2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题05 指对数型复合函数7大题型（解析版）

专题05指对数型复合函数7大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：复合函数的单调性性质：同增异减设函数的值域是，函数若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.【注意】要先讨论函数的定义域；判断单调性时，要在的值域范围内讨论。知识点2：求复合函数的值域1.求指数型复合函数值域形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。2.求对数型复合函数值域形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。形如的函数，令，先求出f(x)的值域，再利用的单调性求出的值域。【题型01判断指对型复合函数的单调性】1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，，内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数，由复合函数法可知，函数的减区间为，增区间为，因为函数在区间上单调递减，则，所以，即实数的取值范围是.故选：A.2．已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是．【答案】【详解】因为对，且，都有，则，令，则在上单调递减，令由于在上为增函数，由复合函数单调性可得：在上单调递减，当时，在上单调递减，满足条件，当时，要使在上单调递减，则，解得：，当时，要使在上单调递减，则，解得：，综上的取值范围为：;故答案为：3．函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增.因为是增函数，且函数在上单调递减，所以在上单调递减.所以，所以.所以的取值范围是.故选：B.4．已知函数在单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若在区间单调递增，则需满足，且，故，即的取值范围是．故选：C．5．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减，则函数在上单调递增，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：B6．函数在单调递减，则的取值范围为.【答案】【详解】令，其图象的开口向下，对称轴为且，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，由在上单调递减，则，可得，所以.故答案为：7．若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为的值域为，在区间上单调递增所以函数与轴有交点，即方程有实根，所以，解得或①；因为函数在区间单调递增，且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，所以，解得②，由①②可得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【题型02根据指对型复合函数的单调性求参】8．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，得或，设，或，，则函数，或，在上单调递减，在上单调递增，又为减函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A9．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由且，解得函数定义域为.函数化简为.令，其为开口向下的抛物线，对称轴为，故在上单调递增.又在时单调递增，根据复合函数“同增异减”，原函数的单调递增区间为.故选：B.10．函数的单调递减区间为.【答案】【详解】函数由外层函数，内层函数构成，内层函数的对称轴为，单调递增区间是，单调递减区间是，外层函数是增函数，所以函数的单调递减区间为.故答案为：11．的单调递增区间为.【答案】（或）【详解】因为的定义域为，又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，可知在内单调递减，在内单调递增，所以的单调递增区间为.故答案为：（或）.12．函数的单调递减区间是;【答案】【详解】由得或，令，该函数在上递减，在上递增，函数在上单调递增，求函数的单调递减区间，即求在定义域上的单调递减区间，所以函数的单调递减区间是.故答案为：.【题型03求指对型复合函数的最值或值域】13．已知，，则函数的值域为.【答案】R【详解】当时，函数的定义域为，函数的真数的取值集合为，所以函数的值域为R.故答案为：R14．已知函数，则值域为【答案】【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成.由真数得，，所以内层函数的值域为.又外层函数在定义域上单调递减，所以，即值域为.故答案为：.15．函数的值域为．【答案】【详解】由题意得，且，故，从而，即，所以函数的值域为．故答案为：16．函数的值域为．【答案】【详解】因为，，当时取最小值0．所以值域为.故答案为：.17．已知，且，且.(1)求的值及的定义域；(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2).【分析】【详解】（1），即，则.由题意得解得，故的定义域为.（2），令，设，的对称轴：，在上单调递增，在上单调递减.在单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增.，在上的值域为.18．已知，(1)用区间表示A和B；(2)已知函数，，求的最大值，并写出此时x的值．【答案】(1)，(2)，【分析】【详解】（1）由，得，解得且，即，由，得，即.（2）由，，因为，则，则，即时，取得最大值.【题型04根据指对型复合函数的最值或值域求参】19．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可知有解，且无最大值，即有解，且无最大值，当时，有解，无最大值，符合题意；当时，，则有解，当时，有最大值，则有最大值，不符合题意；当时，有解需满足，解得，此时无最大值，无最大值，满足题意．综上，实数的取值范围是．故选：A．20．已知函数有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，当且仅当时等号成立，故，故有最小值，当时，令，则，故或，故函数的定义域为，在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去；综上，，故选：D21．“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】二次函数的对称轴为，要使函数在区间上单调递增，则，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：B22．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．23．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（）A．或 B．或C．或 D．前面三个答案都不对【答案】C【详解】设，则函数等价于，因为函数函数在区间上的最小值为－8，所以能取到，当时，，所以，可得，当时，，所以，可得，故选：C24．设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为．【答案】【详解】因为，且函数在区间上的最小值为，故，当且时，，则，解得；当且时，，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.25．已知函数(1)若在区间上的最大值是，求实数a的值；(2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】【详解】（1））①当时，在上单调递减，所以,解之可得，②当时，在上单调递减，所以，可得，综上所述：或.（2）设，则，因为函数的值域为，即，所以，即，得，根据是单调递增函数，设则，所以实数t的取值范围是.【题型05指对型复合函数的奇偶性及应用】26．已知函数为奇函数，则实数的值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】因函数为上的奇函数，则，解得，则.因，即函数为奇函数.故选：B.27．已知函数，则下列判断中正确的是（

）A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数【答案】A【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称，则，所以为奇函数；由，因为在上单调递增，为增函数，所以为增函数.故选：A28．已知为奇函数，若，则的取值范围为．【答案】【详解】因为为奇函数，所以，因，则可得，即．又等价于，易知函数在上单调递增，所以，解得．故答案为：29．“”是“函数为偶函数”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为为偶函数，所以，即，即，即，所以，“”是“函数为偶函数”的必要条件；当“”时，，即函数为偶函数，“”是“函数为偶函数”的充分条件；综上，“”是“函数为偶函数”的充要条件，故选：A.30．已知函数是偶函数.(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最大值与最小值.【答案】(1)(2)最大值为3，最小值为2【分析】【详解】（1）由是偶函数，得，即.化简，代入得.消去，整理得，对任意成立，故.此时，，符合题意，所以的值为.（2）由，得，令.当时，，则.该函数开口向上，对称轴为，当时，；当时，，即.【题型06与指对型复合函数有关的不等式】31．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【详解】，所以若对任意的，总有恒成立，即对任意的，总有恒成立，即对任意的，总有恒成立，而当时，，等号成立当且仅当，所以当时，有最小值且最小值是2，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.32．已知定义域为的函数是奇函数．(1)求的值．(2)判断函数的单调性，并用定义证明．(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)减函数，证明见解析(3)【分析】【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，∴，则，由，则当时，原函数为奇函数．（2）由（1）知，任取，设，则，因为函数在R上是增函数，，∴．又，∴，即，∴在上为减函数．（3）因是奇函数，从而不等式：，等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：恒成立，设，令，则有，∴，∴，即k的取值范围为．33．已知函数．(1)设，判断并证明函数的奇偶性；(2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)是定值，【分析】【详解】（1），是奇函数，证明如下：的定义域是，，所以是奇函数.（2）为定值.所以，即，即①，在上单调递增，，，即②，由①②得，而，所以关于x的不等式的解集为.34．函数．(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）解：因为所以因为，，所以当时，有最小值；当时，有最大值.所以函数的值域为（2）解：令，由得，所以对于恒成立等价于对恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围为.35．已知函数，.(1)若，证明：为偶函数；(2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值；（ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）【分析】【详解】（1）时，，定义域为，且，所以函数是偶函数；（2）（ⅰ）当时，，当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以，的对称轴是，当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是当时，即，函数的最小值是，的最小值是，综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是（ⅱ）由题意可知，，，，设，则，函数的最小值是，由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立，当时，的最小值是，则则，，则，综上可知，36．已知函数，其中，且．(1)求函数的定义域；(2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当，定义域为；当时，定义域为(2)【分析】【详解】（1）设，由题知，即，根据指数函数的单调性，当时，由，解得；当时，由，解得.综上，当，定义域为；当时，定义域为（2）时，即，即，解得，由于，此时，，则，即，即，即，设，令，则，此时，根据对勾函数的单调性，在上递减，注意到，则在取得最大值，即，则，此时，则【题型07指对型复合函数的零点问题】37．若函数有且只有一个零点，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】由题函数定义域为R，关于原点对称，又由于故为上的偶函数，由于只有一个零点，因此，故，解得，故选：D.38．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在，令，则有，即实数的取值范围为，故选：B.39．已知函数没有零点，则．【答案】1【详解】因为函数没有零点，所以方程无实数根，即方程无实数根，因为，所以，则，故方程无实数根的条件为：，解得.故答案为：140．，若有两个零点，则的取值范围是.【答案】【详解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，所以，当时，，当时，，于是函数的值域为，又函数的在上单调递增，在上单调递减，函数图象如图所示：设，由可知，，则.因为有两个零点，所以，即，于是，则方程，即有两个零点，所以，由的图象可知，使方程有两个零点，则满足，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.41．已知函数(1)判断函数的奇偶性；(2)设函数的值域为区间，求；(3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围【答案】(1)偶函数；(2)；(3)或.【分析】【详解】（1）由，可得的定义域为，定义域关于原点对称，又，为偶函数.（2），令，则，又函数为增函数∴，即.（3）方法一：令，，则由，即直线与对勾函数，有且仅有一个交点.在平面直角坐标系中画出对勾函数，易知当且仅当时，取到最小值4.由图可知，当或当时，直线与对勾函数有且仅有一个交点，故实数的取值范围为或方法二：令在区间上恰有一个零点，即函数在上恰有一个零点.①，即，(i)若，得方程，解得，符合题意；(ii)若，得方程，解得，不符合题意；②当且零点在上时只需，即，解得；③当零点为4时，只需，即，无解.综上所述，实数的取值范围为或.42．已知函数是偶函数.(1)求实数的值.(2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)-1(2)【分析】【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，而，所以，化简得，即对任意成立，所以.（2）由（1）知，，则.在时存在零点，即方程在时有解.令（），则只需求出的值域..令，，因函数在定义域上为增函数，函数为减函数，所以在时单调递减，所以，即.因此实数a的取值范围为.1．函数的单调增区间为．【答案】【详解】函数中，，解得，即函数定义域为，因函数在上单调递减，在上单调递增，又指数函数为单调递减，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调增区间是.故答案为：.2．函数的值域是.【答案】【分析】【详解】方法一：.函数的定义域为，则且，当时，，，；当时，，，；综上，函数的值域是.方法二：令，则.因为，所以，即，解得或.故函数的值域是.故答案为：.3．函数的值域为．【答案】【详解】令，则，所以，设，，因为在区间上单调递增，所以，即函数的值域为.故答案为：.4．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】令，则函数为减函数，又因为函数是增函数，所以是减函数，所以函数在区间上的最大值为,最小值为，由题意得,则，所以，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.5．已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在单调递减，时，，即，另外，时，单调递减，在单调递增，综上所述，的取值范围是.故选：A6．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下，得在上单调递增，在上单调递减，又指数函数在上单调递增，所以在里必须存在，解得．故选：ABD．7．已知函数.(1)若，求实数的值；(2)当时，的最小值为，求函数的解析式；(3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得；（2）令，因为，所以，则转化为，此抛物线开口向上，且对称轴，当，即时，在上单调递增，则；当