2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第05讲 余弦函数和正切函数的图象及性质（2知识点+10大题型）（解析版）

第05讲余弦函数和正切函数的图象及性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：余弦、正切函数的图象】【题型02：余弦、正切函数的周期问题】【题型03：余弦、正切函数的奇偶性】【题型04：求余弦、正切函数的单调区间】【题型05：利用单调性比较三角函数值的大小】【题型06：已知余弦、正切函数的单调情况求参数】【题型07：余弦、正切函数的对称性】【题型08：求余弦、正切函数的值域或最值】【题型09：换元法求值域或最值】【题型10：根据值域求参数】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：余弦函数的图象方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于.方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接．温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．（2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．知识点2：余弦函数的性质函数图象定义域定义域值域周期性奇偶性偶函数单调性在上单调递增；在()上单调递减最值当()时，；当时，对称性对称中心为()；对称轴为直线()知识点3：正切函数的图象与性质图象定义域值域R周期最小正周期为奇偶性奇函数单调性在开区间内单调递增【题型01：余弦、正切函数的图象】1．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上．故选：D2．在区间上，函数与图象的公共点个数为．【答案】【详解】依题意，，即，解得或，而，因此，所以函数与图象的公共点个数为3.故答案为：3.3．作出下列函数的大致图像：(1)，.(2).【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，，故为偶函数，又，所以函数是以为周期的周期函数.列表x0010作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象.（2）按五个关键点列表：0100101210描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：4．已知函数，试画出的图像.【答案】答案见解析【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像.5．画出函数，的简图．【答案】答案见解析．【详解】列表：010－1描点连线：【题型02：余弦、正切函数的周期问题】6．已知集合，则中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】因为集合，所以当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，可以看出的周期为4，的取值集合为，所以中元素的个数为3.故选：C.7．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【详解】①，正弦函数的最小正周期为，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折到正半轴，由于，因此的最小正周期为；②，，因此的最小正周期为；③，当时，；当时，，其图像关于轴对称，不是周期函数，故最小正周期不存在；④，最小正周期，所以最小正周期为；综上，最小正周期为的函数是①②.故选：A.8．（多选）下列函数中，周期为的偶函数有（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确；B.函数的最小正周期为，故B错误；C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确；D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误.故选：AC9．函数的最小正周期为，．【答案】/0【详解】由函数可知其最小正周期为；所以；故答案为：；010．“”是“”的（）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【详解】当时，，不能得出，不具备充分性，当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性.故选：D.11．若，（），则（）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】因为函数是周期为3的周期函数，且，，，所以．故选：B.【题型03：余弦、正切函数的奇偶性】12．已知函数，若，则=（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由题可得：,所以，故选：B13．函数（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【答案】B【详解】的定义域为，定义域对称，因为，所以是偶函数.故选：B.14．若的图象关于原点对称，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称，又因为，所以在定义域上恒成立，因为在定义域上不恒为，所以，可得在定义域上恒成立，所以.故选：D.15．已知，且，则（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】D【详解】由题意可知，，即，那么.故选：D16．定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，，则的值为．【答案】/-0.5【详解】定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，且当时，，.故答案为：.【题型04：求余弦、正切函数的单调区间】17．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，函数；由，，得，，所以函数的单调递增区间是；当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确；函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误.故选：B.18．函数的单调增区间为．【答案】【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为，故的单调递增区间为.故答案为：.19．设函数，则可断定函数（

）A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减【答案】B【详解】函数的定义域为，显然，即函数是偶函数，排除AC；又，即函数的周期是，而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D；函数在上单调递增，且，则在上单调递增，所以函数在上单调递减，B正确.故选：B20．函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，得，故的单调递增区间为，令,则函数的一个单调递增区间是.故选：B21．函数的单调区间为．【答案】【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间.故答案为：.22．函数的单调递增区间为.【答案】【详解】设，则在上是单调递减的，因为，所以，即①.要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间.当时，单调递减，此时，结合①式，可得.所以原函数的单调递增区间为.故答案为：.【题型05：利用单调性比较三角函数值的大小】23．下列关系式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：A24．下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，即，A项错误；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，B选项错误；对于C选项，，因为余弦函数在上为减函数，且，所以，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，D选项错误．故选：C25．（多选）下列关系式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】A：因为，所以，因为，所以，于是，对；B：由上，因为，所以，由，错；C：由上，所以，对；D：由诱导公式可得，对.故选：ACD26．（多选）［多选］已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】，，，，，，，即，所以，即，所以ABC正确，D错误，故选：ABC.27．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是．【答案】①④【详解】根据正弦函数的性质，可知：在上单调递增，，，①正确；由诱导公式，可得：，，，②错误；根据正切函数的性质，可知：在上单调递增，，，③错误；画出的正弦线和正切线，如下：由图可知，④正确．故答案为：①④28．若为锐角，则的大小关系为．【答案】【详解】令，其中，因为，所以．因为，所以．所以．故答案为：.【题型06：已知余弦、正切函数的单调情况求参数】29．若函数在上单调递增，则.【答案】【详解】因为，则，且，则，，若函数在上单调递增，注意到函数的最小正周期，且，则，解得.故答案为：.30．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为．【答案】2【详解】令，，可得，．因为在区间上单调递增，所以，，解得，，由，得，当时，可得，故的最大值为2．故答案为：231．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是.【答案】【详解】因为，，所以，因为，所以又因为函数在区间上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.32．已知函数在上单调递减，则的取值范围是.【答案】【详解】令，解得，依题意，需满足，解得.因为在上单调递减，所以，解得.当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意.综上，的取值范围是.故答案为：.33．函数在区间上单调递增，则的取值范围是.【答案】【详解】当时，，由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在区间上单调递增，需满足，即，即的取值范围是，故答案为：34．已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为．【答案】2【详解】依题意得，即．因为当时，，所以()，则，()，解得：().令k＝0，则1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．故答案为：2【题型07：余弦、正切函数的对称性】35．函数的对称轴方程为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】令，解得，，所以函数的对称轴方程为，.故选：A.36．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】正切函数的对称中心为，令，则原函数化为，当时，，此时，故对称中心的纵坐标，横坐标满足：，，，于是：，当时，.故选：A37．（多选）对于函数和，则下列说法正确的有（

）A．与有相同的最小正周期B．与有相同的最小值C．与的图象有相同的对称轴D．与的图象有相同的对称中心【答案】AB【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故A正确；的最小值为的最小值为，故B正确；令，解得，所以的图象的对称轴为直线，；令，解得的图象的对称轴为直线，，所以与一定不存在相同的对称轴，故C错误；令，解得，，所以的图象的对称中心为.令，解得，，所以的图象的对称中心为，故与的图象一定不存在相同的对称中心，故D错误.故选：AB.38．已知函数的图象关于点中心对称，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】由题意可知，解得，又因为，所以，则.故选：A39．设函数，对都有，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为，由函数可得，解得，又，，.故选：A40．已知函数满足，则的最小值为.【答案】【详解】因为，可知为的对称中心，则，可得，解得，且，可知：当时，取到最小值.故答案为：【题型08：求余弦、正切函数的值域或最值】41．函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C.42．若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期.而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故.所以.故，因，所以.因在上单调递增，因此，即.所以的值域为.故选：D43．函数的值域为【答案】【详解】因为，所以，则，故的值域为．故答案为：44．若函数的最大值为【答案】【详解】∵，且，∴，∴，∴，∵在上单调递增，∴在上单调递减，∴，故答案为：.45．已知函数的最小正周期为，．(1)求的解析式；(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】详解】（1）由函数的最小正周期为，且，则，解得，由，解得，，即或，由，则.所以.（2），当时，，则，由，，则.46．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在上的值域；【答案】(1)(2)【分析】详解】（1）令，解得因此，的单调递减区间为.（2）当时，，所以，所以.因此，函数在上的值域为.【题型09：换元法求值域或最值】47．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减，由，，故，即.故选：C48．函数的值域为.【答案】【详解】，，，设，，，则转化为，对称轴为，又在范围内，在处，取最大值，且最大值为，时，，时，，，的值域为.故答案为：.49．函数的值域是【答案】【详解】，，又函数在上单调递增，则，.即.故答案为：50．求函数，的最大值与最小值．【答案】最大值为，最小值为【详解】依题意，函数，，设，则，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为.51．已知二次函数，且是的零点.(1)求的解析式，以及不等式的解集；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)，(2)【分析】详解】（1）由题意得，解得，所以，不等式等价于，即，解得或，所以不等式的解集为.（2），令，则，当时，有最小值，当时，有最大值0，故，即函数的值域为.52．求下列函数的值域.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】详解】（1）方法一

分离常数法，，，，的值域为.方法二

利用三角函数的有界性由，得，所以，由，得，当，即时，不等式无解；当，即时，解得.故的值域为.（2）利用分离参数结合换元求解..令，则.当时，.当时，，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以或此时函数的值域为.故函数的值域为.【题型10：根据值域求参数】53．（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（）A． B．1 C．2 D．3【答案】AC【详解】因为，所以当时，，解得，所以；当时，，解得，所以.综上，或.故选：AC54．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的最小正周期，由题可得，分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且，，由得，解得，由得，或解得，或，因为，若，则，所以；若，则，所以，即的取值范围是．故选：C.55．若函数在区间上的值域为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由上函数的值域为，故，所以，故，则.故选：B56．设，若函数在区间上的最大值为，则.【答案】/【详解】因为，当时，，且，所以，函数在区间上单调递增，且，故，解得.故答案为：.57．函数在上的最大值为4，则实数的值为.【答案】【详解】函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数为.故答案为：.一、单选题1．若为偶函数，则（

）A． B． C．0或 D．【答案】A【详解】若为偶函数，又，则或，解得或，若，则，若，则，所以.故选：A2．已知函数，则“”是“的图象关于点对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的图象关于对称，则，因为时，令，则满足，所以“”是“图象关于点对称”的充分条件，若，当时，；当时，，即由不一定能得到，所以“”不是“图象关于点对称”的必要条件，综上可知，“”是“图象关于点对称”的充分不必要条件.故选：A.3．已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于函数的对称轴为直线，令，解得，因为，取，可得，则的最小值为.故选：A．4．已知，则“”是“存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若，此时满足，但不存在，使得，充分性不成立；若时，此时为偶数，满足，但无意义，必要性不成立；故“”是“存在，使得”的既不充分也不必要条件.故选：D5．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，图象的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【答案】B【详解】对于A，函数的最小正周期为，若的最小正周期是，则，解得，故A错误；对于B，当时，，所以令，解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故B正确；对于C，当时，，，故C错误；对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，另一方面，即，所以，又因为，所以或，由，得，由，得，所以的取值范围是，故D错误.故选：B6．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（

）A．点是函数图象的一个对称中心B．函数的最小正周期为C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数的一个零点是【答案】B【详解】对于A，因为，所以是的零点，所以是图象的一个对称中心，故A正确；对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期，而，且，所以是图象的一条对称轴.因为，所以，即，故B错误；对于C，因为，故，则，所以是图象的一条对称轴，故C正确；对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心，则函数的一个零点是，故D正确.故选：B二、多选题7．已知函数，对任意的，都存在，使得，则可能的值是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】由题意得：由，，可知，整理得：，，，所以，记函数，函数的值域为集合A对任意的，都存在，使得成立当时，，，函数的值域为，满足，故A正确；当时，，，函数的值域为，不满足，故B错误；当时，，，函数的值域为，满足，故C正确；当时，，，函数的值域为，满足，故D正确；故选：ACD8．已知函数，下列说法中正确的有（）A．最小正周期为 B．在(0,)上是单调递增函数C．EMBED（多选）Equation.DSMT4在(0,)内有且只有一个零点 D．【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以是的一个周期，下面说明的最小正周期为.不妨设的最小正周期为，则，取，代入可得，化简得，显然，则得，则有，即.若周期为，则，而上式不能恒成立，若取，，，；故的最小正周期为，即A正确；对于B，易知在上是增函数，在上是减函数，又是上的增函数，则在上是增函数，在上是减函数，故在上是增函数，从而在上是增函数，故B正确；对于C，由可得，则，因且，则，即或，在内有2个零点，故C错误；对于D，因为，而，故，故D正确.故选：ABD.三、填空题9．函数，的值域为．【答案】【详解】解：因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.10．函数的值域