2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第06讲 向量数量积的概念及运算律（5知识点+7大题型）（原卷版）

第06讲向量数量积的概念及运算律内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：数量积的定义及运算律】【题型02：向量模的有关计算】【题型03：向量夹角的有关计算】【题型04：向量垂直的有关计算】【题型05：投影向量的有关计算】【题型06：平面几何与数量积运算】【题型07：平面几何中求数量积的最值】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的夹角（1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向.（2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.知识点2：向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则规定:零向量与任一向量的数量积为0.知识点3：向量的投影向量（1）如图（1）,设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.（2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.（3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有知识点4：向量数量积的性质设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则（1）；（2）；（3）；【注】当与同向时,；当与反向时，.（4）；（5）或知识点5：数量积运算的运算律（1）；（2）；（3）【题型01：数量积的定义及运算律】1．（多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（

）A．， B．， C．， D．，2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则．3．已知平面向量满足，与的夹角为，则（

）．A．7 B．1 C． D．4．已知单位向量，的夹角为，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（

）

A．4 B．C． D．【题型02：向量模的有关计算】6．已知与的夹角为，则的值为（）A．2 B． C． D．7．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（

）A．4 B．8或 C．10 D．4或108．已知向量，满足，，且，的夹角为，则．9．已知两个单位向量满足，则（

）A．3 B．4 C．5 D．610．已知向量满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．11．已知非零向量、，若，且，则的取值范围为．【题型03：向量夹角的有关计算】12．已知，则（

）A． B． C． D．13．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．14．已知平面向量，，，满足，，，则（

）A． B．或 C．5 D．5或15．已知，则（）A． B． C． D．16．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为．18．已知平面向量，且.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【题型04：向量垂直的有关计算】19．已知平面向量，，且，则（

）A． B．4 C． D．2420．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．21．若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．22．已知非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．23．已知向量与不共线，且，，若，则.24．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【题型05：投影向量的有关计算】25．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．26．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．27．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．28．已知向量在向量上的投影向量为，，则（

）A． B． C． D．329．已知向量在向量上的投影向量为，若，则．30．已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则.31．已知向量在向量方向上的投影向量为，则【题型06：平面几何与数量积运算】32．在边长为的等边三角形中，，则.33．已知平行四边形，，点满足，记．用表示；若，则．34．在平面四边形ABCD中，若，且，则35．在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则．36．在△ABC中，点D为BC的中点，若则（

）A． B．3 C． D．237．如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点．(1)若，求的值；(2)若，当A，F，C三点共线时，求的值．38．中，D为AB边中点，.(1)用表示(2)若，求【题型07：平面几何中求数量积的最值】39．在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为.40．已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（）A．8 B．8C． D．1241．在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为42．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为.

43．已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.44．在矩形中，分别是线段的中点，且．(1)求；(2)若为线段上的动点，求的最小值．45．如图，在梯形中，，且，设，．(1)试用和表示；(2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值．(3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值.一、单选题1．已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若向量满足与的夹角为，则等于（

）A． B． C． D．3．已知在中，是的中点，，，则（

）A． B．C． D．4．向量，，且，则（

）A． B． C． D．5．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．6．平面向量，满足，，，若，则最小值为（）A．1 B．C． D．7．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（

）A．15 B． C． D．二、多选题8．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（

）

A．B．C．设为内一点（含边界），的最小值为6D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为三、填空题10．设为单位向量，且，则．11．已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则.12．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是．13．如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表