人教版六年级数学排列组合专题精讲

人教版六年级数学排列组合专题精讲一、教学内容分析  本节课内容隶属小学数学“综合与实践”领域，是“数学广角”系列思想的深化与拓展，亦是衔接初等代数与组合数学的桥梁。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其核心定位在于发展学生的模型意识、应用意识和推理能力。知识层面，它要求学生从已掌握的简单分类与枚举（如搭配问题）进阶，系统建构排列（有序）与组合（无序）两大核心模型，理解加法原理与乘法原理（分步与分类）的逻辑根基，并能在复杂情境中辨析与应用。这不仅是对“数的运算”与“探索规律”的综合演练，更是为后续学习概率初步奠定不可或缺的计数基础。过程方法上，本课将引导学生经历“具体情境抽象为数学模型—运用原理分析问题—利用策略（如枚举、树状图、公式）求解—验证解释”的完整数学建模过程，渗透从特殊到一般、化繁为简、有序思考的学科核心思想。素养价值渗透于整个探究过程：在解决诸如赛事安排、密码设计等现实问题时，培养学生严谨、有序、全面的思维品质，体会数学的简洁之美与应用之广，克服对复杂问题的畏难情绪，树立解决问题的信心。  学情研判是实施有效教学的前提。六年级学生已具备一定的逻辑思维能力和分类讨论的初步经验，生活中也接触过简单的排列组合实例（如组队、拍照站位）。然而，普遍的认知障碍在于：难以自觉区分“顺序”对结果的影响（即排列与组合的本质差异），易混淆“分类”与“分步”，且在解决稍复杂问题时容易遗漏或重复计数。针对此，教学将通过“脚手架”式任务设计，借助直观教具（如卡片、图表）和数字化工具，将抽象原理可视化、操作化。课堂中将嵌入多层次的形成性评价：例如，通过观察学生枚举过程是否“有序”，倾听小组讨论中对“是否交换顺序”的争辩，分析随堂练习的典型错误，动态把握不同层次学生（基础型、熟练型、拓展型）的理解进程。基于诊断，教学策略将提供差异化支持：对基础型学生，强化直观操作与步骤模仿；对熟练型学生，引导其提炼方法、总结规律；对拓展型学生，鼓励其探索多解、建立模型间的联系，并提供更具挑战性的变式问题。二、教学目标  知识目标：学生能够理解加法原理与乘法原理的区别与联系，并能在具体问题中准确判断适用哪种原理。学生能够清晰区分排列（与顺序有关）和组合（与顺序无关）两种计数模型，掌握排列数Aₘⁿ和组合数Cₘⁿ的计算公式及其推导逻辑，并能用规范数学语言进行解释，例如：“从5人中选3人排队”是排列，因为“甲、乙、丙”和“丙、乙、甲”是不同的排队顺序。  能力目标：学生能够将现实生活中的计数问题（如比赛场次、选代表、数字组成等）抽象为排列或组合的数学模型。在解决问题时，学生能灵活运用树状图、列表法、公式法等策略进行有序、不重不漏的计数，并具备初步的验证与反思能力。例如，小组合作时，一位同学说：“我们先画树状图把所有情况列出来看看规律吧。”  情感态度与价值观目标：在探索与解决问题的过程中，学生能体验数学思维的严谨性与条理性，感受数学建模的价值和成功的喜悦。在小组讨论中，能尊重同伴的不同思路，乐于分享自己的方法，并形成合作解决问题的意识。面对复杂问题时，表现出克服困难的毅力和信心。  数学思维目标：重点发展学生的模型思想与有序化归思想。通过系列任务，引导学生学会从具体问题中识别关键特征（是否考虑顺序），进而抽象出普适的数学模型（排列或组合）。同时，强化“化繁为简”和“分类讨论”的策略运用，例如在解决组合问题时，先理解“从n个元素中取m个”与“取(nm)个”在结果数量上等价，从而简化计算。  评价与元认知目标：引导学生建立自我监控的学习习惯。例如，在解决问题后能反问自己：“我的计数有没有重复或遗漏？”“我用的方法是排列还是组合，依据是什么？”能够根据教师提供的评价量规，对同伴的解题过程进行简要评议，并反思自己学习策略的有效性，思考“哪种方法在这个问题中更便捷？”三、教学重点与难点  教学重点是理解并区分排列与组合的本质，掌握乘法原理与加法原理在解决复杂计数问题中的综合运用。确立依据在于：课标强调对“模型”的理解与应用，排列与组合是两类基础的计数模型，其区分是后续一切深化学习的逻辑起点。从学业评价角度看，无论是校内检测还是小升初选拔，涉及计数原理的问题均高频出现，且是考查学生逻辑思维能力和严谨性的重要载体。突破此重点，方能使学生举一反三，而非机械套公式。  教学难点在于在复杂或隐蔽的实际情境中，准确抽象出数学模型，并自觉运用有序思考的策略确保计数不重不漏。其成因在于：学生的思维从具体形象向抽象逻辑过渡尚不彻底，面对文字描述较多的应用题时，容易忽略“顺序”这一关键隐含条件。此外，当问题需要综合运用分类（加法原理）与分步（乘法原理）时，步骤的划分易产生混淆。预设依据来自常见错误分析：如将组合问题误作排列求解导致答案偏大，或解决“数字组成”问题时忽略“0”不能放在首位等限制条件。突破方向是通过大量对比性实例和结构化思考工具（如决策树）搭建认知脚手架。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态树状图生成、情境动画）、实物卡片（写有数字15或字母AE）、磁性白板及贴图。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础演练、综合应用、挑战探究三部分）、课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1预习任务：回忆生活中的“选择”与“排序”实例各一，简单思考其不同。2.2学具：铅笔、尺子、草稿本。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作讨论。3.2板书记划：左侧预留核心概念区（原理、定义、公式），中部为探究过程生成区，右侧为典型案例与学生成果展示区。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，制造冲突：“同学们，假设我们班要成立一个‘数学智囊团’，需要从你们小组的4位同学中，选出2位分别担任‘团长’和‘副团长’。有多少种不同的选法呢？如果只是选出2位代表去开会，不区分职务，选法还是一样多吗？”（留白片刻，让学生直觉判断）许多同学可能会猜数字相同或不同，从而产生认知冲突。  1.1核心问题提出：“为什么同样是‘选2个人’，有时候结果数不一样？这背后的数学道理是什么？今天，我们就来揭开‘有序’与‘无序’选择的神秘面纱，掌握计数的金钥匙。”  1.2路径明晰与旧知唤醒：“我们将通过几个闯关任务来探究。首先，回顾一下我们以前用过的‘法宝’——‘画树状图’和‘列表法’，今天我们要在它们的基础上，提炼出更强大、更通用的数学原理和公式。”第二、新授环节任务一：探究“有序”选择——排列模型的建立  教师活动：聚焦导入问题中的“选团长”情境。首先，邀请一个小组上台，用写有组员代号的卡片进行模拟操作。教师引导：“我们先确定团长，有几种可能？”（4种）“团长选定后，再选副团长，这时有几种可能？”（3种）。紧接着，教师在课件上动态生成完整的树状图，让所有学生直观看到4×3=12条路径。然后，教师板书并阐释：“像这样，完成一件事需要分步（先选团长，再选副团长），每一步各有若干方法，那么完成这件事的总方法数，就是将每一步的方法数相乘。这就是乘法原理，它是我们计数的基本工具。”随后，将问题抽象：“从4个不同元素中，取出2个按照一定顺序排成一列，称为一种排列。”自然引出排列数A₄²=4×3=12。并推广：“如果从n个不同元素中取m个排列呢？”引导学生猜想公式Aₘⁿ=n×(n1)×…×(nm+1)。可以问：“大家看，这个公式像不像从n开始，连续乘了m个越来越小的自然数？”  学生活动：观察同伴的实物操作，同步在草稿本上尝试画树状图或列表。跟随课件演示，验证自己的枚举是否完整。参与公式的猜想与归纳过程，理解每一步相乘的意义。尝试口述从5人中选3人排队的排列数计算过程。  即时评价标准：  1.操作有序性：学生模拟或画图时，是否遵循“先定第一位，再定第二位”的固定顺序，避免随机混乱枚举。  2.表达准确性：能否用“先…再…”、“分步”、“乘法”等关键词描述计数过程。  3.迁移猜想能力：能否从A₄²、A₅³等特例中，发现乘数规律，并对一般公式进行合理猜想。  形成知识、思维、方法清单：  ★乘法原理：完成一件事需要分几个步骤，每一步有若干方法，则总方法数为各步方法数之积。核心：步骤相互关联，缺一不可。  ★排列的定义与公式：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做一个排列。排列数Aₘⁿ=n(n1)(n2)…(nm+1)。记忆口诀：“从n开始往下乘，一共乘m个因数。”  ▲有序思考策略：解决复杂计数问题，先设计一个合理的、固定的顺序（如位置顺序、时间顺序）进行分步，是确保不重不漏的关键。可以对学生说：“心里定好一个‘标准流程’，就像流水线一样，计数就清晰了。”任务二：探究“无序”选择——组合模型的建立及与排列的对比  教师活动：回到导入的第二个问题“选2名代表”。提问：“现在选出甲和乙，与选出乙和甲，是相同的选法吗？”（是）。“那么，如果我们也像刚才那样用乘法原理4×3=12，这里面包含了什么重复？”引导学生发现，对于任意选出的2个人（如甲和乙），在排列中对应了甲乙和乙甲两种顺序，因此12这个数把同一个组合计算了2次。教师总结：“所以，不考虑顺序的选择，我们称之为组合。”那么，从4人中选2人的组合数C₄²应该如何计算？推导：C₄²=A₄²/A₂²=(4×3)/(2×1)=6。这里要讲清分母A₂²的意义：消除选出的2个人内部的所有排列顺序。通过课件将12种排列动画归类为6个组合，强化直观理解。紧接着，组织核心对比活动：板书并列呈现“选团长”（排列）和“选代表”（组合）的全过程，引导学生小组讨论：“排列和组合最根本的区别是什么？”预计学生能说出“一个讲顺序，一个不讲”。教师升华：“对！判断用排列还是组合，就问自己一句：交换所选元素的位置，会不会产生新的情况？会，就是排列；不会，就是组合。这是我们的‘试金石’。”  学生活动：通过具体实例（如甲、乙、丙三人中选两人）动手排列，感受“重复”是如何产生的。参与组合数公式的推导过程，理解除法“去序”的原理。开展小组讨论，用“交换法”判断教师给出的新实例（如“比赛冠亚军”vs“握手”）属于哪类模型，并派代表分享判断理由。  即时评价标准：  1.概念辨析深度：在讨论中，能否准确指出乘法原理直接应用于组合时产生的“重复计数”问题。  2.模型识别应用：面对新情境，能否自觉运用“交换位置试金石”快速、准确地判断属于排列还是组合问题。  3.合作交流质量：小组成员间能否围绕核心问题有效对话，互相解释和说服。  形成知识、思维、方法清单：  ★组合的定义与公式：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做一个组合。组合数Cₘⁿ=Aₘⁿ/Aₘᵐ=[n(n1)…(nm+1)]/[m(m1)…×2×1]。亦写作$\binom{n}{m}$。  ★排列与组合的本质区别（核心）：是否与元素的顺序有关。这是选择计数模型的根本依据。课上要反复强调：“大家拿到题，先别急算，花5秒钟问自己这个关键问题。”  ▲“先选再排”与“去序”思想：组合数可以理解为“先按排列选出所有可能，再除去其内部顺序产生的重复”。这是一种重要的化归思想。任务三：原理综合——分类加法原理的融入  教师活动：呈现复杂情境：“从2名男生和3名女生中，选出2人参加活动，要求至少有1名男生。有多少种选法？”引导分析：“‘至少1名男生’包含了几类情况？”学生通常会说出“1男1女”和“2男”两类。肯定其思路：“很好，当完成一件事的途径可以分类时，每一类都能独立完成任务，总方法数就是各类方法数相加。这就是加法原理。”然后，引导学生分别计算每一类的方法数：“‘1男1女’怎么选？分步：选1男（2种），选1女（3种），用乘法原理，得到2×3=6种。‘2男’呢？从2男中选2人，是组合，C₂²=1种。”最后，将两类结果相加：6+1=7。强调：“解决复杂问题，常常需要‘分类’与‘分步’联袂出演。先宏观分类，再在每一类里微观分步。”  学生活动：倾听问题，尝试独立分析可能的情况分类。在教师引导下，合作完成每一类的计算。思考并比较其他解法（如“反面排除法”：总选法C₅²=10减去“无男生”即2女C₃²=3，得7），体会方法的多样性。  即时评价标准：  1.分类的完备性与互斥性：学生提出的分类是否涵盖了所有可能（完备），且各类之间没有重叠（互斥）。  2.原理综合运用能力：能否在清晰分类的基础上，正确地在每一类中运用乘法原理或组合数公式进行计算。  3.策略优化意识：是否有学生能提出或理解“排除法”等更优策略，并比较其优劣。  形成知识、思维、方法清单：  ★加法原理：完成一件事有若干类彼此独立的方案，每一类中又有若干方法，则总方法数为各类方法数之和。核心：类类独立，任选一类即可完成。  ★“分类分步”综合解题框架：面对条件复杂的计数问题，标准分析流程是：先判断是否需要分类（满足不同条件），再在每一类中判断是否需要分步完成，最后选择用排列或组合公式计算。可以教学生一个口诀：“先分类，再分步，排列组合看清楚。”  ▲正难则反的排除法：当直接计算“满足条件”的情况较复杂时，可以考虑计算“总情况数”减去“不满足条件”的情况数。这是一种重要的逆向思维。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，实施差异化巩固：  基础层（全员必做，巩固模型识别与直接应用）：  1.判断下列问题是排列还是组合，并写出计算式（不要求结果）：(1)5个人两两握手一次，共握手几次？(2)用1,2,3,4能组成多少个没有重复数字的两位数？  （教师巡视，关注基础薄弱学生是否掌握“交换法”判断，及时个别辅导。）  综合层（大多数学生挑战，训练原理综合运用）：  2.某年级有4个班，现要举行足球单循环赛（每两队赛一场），需安排多少场比赛？如果比赛分主客场（每两队赛两场），需安排多少场？  3.从5本不同的故事书和3本不同的科技书中，任取2本，要求至少1本是科技书，有多少种不同的取法？  （学生独立完成，后可进行小组互评。教师收集典型解法（包括正确和错误）准备讲评。）  挑战层（学有余力者选做，强调思维深度与灵活性）：  4.如图，从A点到B点，只能向右或向上走，有多少种不同的最短路径？（提供网格图）此题旨在将计数问题与几何路径相结合，培养学生转化建模能力。  反馈机制：完成后，通过投影展示部分学生的解题过程。针对基础题，请学生口述判断理由；针对综合题，分析不同解法（如直接法vs排除法），并集中讲解典型错误，如混淆单循环与双循环赛制。挑战题可作为思考题，请有思路的学生分享其“如何将走路径转化为数字排列或组合问题”，开阔全体学生视野。第四、课堂小结  结构化总结与元认知反思：  1.知识整合：“同学们，今天我们共同搭建了计数问题的知识大厦。谁能用一张简单的图或几句话，概括一下这节课的核心内容？”鼓励学生尝试画出以“计数原理”为中心的思维导图，包含加法原理、乘法原理、排列、组合及其关系。教师最后呈现结构化板书作为参照。  2.方法提炼：“回顾今天解决问题的过程，你认为最关键的思想方法是什么？”引导学生总结出：有序思考、分类讨论、模型识别（排列/组合）、正难则反等。  3.作业布置与延伸：  必做作业：完成学习任务单上的基础层和综合层题目，并整理本节课的笔记。  选做作业（探究性）：（1）研究组合数的两个性质：Cₘⁿ=Cₙ₋ₘⁿ和Cₘⁿ=Cₘⁿ⁻¹+Cₘ₋₁ⁿ⁻¹，尝试用实际例子或公式推导证明。（2）寻找生活中一个你认为有趣的计数问题，并尝试用今天所学知识解决它，下节课分享。  延伸思考：“如果从不是所有都不同的元素中选取（比如有重复的字母），又该如何计数呢？这留待我们以后继续探索。”六、作业设计基础性作业（巩固核心，全员必做）：1.直接写出下列各题的计算式并得出结果：(1)A₅³(2)C₆²(3)从7名候选人中选出正、副班长各1人，共有多少种选法？(4)学校开设6门选修课，要求每位同学选2门，共有多少种选课方案？2.判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)10支球队进行单循环赛，需要安排多少场比赛？(2)从10本不同的书中选3本送给3位朋友，每人1本，有多少种送法？拓展性作业（情境应用，建议大多数学生完成）：3.一个口袋里有大小相同的4个红球和5个白球。(1)从中任意取出3个球，取法有多少种？(2)从中任意取出3个球，要求至少有1个红球，取法有多少种？（请用两种方法解答）4.用数字0,1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数？探究性/创造性作业（开放创新，学有余力者选做）：5.小小设计师：为你所在的班级设计一个“值日生安排系统”。假设每周需要从包含你在内的8位同学中，选出1位“总负责”（负责统筹）、1位“卫生监督”（负责检查）、2位“值日员”（负责具体打扫）。请计算一周（按5天上学日算）每天安排不重复人选，总共可以排出多少种不同的值日生组合方案？你可以用文字、图表或算式来说明你的设计方案和计算结果。七、本节知识清单及拓展★乘法原理（分步计数原理）：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m₁种方法，做第2步有m₂种方法，……，做第n步有mₙ种方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×mₙ种方法。关键：步骤连续，缺一不可。★加法原理（分类计数原理）：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m₁种方法，在第2类方案中有m₂种方法，……，在第n类方案中有mₙ种方法，那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+mₙ种方法。关键：类类独立，任选一类即可。★排列：1.定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列。2.排列数公式：Aₘⁿ=n(n1)(n2)…(nm+1)。特别地，当m=n时，称为全排列，Aₙⁿ=n!=n×(n1)×…×2×1。3.核心判断：“交换元素位置，会产生新情况。”例如，排队、排号码、确定冠亚军等。★组合：4.定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组。5.组合数公式：Cₘⁿ=Aₘⁿ/Aₘᵐ=[n(n1)…(nm+1)]/[m(m1)…×2×1]。亦记作$\binom{n}{m}$。6.与排列的关系：Cₘⁿ=Aₘⁿ/m!。组合是“先选后排”后再“去序”的结果。7.核心判断：“交换元素位置，不会产生新情况。”例如，握手、选代表、抽样、小组组合等。▲排列与组合的区分“试金石”法：设想将选出的元素交换位置，若得到的结果与原结果不同（与顺序有关），则是排列；若相同（与顺序无关），则是组合。这是最根本的判别方法。▲解计数问题的一般思路：1.审清题意：明确要完成一件什么事。2.判断分类OR分步：分析完成这件事的过程，是需要分类（加法原理）还是分步（乘法原理），或先分类后分步。3.判断顺序：在每一步或每一类中，判断选取的元素是否与顺序有关，决定用排列数公式还是组合数公式。4.计算并作答。▲常见易错点警示：8.忽视特殊元素/位置：如数字组成问题中“0不能放在首位”。9.混淆“有序”与“无序”：典型如“比赛场次”：单循环是组合（Cₙ²），双循环是排列（Aₙ²）。10.重复或遗漏计数：尤其在分类讨论时，确保分类标准统一且不重不漏。★两个重要组合恒等式（拓展）：1.对称性：Cₘⁿ=Cₙ₋ₘⁿ。直观理解：从n个中选m个留下，等价于选nm个拿走。2.递推关系（帕斯卡法则）：Cₘⁿ=Cₘⁿ⁻¹+Cₘ₋₁ⁿ⁻¹。这是组合数多种算法和杨辉三角的理论基础。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的知识与能力目标基本达成。通过课堂观察和随堂练习反馈，约85%的学生能准确区分排列与组合，并能运用公式解决基础问题；约70%的学生能在教师引导下，综合运用原理解决含限制条件的问题。情感目标方面，小组合作氛围热烈，学生在争论“是否有序”时表现出积极的思维投入，“原来数学这么有逻辑！”的感叹体现了价值认同。思维与方法目标的达成呈梯队分布：优秀生已初步形成模型化归的自觉，中等生能在提示下应用框架，后进生则仍需在区分概念上加强巩固。  （二）各教学环节有效性评估导入环节的“选团长与选代表”对比情境，成功制造了认知冲突，迅速聚焦了本课核心矛盾。新授环节的三大任务逻辑链条清晰：“任务一”夯实物根基，“任务二”通过对比建立概念分野，“任务三”提升综合复杂度，符合“具体抽象综合”的认知规律。其中，“交换位置试金石”这一口诀化策略，学生接受度高，应用效果好。当堂巩固的分层设计满足了不同层次学生的需求，挑战题的路径问题激发了部分学生的浓厚兴趣。小结环节的学生自主归纳虽显稚嫩，但开启了他们结构化知识的意识。  （三）对不同层次学生的深度剖析课堂中，基础型学生（约占20%）在“任务二”的组合公式推导处出现困惑，他们对“除以A₂²去序”的理解停留在机械记忆层面。反思原因，是提供的直观演示（动画归并）时间可能过短，个体操作体验不足。后续应为此类学生设计更充分的实物操作活动，如用不同颜色卡片反复进行“选出排列合并”的过程。熟练型学生（约占60%）是课堂互动的主力，他们能迅速理解原理并完成常规应用，但在“