2025-2026学年北京市顺义区高三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京顺义高三（上）期末数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知，且，则（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，，，则（A）（B）（C）（D）（5）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（6）已知是等比数列，若，，则（A）（B）（C）（D）（7）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（A）（B）（C）（D）（8）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（A）（B）（C）（D）（10）如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，给出下列三个结论：=1\*GB3①在上的单调递减=2\*GB3②若，则的最小值为=3\*GB3③若，则的最大值为其中正确结论的个数为（A）个（B）个（C）个（D）个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，的系数为_____________.（12）已知点在抛物线上．则点到的准线的距离为________.（13）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.记函数，若，则的最小值为________;若的最大值为，则的一个取值为____________．（14）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图）,,分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________.（15）已知无穷数列前项和为，若存在，当时，，则称为“平衡数列”.给出下列四个结论：=1\*GB3①已知数列，则数列为“平衡数列”；=2\*GB3②若等比数列为“平衡数列”，则公比为；=3\*GB3③若数列和均为“平衡数列”，则为“平衡数列”；=4\*GB3④存在两个公差均不为的等差数列和，其中数列，，和均为“平衡数列”；其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，求的最大值.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中.（Ⅰ）若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：；（Ⅱ）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.（18）（本小题13分）某高中举办“京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力.为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷，调查认知度提升效果.体验时长（单位：分钟）分为三段，，.各段人数及认知度显著提升人数如下表：人数年级体验时长体验时长体验时长认知度显著提升高一年级55人30人15人70人高二年级40人45人15人50人高三年级25人30人45人30人假设三个年级人数相同，以频率估计概率.（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率；（Ⅱ）从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中高二年级学生的人数，求X的分布列和数学期望；（=3\*ROMANIII）假设学生的认知提升度只受体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为；判断，的大小关系.（结论无需证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，.（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值.（20）（本小题15分）已知函数，直线是曲线在点处的切线.（Ⅰ）当时，求直线的方程；（Ⅱ）求证：函数有唯一零点；（=3\*ROMANIII）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.（21）（本小题15分）已知数列，定义数列的伴随数列为，其中.记，，其中，表示集合中最大的数，表示集合中最小的数.（Ⅰ）已知数列，求和；（Ⅱ）若，，，求的最小值；（=3\*ROMANIII）若，，求的最大值.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）B（3）B（4）D（5）A（6）C（7）D（8）A（9）C（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13），（答案不唯一） （14）；（15）=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）…………5分（Ⅱ）因为当，，所以，所以的最大值为，此时.…………13分（17）（本小题14分）（Ⅰ）证明：连接,因为四边形是菱形，所以又因为平面，平面所以平面又因为平面平面平面所以…………6分（Ⅱ）（法一）取的中点为，连接因为是菱形，所以所以，又，所以因为平面，所以所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，所以,设平面的法向量为，则即所以可得所以，令，则，所以． 又,设平面的法向量为，则即所以令，则，．所以设平面与平面的夹角为，则.…………14分（法二）取的中点为，连接，则，又，所以因为平面，所以．所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，．所以,设平面的法向量为，则即所以所以，，令，所以． 又,设平面的法向量为，则即所以所以，令，．所以． 设平面与平面的夹角为，则.…………14分（法三）连接，则，设因为平面，过作的平行线则平面所以．所以两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，．所以,设平面的法向量为，则即所以所以，令，则，所以． 又,设平面的法向量为，则即所以令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则.…………14分（18）（本小题13分）（=1\*ROMANI）解：设从全校学生中随机抽取1人，该学生为高二年级学生且体验时长为事件，则中包含的基本事件总数,所有参与体验的学生总数为人，所以.…………3分（Ⅱ）“认知度显著提升”的学生中高二年级的学生人数占比为所以的所有可能取值为，，所以的数学期望.…………10分（=3\*ROMANIII）.不妨设当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且为，则可得=1\*GB3①，=2\*GB3②，由=1\*GB3①得，由=2\*GB3②得，所以=，即.…………13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为，离心率.…………5分（Ⅱ）设，，又，，所以，可得，即.下证三点共线.又，所以=1\*GB3①又直线方程为，由得.所以，所以=1\*GB3①式的分子所以，可知三点共线.又，得，所以可得解得代入椭圆的方程得.所以.…………15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为，又，可知，所以时，，所以，直线的方程为即.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令可得，列表可得单调递减极小值单调递增当，，此时函数无零点当时，单调递增，又，根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.…………10分（III）由（Ⅰ）可知直线的方程为，因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，所以，令，当时，有设，则.又，所以，由（=2\*ROMANII）知，可得或列表可得单增极大值单减单减极小值单增当时，，不满足，当时，即成立综上可知，.…………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）.…………4分（Ⅱ）因为当，，所以，并且，使得所以，则.此时，构造数列为满足等号成立.所以的最小值为2