经典相似三角形练习题

经典相似三角形练习题相似三角形作为平面几何的核心内容之一，其判定与性质的应用贯穿于各类几何问题中。掌握相似三角形的解题技巧，不仅能有效提升逻辑推理能力，更能为复杂几何综合题的突破奠定坚实基础。本文精选数道经典练习题，通过实例剖析相似三角形在不同情境下的构造方法与转化策略，助力读者深化理解与灵活运用。一、基础模型回顾与判定定理梳理在进入习题解析前，我们先简要回顾相似三角形的核心判定定理，这是解决一切相似问题的出发点：1.两角对应相等：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似。2.两边对应成比例且夹角相等：若两个三角形两组对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。3.三边对应成比例：若两个三角形三组对应边成比例，则这两个三角形相似。其中，“两角对应相等”是最常用的判定方法，尤其在复杂图形中，通过寻找公共角、对顶角、同位角等隐含条件，往往能快速构建相似关系。二、经典例题解析与方法提炼例题1：利用“一线三垂直”模型构造相似题目：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=4，BC=6。点E在边BC上，且BE=2EC，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，求DF的长。思路分析：题目中存在直角梯形与垂直条件，可尝试通过“一线三垂直”模型构造相似三角形。首先，由AD∥BC及∠A=90°可推出∠B=90°，即梯形两腰均为直角边。点E将BC分为BE=4、EC=2（由BE=2EC及BC=6可得）。DF⊥AE形成直角，结合∠A=90°，可证△ADF与△EAB相似。解答过程：∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∠DAF+∠BAE=90°。∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∠DAF+∠ADF=90°，故∠ADF=∠BAE。在△ADF与△EAB中，∠ADF=∠BAE，∠DFA=∠B=90°，∴△ADF∽△EAB（两角对应相等）。∴AD/EA=DF/AB。在Rt△EAB中，AB=4，BE=4，由勾股定理得EA=√(AB²+BE²)=√(4²+4²)=4√2。代入比例式：4/(4√2)=DF/4，解得DF=4/√2=2√2。例题2：通过公共角与比例线段证明相似题目：如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=2DB，点E在AC上，连接DE。若AE/AC=1/3，求证：△ADE∽△ACB。思路分析：要证△ADE∽△ACB，已知∠A为公共角，只需证明夹公共角的两边对应成比例，即AD/AC=AE/AB。题目给出AD=2DB，可设DB=k，则AD=2k，AB=3k；AE/AC=1/3，可设AE=m，AC=3m。通过线段比例关系即可得证。解答过程：设DB=k，则AD=2k，∴AB=AD+DB=3k，故AD/AB=2k/3k=2/3。设AE=m，∵AE/AC=1/3，∴AC=3m，故AE/AC=1/3。（此处需注意：题目需证△ADE∽△ACB，对应顶点需明确。若直接用AD/AC与AE/AB，需验证比例是否相等。）AD=2k，AC=3m；AE=m，AB=3k。AD/AC=2k/(3m)，AE/AB=m/(3k)。若要使AD/AC=AE/AB，则2k/(3m)=m/(3k)→2k²=m²→m=√2k，题目未给出此条件，故原思路需调整。重新分析：正确对应关系应为△ADE∽△ACB，即∠A对应∠A，∠ADE对应∠C，∠AED对应∠B。∴应证AD/AC=AE/AB。AD=2k，AC=3m；AE=m，AB=3k。AD/AC=2k/(3m)，AE/AB=m/(3k)。若题目条件为AE/AC=2/3，则可证，但原题为AE/AC=1/3，故需重新检查图形对应关系。（修正）若结论为△ADE∽△ABC，则AD/AB=2/3，AE/AC=1/3，比例不相等，故题目结论应为△ADE∽△ACB的对应顶点需调整为A-D-E与A-C-B。此时AD/AC=2k/(3m)，AE/AB=m/(3k)，若题目条件中AE/AC=2/3，则AD/AB=2/3，AE/AC=2/3，可证相似。此处可能为题目条件输入误差，假设题目条件为AE/AC=2/3，则AD/AB=2/3，AE/AC=2/3，且∠A公共，故△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等）。（注：实际解题中需严格依据题目图形与条件，此处提醒读者注意相似三角形的对应顶点顺序，避免因对应错误导致比例关系混乱。）例题3：含辅助线的相似构造——中点与中位线综合题目：在△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，且AE=2ED，连接BE并延长交AC于点F。求证：AF=FC。思路分析：要证AF=FC，即F为AC中点，可通过构造平行线，利用相似三角形的比例关系转化线段比。过点D作DG∥BF交AC于G，利用D是BC中点及AE=2ED，可通过中位线定理与相似比推导AF与FC的关系。解答过程：过点D作DG∥BF交AC于G。∵D是BC中点，DG∥BF，∴G是FC中点（中位线定理的推论），即FG=GC。∵DG∥EF，∴△AEF∽△ADG（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。∵AE=2ED，∴AE/AD=2/3，故AF/AG=AE/AD=2/3，即AF=2/3AG。设AG=3x，则AF=2x，FG=AG-AF=x。∵FG=GC，∴GC=x，故AC=AG+GC=4x，FC=FG+GC=2x。∴AF=2x，FC=2x，即AF=FC。三、解题策略总结与易错点提醒1.图形识别优先：相似三角形问题的核心是从复杂图形中分离出“基本相似模型”，如“A型”（公共角模型）、“X型”（对顶角模型）、“K型”（一线三垂直）、“母子型”（共边共角）等，熟练掌握模型特征可快速找到解题突破口。2.比例线段转化：当直接证明相似条件不足时，可通过中间比（如公共线段、相等线段）进行转化。例如，若需证a/b=c/d，可先证a/b=e/f且c/d=e/f，从而得出a/b=c/d。3.辅助线添加技巧：遇中点、比例线段时，常作平行线构造相似三角形（如例题3）；遇直角三角形，可利用斜边上的高构造“射影定理”模型（即Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ACD∽△ABC∽△CBD）。4.对应关系易错点：书写相似三角形时必须明确对应顶点顺序，避免因对应错误导致比例式列错。例如，△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE的比例关系完全不同，需格外注意。四、拓展练习与思考练习1：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=4，BD=9，求CD的长。（提示：利用射影定理模型，即CD²=AD·BD）练习2：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，若AO=2，OC=3，AB=4，求CD的长。（提示：证△AOB∽△COD，利用平行线性质得对应角相