北京课改版第六单元 分数的初步认识能力题和奥数题

同学们，当我们迈入分数的世界，就如同打开了一扇新的数学大门。这扇门后不仅有基础的概念，更有许多充满挑战与趣味的思维训练。本单元“分数的初步认识”是后续学习更复杂分数知识的基石。仅仅掌握课本上的基础知识是远远不够的，我们还需要通过一些有针对性的能力题和奥数题来锤炼思维，深化理解。下面，我们就一同探索这些题目，感受分数的魅力。一、能力题：夯实基础，灵活运用能力题侧重于对分数基本概念的深化理解和灵活运用，它能帮助我们从不同角度看待分数，提升解决实际问题的能力。（一）几分之一的深化理解例1：小明把一张纸条对折三次后，沿着折痕剪开，每一段是这张纸条的几分之一？如果每段长2厘米，这张纸条原来长多少厘米？分析与解答：这道题考察的是“平均分”与“几分之一”的关系，以及简单的逆向思维。首先，对折一次，纸条被平均分成2份；对折两次，2份再对折，就是2×2=4份；对折三次，4份再对折，就是4×2=8份。所以，每一段是这张纸条的1/8。已知每段长2厘米，一共有8段，那么原来纸条的长度就是8个2厘米相加，即2×8=16厘米。思路拓展：对于这类对折问题，关键在于理解每次对折后份数都是前一次的2倍。可以动手操作一下，更直观。（二）几分之几的灵活运用例2：一个西瓜，爸爸吃了它的2/5，妈妈吃了它的1/5，剩下的小明吃了。（1）爸爸和妈妈一共吃了这个西瓜的几分之几？（2）小明吃了这个西瓜的几分之几？（3）如果这个西瓜平均切成了同样大小的块，小明吃了3块，那么这个西瓜一共被切成了多少块？分析与解答：这道题综合考察了同分母分数的加法、“1”减几分之几以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的初步逆向思维。（1）爸爸吃了2/5，妈妈吃了1/5，一共吃了2/5+1/5=3/5。（2）把整个西瓜看作“1”，也就是5/5，那么小明吃了5/5-3/5=2/5。（3）小明吃了2/5，对应的是3块。这意味着这个西瓜的2/5是3块。那么1/5就是3块的一半吗？不对，这里要理解，2/5是2个1/5。如果2个1/5是3块，这似乎有点矛盾，因为块数应该是整数。哦，仔细想想，这里的2/5是指占总块数的2/5，小明吃了3块，说明这3块就是总块数的2/5吗？不，刚才我们算出来小明吃了2/5。所以，总块数的2/5是3块？这在整数范围内似乎不成立。（同学们，这里是不是我哪里弄错了？）哦，不，应该是我把顺序搞反了。应该是，因为爸爸吃了2/5，妈妈吃了1/5，小明吃了2/5，这三个分数加起来是5/5，也就是1。所以，如果小明吃了2/5，对应3块，那么1/5就是3块的一半，这显然不符合实际。因此，问题可能出在“小明吃了3块”这个条件上，它应该对应小明吃的分数2/5。那么，总块数×2/5=3块。这说明总块数必须是3除以2/5，这对于初步认识分数的同学来说有点难。（调整思路）或许，我们可以这样想：既然大家吃的都是以“整个西瓜”为单位“1”，并且都是几分之几，那么这个西瓜被平均分成的块数一定是5的倍数。假设被平均分成了5份（块），那么小明吃2/5就是2块。如果是10份（块），小明吃2/5就是4块。题目说小明吃了3块，3块是2/5，那么总块数就是3÷2×5=7.5块，这不可能。所以，这道题的数字设置可能需要调整一下，比如小明吃了4块，那么总块数就是10块，这样就合理了。或者，小明吃了这个西瓜的3/5，那么3块对应3/5，总块数就是5块。（同学们在遇到这类问题时，要注意分数对应的实际数量是否合理，这也是对分数意义的一种检验。）思路拓展：解决分数应用题，关键是找准单位“1”，明确各部分量与总数量（单位“1”）之间的关系。（三）简单分数比较的技巧例3：比较下面分数的大小，并说说你是怎么想的。（1）1/3和1/4（2）3/5和3/7（3）2/3和3/4分析与解答：（1）1/3和1/4：分子相同，分母越大，分数越小。所以1/3>1/4。可以想象，同样一个东西，分的份数越多，每一份就越小。（2）3/5和3/7：同样是分子相同（都是3），分母5<7，所以3/5>3/7。（3）2/3和3/4：这两个分数分子分母都不相同。我们可以用“与1作比较”的方法。1-2/3=1/3，1-3/4=1/4。因为1/3>1/4，所以2/3<3/4（剩下的越多，说明原来的越少）。或者，我们可以找一个共同的标准，比如把它们都化成分母相同的分数（通分），但这对初步认识分数的同学来说可能有点难。用“与1比较”的方法更直观。思路拓展：分数比较大小，除了课本上学的分子相同看分母、分母相同看分子，还可以灵活运用“与1比较”、“找中间量”等方法。（四）同分母分数加减法的拓展例4：一杯果汁，第一次喝了它的2/5，第二次喝了它的1/5，第三次喝的比前两次的总和少1/5。第三次喝了这杯果汁的几分之几？三次一共喝了这杯果汁的几分之几？分析与解答：这道题考察同分母分数的加减混合运算。首先，前两次一共喝了：2/5+1/5=3/5。第三次喝的比前两次的总和少1/5，所以第三次喝了：3/5-1/5=2/5。三次一共喝了：3/5（前两次）+2/5（第三次）=5/5=1。也就是喝完了一杯。思路拓展：解决这类问题，要仔细审题，明确数量关系，一步一步进行计算。二、奥数题：挑战思维，激发潜能奥数题往往不拘泥于常规解法，更能激发我们的探索欲望和创新思维。它们就像数学游戏，需要我们多动脑筋，寻找巧妙的突破口。（一）分数的简单拆分例1：你能把1/2拆成两个不同的几分之一相加的形式吗？1/2=1/（）+1/（）。你能找到几种不同的填法？分析与解答：这是一道经典的分数拆分问题。我们可以这样思考：假设1/2=1/a+1/b，其中a和b是不同的正整数，且a<b。那么1/b=1/2-1/a=(a-2)/(2a)，所以b=2a/(a-2)。我们可以尝试给a取值，从3开始（因为a要大于2，否则分母a-2会为0或负数）：当a=3时，b=2×3/(3-2)=6/1=6。所以1/2=1/3+1/6。当a=4时，b=2×4/(4-2)=8/2=4。这时a和b都是4，相同了，不符合要求。当a=5时，b=2×5/(5-2)=10/3，不是整数，不行。当a=6时，b=2×6/(6-2)=12/4=3。这时a=6，b=3，与a=3，b=6重复，只是顺序不同。所以，符合条件的基本拆分是1/2=1/3+1/6。思路拓展：分数拆分是一种重要的数学技能，它没有固定的模式，需要我们大胆尝试，细心计算。（二）趣味分物与分数例2：一个生日蛋糕，小明想把它切成大小不一定相等，但都要是整块的若干块，然后分给若干个小朋友。如果每个小朋友分到的蛋糕都是整个蛋糕的1/4，那么小明最少要把蛋糕切成多少块？分析与解答：这道题初看有点绕，我们来慢慢想。每个小朋友分到整个蛋糕的1/4。如果是4个小朋友，每人1/4，那最简单的就是平均分成4块，每块1/4，4块就够了。但题目说“大小不一定相等”，而且问的是“最少切成多少块”。如果只有1个小朋友，那1块（整个蛋糕）就是1/4？显然不对，整个蛋糕是1，不是1/4。如果是2个小朋友，每人1/4，一共需要2/4=1/2的蛋糕。那剩下的1/2蛋糕怎么办？题目没说要全部分完？但通常分蛋糕是要全部分给小朋友的吧。所以2个小朋友，每人1/4，还剩下1/2，这1/2也要分给小朋友，但他们已经拿到1/4了，再给就超过了。所以这种情况不成立。如果是3个小朋友，每人1/4，一共需要3/4。剩下1/4，还可以再分给一个小朋友，那就变成4个小朋友了，回到第一种情况。那有没有可能用更少的块数分给更多的小朋友，或者同样的小朋友用更少的块数？比如，能不能一块蛋糕是2/4（即1/2），然后分给两个小朋友，每人1/4？可以啊！一块1/2的蛋糕，切成两块1/4的，不就和原来一样了吗？或者，我们能不能有一块是1/4，一块是3/4。3/4能分成三个1/4吗？3/4本身就是三个1/4相加。但3/4是一整块，怎么分给三个小朋友每人1/4？除非把3/4那块再切开，那就又变成了1/4+1/4+1/4，加上原来的1/4，还是4块。所以，最少还是要切成4块。思路拓展：这类问题需要我们打破思维定势，多角度考虑，但也要基于分数的基本意义。有时候，最直接的方法可能就是最优解。（三）图形中的分数奥秘例3：下面是一个由相同小正方形组成的图形（此处可自行想象一个3x3的九宫格，但中心和右上角的小正方形被挖去，或者类似的不规则图形），请你用阴影表示出这个图形的1/3。（注：实际题目中会给出具体图形，此处我们假设一个常见模型：一个大长方形被平均分成了6个小正方形，其中2个小正方形被涂成了灰色，问灰色部分是几分之几是基础；而奥数题可能是一个更复杂的不规则图形，要求用阴影表示出它的1/3。）分析与解答：（假设我们面对的是一个复杂但可以通过计数小单元来确定整体“1”的图形）解决这类问题的关键是：1.确定这个图形的“整体”是由多少个相同的基本小单元（比如小正方形、小三角形）组成的。假设我们数出来一共有9个相同的小正方形。2.要表示出它的1/3，就是要涂出其中的9×1/3=3个小正方形。3.然后在图形中选择任意3个相连或不相连的小正方形涂上阴影即可（具体要看题目图形是否有位置要求，通常只要数量对即可）。（针对一个更具挑战性的图形，比如一个“L”形，由6个小正方形组成）如果图形是一个“L”形，由6个小正方形组成。要表示它的1/3，就是6×1/3=2个小正方形。我们只需要在“L”形中涂上任意2个小正方形就行。思路拓展：图形中的分数问题，核心在于“平均分”的思想，以及准确判断整体“1”包含的份数。对于不规则图形，通常可以通过分割成相同的小单元来辅助判断。（四）稍复杂的分数比较例4：比较3/4和4/5的大小，除了通分，你还有其他方法吗？分析与解答：除了通分（4和5的最小公倍数是20，3/4=15/20，4/5=16/20，所以3/4<4/5），我们还可以：方法一：与1作比较。1-3/4=1/4，1-4/5=1/5。因为1/4>1/5（分子相同，分母小的分数大），所以3/4离1更远，即3/4<4/5。方法二：交叉相乘法（对于正数比较a/b和c/d，若ad<bc，则a/b<c/d）。3×5=15，4×4=16。因为15<16，所以3/4<4/5。（这种方法在后续学习中会用到，初步认识阶段可以作为拓展了解）思路拓展：比较分数大小的方法多种多样，关键在于理解分数的本质，并根据具体情况选择合适的方法。三、总结与建议分数的初步认识虽然概念简单，但要真正理解并灵活运用，还需要我们进行大量的练习和深入的思考。能力题帮助我们巩固基础，查漏补缺；奥数题则像思维的体操，让我们的头脑