2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第08讲 两角和与差的余弦、正弦、正切（2知识点+8大题型）（解析版）

第08讲两角和与差的余弦、正弦、正切内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：正余弦和差公式的正用】【题型02：正余弦和差公式的逆用】【题型03：正切和差公式的正用】【题型04：正切和差公式的逆用】【题型05：求特殊角的三角函数】【题型06：给值求值（凑角）】【题型07：给值求角（凑角）】【题型08：综合化简问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）记忆口诀：“CCSS，符号改变”；（3）；（4）记忆口诀：“SCCS，符号不变”；（5）（6）知识点2：两角和与差的三角函数应用1.给角求值与给值求值问题“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角，也可以是常用的特殊角，例如2.给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.一般遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦；若角的范围是，选正弦.【题型01：正余弦和差公式的正用】1．已知点是角的终边上一点，则.【答案】【详解】因为点是角的终边上一点，所以，则.故答案为：.2．已知，，，是第三象限角，则．【答案】【详解】由，，则，由，是第三象限角，则，所以.故答案为；.3．在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，且，则，若为第一象限角，则为第四象限角，由，得，由，得，此时，若为第二象限角，则为第三象限角，由，得，由，得，此时，综上，.故选：B.4．若，且，则.【答案】/【详解】由题意，∵，，∴，，即

，，∴，故答案为：.5．已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，，，所以，，所以.故选：B.6．已知，则.【答案】【详解】由，可得，由，可得：，即，联立可得：，所以，故答案为：【题型02：正余弦和差公式的逆用】7．计算（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：.故选：A.8．．【答案】/【详解】原式.故答案为：．9．已知，是第四象限角，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，即，所以∵是第四象限角，∴.所以.故选：D.10．已知，则.【答案】7.【详解】已知，则，即，则，则，则.故答案为：7.11．在中，，，则（

）A．9 B． C．8 D．【答案】A【详解】由，，得，又，代入可得，所以，即得.故选：A.12．（多选）下列各式中，计算结果为1的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD【题型03：正切和差公式的正用】13．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，所以，则.故选：A.14．已知角的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】∵，∴，即，∵角的终边均不在坐标轴上，∴，则，∴，∴，∴，A选项错误；，不为定值，B选项错误；不为定值，C选项错误；，D选项正确.故选：D.15．已知，则（

）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】由，解得：，所以，故选：C.16．已知，，则（

）A． B． C． D．7【答案】C【详解】因为，，所以.所以.所以.故选：C.17．已知，，则（

）A．0 B． C． D．2【答案】B【详解】因，则，得或，因，则，则.故选：B18．已知，，则（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【详解】因为，所以，化简得.①+②得，①-②得.所以.故选：C.【题型04：正切和差公式的逆用】19．若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】，.故选：D20．已知是方程的两个实根，则（）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】由韦达定理，可得，(*)，因，将(*)代入上式，得，解得.故选：A．21．已知．【答案】【详解】.故答案为：.22．已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为满足，所以，因为，故，故，因此，.故选：B.【题型05：求特殊角的三角函数】23．求的值为．【答案】【详解】.故答案为：.24．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.所以.故选：D.25．．【答案】/【详解】.故答案为：.26．下列选项中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.27．（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，故选：A．28．的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】．故选：C．【题型06：给值求值（凑角）】29．已知，，，，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值为.故选：B.30．若，且为锐角，为钝角，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，所以，，得，又，且，所以，.故选：B．31．已知为钝角，，则（

）A． B． C．7 D．【答案】D【详解】由为钝角，得，，所以.故选：D32．已知，，，则.【答案】1【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，因为，又因为，所以，则.故答案为：1.33．已知，且，则.【答案】/【详解】因为，所以，又，所以，所以，故的值为.故答案为：34．已知为锐角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1），．（2）为锐角，，又，，，为锐角，，．【题型07：给值求角（凑角）】35．已知，为锐角，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，为锐角，，，所以，，所以，则，所以，故选：A．36．若，且为锐角，为钝角，则【答案】【详解】因为为锐角，，所以，又因为为钝角，所以，所以,,所以,,所以,因为，所以.故答案为：.37．已知，，且，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】【详解】（1）由，，得.（2）由，得.（3）由，，得，由（1）知，则，，，所以.38．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为，所以．（2）方法一：因为，且，可知，则，可得，．因为，则，，因为，所以解得，，所以，由，可得，所以．方法二：，且，可得，，则．又因为，解得，可得．由，可得，所以．【题型08：综合化简问题】39．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为①，②，由①+②得，，所以，因为，所以，因为，所以，又函数在上单调递增，所以，即，所以，所以.故选：B40．若，为锐角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则，且，可得，且；又因为，则，且，可得；所以．故选：D.41．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，则，，所以.故选：B42．已知，，，则．【答案】/【详解】由，，得.因为，所以，所以.所以由，得.故答案为：.43．已知，，则，的最小值是.【答案】【详解】设，则，因为，可得，所以，可得，两边同除以，可得，即.由，因为且，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，故答案为：；.44．已知角满足，则.【答案】2【详解】由题意，可得，因为，可得，则，整理得，所以.故答案为：.45．已知，，且，，则.【答案】【详解】由题可得

①，由，得，所以

②，①②得，得.因为，，所以，所以，即.nn故答案为:.一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为则，故，所以，故选：D.2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因，，，则，，则.故选：B3．将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：，，所以.故选：A.4．的值等于（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C5．（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得.故选：A．6．若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，即，因为，所以，则的取值范围是.故选：C二、多选题7．下列四个选项中，化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：BCD．8．设，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】对于A，由，，得，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题9．在平面直角坐标系中，已知点，若点A绕原点顺时针旋转到点B，则点B的横坐标为【答案】/【详解】以点为角的顶点，轴非负半轴为角的始边，设以射线为终边的角为，则，以射线为终边的角为，因此，所以点B的横坐标为.故答案为：10．若，，则．【答案】【详解】.故答案为：.11．若，则的值为．【答案】3或不存在【详解】令，于是有，所以，化简上式得，当时，两边同除以可得，所以的值为3；当时，则，，，此时无意义，所以不存在.故答案为：3或不存在四、解答题12．已知角，的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点.(1)求，的值；(2)求的值；(3)若角终边绕原点逆时针转过后与角的终边重合，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）由题意，角的终边过点.所以根据任意角三角函数的定义可得；（2）由（1）得，所以.（3）由题意，因为角的终边过点，所以根据任