安徽省合肥市2025-2026学年高三数学上学期素质拓展训练一含解析

考试用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题否定直接写出即可.【详解】命题：，则：.故选：C2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式确定B，再利用交集概念计算即可.【详解】，又，所以.故选：D3.不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】分、两种情况分别求解一元二次不等式即可.【详解】当时，不等式可化为，即，得；当时，不等式可化为，即，得；则不等式解集是.故选：A4.已知集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】A【解析】【分析】结合指数函数以及对数函数的性质求出集合，根据二者的关系，即可判断出答案.【详解】由可得，则；由，得，故，由于是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A5.若正数x，y满足，则的最小值是（

）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为正数x，y满足，所以，所以，当且仅当，即，又，时，等号成立，所以的最小值为.故选：C6.已知是函数的一个零点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正切函数的零点得解.【详解】令，得，所以，.故选：A7.已知，则，，的大小关系不可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果.【详解】设，则当时，，选项A正确；当时，，，，所以，，，由此可得，选项B正确；当时，同理可得，选项C正确.故选：D.8.已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围.【详解】因为.所以或当时，，此时方程无解；当时，.因为为偶函数，所以有两解，分别为和.又方程恰有4个不同的实根，所以也有两个不同于和的两根.作出函数的草图如下：要使有两个不同于和的两根，则或且.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D.【详解】若，时，则，故A错误；若，时，，故B正确；若，当时，，但，命题不成立，故C错误；当时，，又，所以，故D正确.故选：BD10.下列说法错误的是（）A.不等式的解集为B.函数的定义域为C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确；【详解】对于A，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为或，故A错误；对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确；对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误；对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；当时，由二次函数的性质可得，解得，综上的取值范围是，故D错误；故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足：①；②对，有；③且，有，则下列选项正确的有（）A. B.C.不等式的解集为 D.【答案】ABD【解析】【分析】通过赋值法，令求得可判断A；通过赋值法得到对，及，利用基本不等式可判断B；由题设中③可知函数是定义在上的减函数，利用单调性解不等式即可判断C；通过赋值法归纳得到，再利用等比数列的求和公式即可判断D.【详解】对于A，由，令，得，，∴，故A正确；对于B，由，令，得，因为对，，令得，所以对，，令，得，，当且仅当时等号成立.故B正确；对于C，由且，有，得是上的减函数，又，∴，解得.故C不正确；对于D，由，令得；令得；……令得；所以故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集是___________【答案】【解析】分析】将分式不等式化成整式不等式进行求解.【详解】因为恒成立，所以等价于或，解得或，所以不等式的解集是；故答案为：13._____________.【答案】【解析】【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值.【详解】原式故答案为：14.设函数.如果对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】先利用奇函数定义得到函数为奇函数，然后再求出为增函数，即可求得，即，再求出，即可求解.【详解】由题意得对于任意，有，所以函数为奇函数.又因为与在上单调递增，所以在上是增函数，所以，即，即对任意都成立，由，其中，所以，所以，解得.故实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：第15题13分，第16和第17趣各15分，第18和19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，全集．（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），=；（2）【解析】【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可；（2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可.【小问1详解】当时，，由，所以，又因为或，所以=.【小问2详解】由可得，所以当时，有，解得，当时，有，解得．综上，所以的取值范围为．16.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则（1）求关于x的函数关系式；（2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可；（2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可.【小问1详解】由题意可知：，则，即，又，所以即，所以；【小问2详解】易知大扇形与小扇形的面积分别为：，所以扇环的面积为，结合（1）得，则砖雕面积与雕刻费用之比为，整理得，当且仅当时等号成立，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.17.已知函数（为常数，）．（1）当取何值时，函数为奇函数；（2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可；（2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果.【小问1详解】若为奇函数，则，即，，，，解得：.【小问2详解】当时，，，，当时，，又在上单调递增，当时，，令，则方程在上有实根，在上有实根，又在上单调递增，，.18.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．（1）判断函数的奇偶性并用定义证明；（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式：．【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析（2）函数在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解；（2）利用函数的单调性定义证明；（3）利用函的奇偶性和单调性求解即可.【小问1详解】函数是奇函数，证明：令，则，解得，令，则，令，则．为定义在上的奇函数．【小问2详解】函数在上单调递减，证明：，设，则，，，，．又，，又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数．则当时，，，，即，即，在上单调递减；【小问3详解】因为，由（1）知为定义在上的奇函数，则，的定义域为且在上是单调递减的，解得，不等式的解集为．19.定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.（1）证明：；（2）证明：当时，；（3）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义可直接计算证明；（2）设，求导证明即可；（3）根据题意证