专题01 二次根式及其性质（六大题型）（题型训练+易错精练）（解析版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

专题01二次根式及其性质

（六大题型）

【题型1二次根式的识别】...................................................................................................1

【题型2求二次根式的值】...................................................................................................3

【题型3求二次根式中的参数】............................................................................................5【题型4二次根式有意义的条件】........................................................................................6【题型5利用二次根式的性质化简】....................................................................................8【题型6数轴与二次根式的化简】........................................................................................10【题型1二次根式的识别】1．下列各式中，是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义．【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2．，被开方数，故A不符合；，根指数为3，故B不符合；，∵，∴，且根指数为2，故C符合；且，则，被开方数小于0，故D不符合．故选：C．2．下列各式一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义，根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可．【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意，不一定是非负数，故B选项不符合题意，，故C选项不符合题意，，是二次根式，故D选项符合题意，故选：D．3．下列各式中，不一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A．当时，即是二次根式；B．，，即是二次根式；C．，即是二次根式；D．当时，即不一定是二次根式；故选：D．4．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可．【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义．②：被开方数为，无意义，不是二次根式．③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式．④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式．⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．故选B．【题型2求二次根式的值】1．计算：（）A．25 B．35 C．45 D．55【答案】C【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可．【详解】解：，故选：C．2．当时，二次根式的值为（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．【详解】解：当时，原式，故选：B．3．的值在（）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【答案】D【分析】首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．【详解】解：，．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：，，．4．代数式的最小值为．【答案】2【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．【详解】解：根据题意可得，∴，∴的最小值为2，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．5．计算的结果是．【答案】8【分析】根据二次根式去根号法则：计算即可．【详解】，故答案为：8．【点睛】本题考查了二次根式，熟练运用二次根式去根号法则是解题关键．6．化简：．【答案】【分析】利用解答即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键．

【题型3求二次根式中的参数】1．已知是整数，则正整数m的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题．【详解】解：因为，所以．因为是整数，所以正整数m的最小值是2．故选：B．2．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（）A．0 B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意；B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意；C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．3．若，满足，则．【答案】【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：．4．二次根式与的和为0，则的值为．【答案】/0.5【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，解得：，，；故答案：．【题型4二次根式有意义的条件】1．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（）A． B．0 C．4 D．6【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，即．选项A．，B．，C．，均不满足；选项D．，满足．故选D．2．已知，则的算术平方根是（）A． B．3 C．5 D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根．【详解】解：∵和都有意义，∴且，∴且，∴．当时，，，∴方程左边，∴，∴．∴，∴的算术平方根为．故选：C．3．若二次根式有意义，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足和，联立求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴被开方数，解得；分母．∴的取值范围是且．故答案为且．【题型5利用二次根式的性质化简】1．化简的结果是（）A．5 B．25 C． D．10【答案】A【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可．【详解】解：．故选：A2．化简的结果是（）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数．【详解】解：，故选：B．3．化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式性质．根据二次根式性质即可得解．【详解】解：，．故选：．4．若，则的值可以是（）A．4 B．2 C．0 D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求得结果，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，即，只有选项D符合题意，故选：D．5．已知，化简：的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则即可．【详解】解：∵，∴∴原式故选：B6．已知，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式是非负数得到，即可得到的取值范围．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C【题型6数轴与二次根式的化简】1．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A． B． C．5 D．【答案】C【分析】根据实数对应的点在数轴上的位置得m的取值范围，即可进行化简求值．【详解】解：根据实数对应的点在数轴上的位置得，∴，∴，故选：C【点睛】此题考查了算术平方根，熟练算术平方根的性质是解题的关键．2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6【答案】A【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．【详解】解：根据数轴可以得到：，∴，，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．3．如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b与a-b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简即可求出值．【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a+b＜0，a-b<0，∴故答案为：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是．【答案】/【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．由数轴得出，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可．【详解】解：由数轴得，，，故答案为：．5．实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是．【答案】2【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键．先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可．【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得，∴，∴．故答案为：2．1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，掌握知识点是解题的关键．根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负求解即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，∴．故选：B．2．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式．先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．【详解】解：∵，∴．∴=．故选：C．3．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ）A． B． C． D．【答案