重庆市2025-2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

（本试卷共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；2.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用黑色签字笔答题；3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可.【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，所以该椭圆的焦点在纵轴上，因此有，且，故选：C2.已知直线过点，且与直线平行，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值.【详解】因为直线过点，所以，解得.因为直线与直线平行，所以，即，解得，所以.故选：B.3.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果.【详解】由题意可得，，，所以数列是周期为3的周期数列，即，则.故选：D.4.如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用多边形法则即可求解.【详解】，因为在棱上，且，所以，又为中点，所以，故，故选：A5.在数列中，若，，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得.【详解】由题设，，则，，，当时，，，，，，，所以，且，显然均满足上式，所以.故选：C6.已知是椭圆：的一个焦点，是短轴的一个端点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据转化为向量，结合焦点和短轴端点的坐标，求出交点的坐标，然后将Q的坐标代入椭圆标准方程，最后化简就行.【详解】设椭圆的右焦点为，上顶点为，设。由，可得向量关系：,，，解椭圆方程为，将代入，，即化简得所以故选：C7.已知为等比数列，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可.【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为，因为，，所以，联立方程组，解得，结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和，由求和公式得前50项和为，故D正确.故选：D8.已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求的最小值.【详解】如图：分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接.设，，则，因为为梯形的中位线，所以.又，所以.所以.又.所以，当且仅当时取等号.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，，圆：，则（）A.B.过点、的直线方程为C.若直线与圆相切，则D.若圆与圆：恰有三条公切线，则【答案】ABD【解析】【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可.【详解】A：因为方程表示圆，所以，因此本选项说法正确；B：因为点，，所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确；C：，所以圆心坐标为，半径为，若直线与圆相切，则有，所以本选项说法不正确；D：圆：的圆心坐标为，半径为，若圆与圆：恰有三条公切线，则圆与圆相外切，所以有，因此本选项说法正确，故选：ABD10.已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.B.为递减的等差数列C.当时，取得最大值D.使得成立的最小正整数的值为23【答案】ABD【解析】【分析】设出首项和公差，并结合题意得到，进而判断A，利用等差数列的求和公式并结合等差数列的定义判断B，利用等差数列的性质判断C，结合题意建立不等式，进而得到且，从而判断D即可.【详解】因为，所以是等差数列，因为，所以，设首项为，公差为，则，解得，对于A，可得，故A正确，对于B，由等差数列性质得，则，，可得，而，则为递减的等差数列，故B正确，对于C，因为，，所以，因为，，所以为递减的等差数列，则的前11项均为正，从第12项起为负，则当时，取得最大值，故C错误，对于D，令，则，而，可得，且，解得，则使得成立的最小正整数的值为23，故D正确.故选：ABD11.双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则下列说法错误的有（）A.B.C.的离心率为D.当时，四边形的面积为【答案】BD【解析】【分析】选项A，根据双曲线和圆的对称性可知四边形为平行四边形，根据和互补得解；选项C，设，由在渐近线上得到，由利用两点间的距离公式得到，从中解出的值得到的坐标，利用两点间的距离公式求出，，在中，利用余弦定理及通过整理得到，从而求出的值；选项B，由得到，从而得到和的值即可得解；选项D，由、、解得和的值，利用及三角形的面积公式即可得解.【详解】选项A，根据双曲线和圆的对称性可知，四边形为平行四边形，，，故选项A正确；选项C，设，渐近线上，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，或（舍），，，，，故选项C正确；选项B，，，，，，，，故选项B错误；选项D，，，，，，，，故选项D错误.故选：BD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量，，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直数量积为0，空间向量坐标运算得到，，由模长公式得到答案.【详解】，又，所以，即，解得，故，.故答案为：13.已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则______.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式得到，，从而得到公差，进而得到.【详解】由题意得，又，故，解得，又，，所以，解得，所以的公差为，所以.故答案为：14.已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】由方程可得表示的曲线关于轴对称，当时，方程可化为，根据对称性作出图形，设与直线：平行，且与相切的直线为，根据直线与圆的位置关系求出，中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离，由平行线间的距离公式即可求解.【详解】对于方程，将替换为，则，化简得，方程不变，故方程表示的曲线关于轴对称，同理可得方程表示的曲线关于轴对称.当时，方程可化，即,表示以为圆心，半径为的圆在第一象限及轴正半轴的部分.根据对称性可作出方程表示的曲线的图形，如图所示：设,到直线：的距离为，所以直线：与相交.设与直线：平行，且与相切的直线为，则，解得或，由图可得不符合题意，故，故.由图可得中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离，即为.故答案为:.四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点，，，（1）求的外接圆的方程；（2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）设圆方程为，将点，，代入求解；（2）根据，得到圆心到直线的距离为求解.【小问1详解】设圆的方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，所以圆的方程为，即；【小问2详解】由（1）知圆的圆心为，半径为，因为，所以圆心到直线的距离为，直线方程，即为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得或.16.已知数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）当时，，由，可得：，即可得证；（2）假设存在正整数满足题意，先利用（1）求出，得到，，，利用等比中项的定义得到关于的方程，解出的值．【小问1详解】已知，当时，，由，上述两式相减得：即即，由得：，故数列是公差为2的等差数列；【小问2详解】假设存在正整数满足题意，由（1）知是公差的等差数列，且，则：，故，故，又，，若，，成等比数列，则，代入得：，因为为正整数，解得，验证：当时，，等式成立.故存在正整数，使，，成等比数列.17.如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，四边形是等腰梯形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）若为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，从而有，再应用线面平行的判定证明结论；（2）若是上靠近的四分之一的等分点，根据已知证明两两垂直，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】若为的中点，连接，又为的中点，则且，又且，易知，，所以四边形为平行四边形，则，由平面，平面，则平面；【小问2详解】若是上靠近的四分之一的等分点，则，连接，由四边形是等腰梯形，，，易知为梯形的高，所以，而，则，由是以为斜边的直角三角形，，，则，所以，故，则，所以，且，而，所以，则，综上，两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，所以，所以，，，令是平面的一个法向量，则，若，则，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.18.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、.（1）求抛物线的标准方程；（2）若的面积为20，求直线的方程；（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程；（2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，，的面积，结合，解得，从而求出直线的方程；（3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得，由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值.【小问1详解】抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即：，解得，故抛物线的标准方程为；【小问2详解】由（1）得焦点，又，则，易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为，联立，消去，整理得：，设，由，得，由韦达定理，，，故的面积，代入得：,得，又，故：，解得满足，因此直线的方程为或；【小问3详解】由在抛物线上，代入得，又，故，即，易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为，，，由（2）知，，直线的斜率为：，故直线的方程为：，令，得，即，又故，，由，得故，即，同理，直线交轴于，得，故代入，，得故，为定值.19.已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离之比是常数.（1）求曲线的方程；（2）点，是曲线上的两点，且位于轴上方，点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，的取值范围是.【解析】【分析】（1）由动点到定点与定直线距离之比为常数的定义，判断轨迹为椭圆，据此建立方程化简即得曲线；（2）设直线的方程为，将其与椭圆方