2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第06讲 向量数量积的概念及运算律（5知识点+7大题型）（解析版）

第06讲向量数量积的概念及运算律内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：数量积的定义及运算律】【题型02：向量模的有关计算】【题型03：向量夹角的有关计算】【题型04：向量垂直的有关计算】【题型05：投影向量的有关计算】【题型06：平面几何与数量积运算】【题型07：平面几何中求数量积的最值】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的夹角（1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向.（2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.知识点2：向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则规定:零向量与任一向量的数量积为0.知识点3：向量的投影向量（1）如图（1）,设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.（2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.（3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有知识点4：向量数量积的性质设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则（1）；（2）；（3）；【注】当与同向时,；当与反向时，.（4）；（5）或知识点5：数量积运算的运算律（1）；（2）；（3）【题型01：数量积的定义及运算律】1．（多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】BD【详解】如图，设，.因为，nn所以四边形ABCD是菱形，且.由平面向量的线性运算性质可知，，则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°，向量，的夹角为60°，向量，的夹角为.故选：BD.2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则．【答案】6【详解】向量，且与的夹角为，则，.故答案为：63．已知平面向量满足，与的夹角为，则（

）．A．7 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为.故选：B.4．已知单位向量，的夹角为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意.故选：A5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（

）

A．4 B．C． D．【答案】C【详解】由图知，，则.故选：C.【题型02：向量模的有关计算】6．已知与的夹角为，则的值为（）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，，与的夹角为，所以，，，故选：A7．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（

）A．4 B．8或 C．10 D．4或10【答案】D【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或，当夹角为时，.当夹角为时，，所以或.故选：D.8．已知向量，满足，，且，的夹角为，则．【答案】【详解】因为，，且，的夹角为60°，所以，所以．故答案为：9．已知两个单位向量满足，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由，得，所以，所以．故选：C．10．已知向量满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.11．已知非零向量、，若，且，则的取值范围为．【答案】【详解】因为，所以，设，且，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【题型03：向量夹角的有关计算】12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，又因为，代入解得，由，因为，所以.故选：C.13．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，即，又，，向量与的夹角为，所以，解得.故选：D.14．已知平面向量，，，满足，，，则（

）A． B．或 C．5 D．5或【答案】B【详解】由可得，则，因为，故有，即，又因为，两边同时平方得，将与代入上式，得，整理得，解得或，故选：B.15．已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，即，所以；因为，所以；代入，得到，得到；.故选：A.16．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为为单位向量，所以两边平方得，所以，而，所以为0或锐角，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件．故选：B.17．已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为．【答案】【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而，则，，因此，解得，经验证符合题意，所以实数k的值为.故答案为：18．已知平面向量，且.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由整理得，又，代入得，解得，则；（2）因为，又，所以.【题型04：向量垂直的有关计算】19．已知平面向量，，且，则（

）A． B．4 C． D．24【答案】C【详解】因为，所以，又，则，所以，所以，所以，故选：C20．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，展开得，又，所以.因为，则，所以，解得（负值舍去）.故选：21．若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设与的夹角是，因为，所以，即①，又因为，所以，即②，由①②知，所以.故选：B.22．已知非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以，不妨设，则，，所以，故，又，故与的夹角为.故选：D23．已知向量与不共线，且，，若，则.【答案】【详解】因，由，得，又由，可得，所以，则.故答案为：24．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【详解】，，,所以，即知为锐角．同理可知也为锐角．故为锐角三角形．故选：．【题型05：投影向量的有关计算】25．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因，，则在上的投影向量为.故选：A.26．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，两边平方得，解得，向量在向量上的投影向量为.故选：D27．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在上的投影向量为，即，所以，则，因为，所以.故选：A.28．已知向量在向量上的投影向量为，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【详解】因为，所以．故选：A．29．已知向量在向量上的投影向量为，若，则．【答案】【详解】，∴，．故答案为：30．已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则.【答案】【详解】由及在上的投影向量为，得，则，解得，因此，即，所以.故答案为：.31．已知向量在向量方向上的投影向量为，则【答案】4【详解】因向量在向量上的投影向量为，则，即，又，则有，故.故答案为：4.【题型06：平面几何与数量积运算】32．在边长为的等边三角形中，，则.【答案】【详解】已知，因此，又因为在三角形中，，所以：，等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为，则，，所以，因此，.故答案为：.33．已知平行四边形，，点满足，记．用表示；若，则．【答案】；【详解】如下图所示：

根据题意可知；易知；又；因为可知；所以；故答案为：；；34．在平面四边形ABCD中，若，且，则【答案】12【详解】由，，得，，所以.故答案为：1235．在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则．【答案】【详解】如图所示，连接，取中点为，连接，，则，，则，因为，，，，整理可得，则，故答案为：.36．在△ABC中，点D为BC的中点，若则（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【详解】因为点为的中点，所以，又，则，又，则.故选：B.37．如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点．(1)若，求的值；(2)若，当A，F，C三点共线时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由题意可得：，，又，所以，所以，所以，，；（2），当A，F，C三点共线时，由（1），所以，，，因为当A，F，C三点共线，所以即，因为不共线，所以，解得：38．中，D为AB边中点，.(1)用表示(2)若，求【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）如图，因为，所以，所以．因为D为线段的中点，所以；（2）又因为，所以，所以所以，所以，①因为，所以，所以①．【题型07：平面几何中求数量积的最值】39．在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为.【答案】【详解】,与所成的夹角为令，则当时，的最大值为.故答案为：.40．已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（）A．8 B．8C． D．12【答案】D【详解】如图，取等边的中心为，的中点为，则，因为，所以，则，故点在以为圆心，1为半径的圆上．过作交圆于点，且与方向相同，由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值，此时，过点作的垂线，垂足为，易知，所以．故选：D．41．在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为【答案】【分析】【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：①；②．方法二：如图所示，建立坐标系：，，满足，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：①；②．42．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为.

【答案】【详解】连接，则，由最小值为中以为底的高，则，经检验等号成立时满足题意.

故答案为：.43．已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.【答案】【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，则，，故，当且仅当，时，等号成立，故答案为：.44．在矩形中，分别是线段的中点，且．(1)求；(2)若为线段上的动点，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为四边形是矩形，是线段的中点，所以.因为是线段的中点，所以.又，所以.（2）因为为线段上的动点，所以可设，所以，在矩形中，，所以.令，则，当时，取得最小值，即・的最小值为.45．如图，在梯形中，，且，设，．(1)试用和表示；(2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值．(3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）因为，，，所以，化简为．（2）因为，，三点共线，所以，因为，，所以，又，所以，所以解得．（3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为，所以，所以，，所以，故当时，取到最小值．一、单选题1．已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当且，则，但与不一定相等，故不能推出，则“”是“”的不充分条件；由，可得，则，即，所以可以推出，故“”是“”的必要条件．综上所述，“”是“”的必要不充分条件．故选：B．2．若向量满足与的夹角为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D.3．已知在中，是的中点，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】.故选：C.4．向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解析：因为，所以，所以，即，即，所以又，，所以，，，所以.故选：D.5．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，因为四边形是菱形，所以，由点是的中点，得，由题意得，，所以，因为，所以的取值范围是．故选：D．6．平面向量，满足，，，若，则最小值为（）A．1 B．C． D．【答案】B【详解】因为，，，，得，即，即，所以，即.设与的夹角为，则，，∴当时，最小值为.故选：B.7．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（

）A．15 B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，所以①，因为，设其夹角为，所以，又，所以，所以①，所以.故选：D.二、多选题8．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．【答案】ABD【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则，所以或当时，，C错；对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对.故选：ABD.9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（

）

A．B．C．设为内一点（含边界），的最小值为6D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为【答案】ACD【详解】A，延长交于点，易知是等边三角形，有，四边形是平行四边形，，，故正确；B，由A可知，是边长为4的等边三角形，，故错误.C，在上的投影向量的模长的最小值为，，正确.D，过点作直线的平行线，分别交，于点，.因为，点在线段上，当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以的取值范围为，正确.故选：ACD

三、填空题10．设为单位向量，且，则．【答