接DE，则DE就是所作的线．理由：∵OE∥CD∴∵∴,∴DE平分三角形ABO的面积．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式及一次函数应用，等高模型等知识，熟练掌握一次函数相关知识和同底等高的三角形面积相等是解题的关键．17．如图，已知四边形的四个顶点的坐标为，．请用不含刻度的直尺和圆规作图并解答问题：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

（1）请在图中作出这个平面直角坐标系；（2）过点A作一条直线把四边形的面积二等分，并直接写出该直线对应的函数表达式．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)作线段AD的垂直平分线,与AD交于点G,以点G为圆心，以GD为半径画弧，与垂直平分线交于点O，点O就是原点，以此建立坐标系即可；（2）过点D作DF⊥AD，交BC于点F，确定F的坐标，即可确定直线AF.【详解】解：（1）如图，分别以A,D为圆心，以大于AD长为半径，画弧，二弧交于两点

过两点作直线即为线段AD的垂直平分线，垂直平分线所在的直线为x轴，设直线与AD交于点G,以点G更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher为圆心，以GD为半径画弧，与垂直平分线交于点O，过点O作垂直平分线的垂线，垂线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；（2）如图，过点D作DF⊥AD，交BC于点F∵A（-1，-1），B（3，-1），C（1，2），D（-1，1）∴AD=2，AB=4，点C到AB的距离为2-（-1）=3,点C到AD的距离为1-（-1）=2,∴四边形ABCD的面积为：=8∵DF∥AB点F到AB的距离为2,∴四边形ABCD的面积为：∴直线AF把四边形ABCD的面积二等分设直线BC的解析式为y=kx+b∴∴

∴直线BC的解析式y=x+,当y=1时，x=,∴F（，1）设直线AF的解析式为y=mx+n，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∴∴直线AF的解析式.【点睛】本题考查了坐标系的建立，图形面积的分割，一次函数解析式的确定，熟练掌握坐标系建立基本方法，灵活运用图形面积分割方法，待定系数法确定解析式是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，试解决下列问题：（1）求直线的表达式；（2）求的面积；（3）是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或或．【分析】（1）利用待定系数法解题即可；（2）利用三角形面积公式解题（3）的面积是的面积的时，分两种情况讨论：当的横坐标为时，或当的横坐标为时，根据面积公式可解得点M的横坐标，再代入一次函数解析式即可解题．【详解】解：（1）设直线的表达式，代入点，点更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher得点；（2）；（3）设直线的解析式为，则解得即直线的解析式为当的面积是的面积的时即当的横坐标为时在中，当时，，在中，当时，，则当的横坐标为时在中，时，，综上所述，的面积是的面积的时，的坐标是或或．【点睛】本题考查一次函数的综合题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴正半轴上，，，的长满足．过点的直线交于点，的面积等于面积的，请解答下列问题：（1）求点，点的坐标：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）过点作于，交轴于点，求线段的长；（3）点在轴上，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-2，0），D（4，2）；（2）2；（3）或或或．【分析】（1）根据非负数的性质得出OA，OB，求出△ABC和的面积，设D（x，y），由的面积可求出y，求出直线BC解析式，把y值代入求出x值即可；（2）证明△ABH≌△GBO，即可求出OG的长；（3）分三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵，且∴∴∴AB=AO+OB=2+6=8∴∵的面积等于面积的∴设点D的坐标为（x，y），则有∴y=2设直线BC的解析式为∵OC=6∴C（0，6）∴把B，C点坐标代入得解得，∴直线BC的解析式为更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又点D在直线BC上，且y=2∴，解得，x=4∴D（4，2）；（2）如图∵BH⊥AC，OC⊥OB∴∠CHG=∠BOG=90°又∠CGH=∠BGO∴∠ACO=∠GBO∵OC=OB=6∴△ABH≌△GBO∴OG=OA=2（3）点在轴上，要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则有以下几种情形：(a)以AB，AM为邻边的菱形，则AM=AB=8∵，即解得，(负值舍去)∵MN=AB=8∴点N的坐标为或；(b)以AB，BM为邻边的菱形，则BM=AB=8∵，即解得，(负值舍去)∴点N的坐标为或；(c)以AM，BM为邻边的菱形不存在．综上，点N的坐标为或或或．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．20．设一次函数（）的图像为直线，一次函数（）的图像为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行．解答下面的问题：（1）求过点且与已知直线平行的直线l的函数表达式；（2）设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据直线l与直线平行，设直线l的解析式为，再将点代入即可求解；（2）根据直线与直线的解析式，求出点A、B、C、D的坐标，再利用即可求解．【详解】解：（1）∵直线l与直线平行∴设直线l的解析式为∵过点∴解得：∴直线l的解析式为：（2）如图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher令，得令，得∴C点的坐标为D点的坐标为令，得令，得∴点A的坐标点B的坐标为∴AC=OA+OC=3+=∴．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、一次函数的性质以及一次函数与坐标轴所构成的几何图形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会将不规则图形分割呈规则几何图形．21．如图，已知直线经过点，交轴于点，直线与直线交于点，交轴于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求的值．（2）求的面积（3）当时，则的取值范围是________．（直接写出结果）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把A点坐标代入中求解即可；（2）先求出C点和D点坐标，然后求出BD的长，计算面积即可；（3）利用函数图像求解不等式的解集即可．【详解】解：（1）把代入得，解得．（2）由（1）知，直线．且．根题意知，．解得，即．又由知，．所以．所以．（3）由（2）知，．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当时，，此时．所以由图象知，当时则的取时则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标求不