2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.文）高考数学试卷（含答案）

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.文）高考数学试卷【含答案】2/22003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线关于x轴对称的直线方程为 （A） （B） （C） （D）（2）已知 （A） （B）－ （C） （D）－（3）抛物线的准线方程是，则a的值为 （A） （B）－ （C）8 （D）－8（4）等差数列{an}中，已知 （A）48 （B）49 （C）50 （D）51（5）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2=120°则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D）（6）设函数的取值范围是 （A）（－1，1） （B）（-1，+∞） （C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）（7）已知 （A） （B） （C） （D）（8）函数上的偶函数，则= （A）0 （B） （C） （D）（9）已知点的距离为1，则a= （A） （B）－ （C） （D）（10）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为 （A） （B） （C） （D）（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4与P0重合，则tgθ= （A） （B） （C） （D）1（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （A） （B）4 （C） （D）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（13）不等式的解集是.（14）的系数是.（15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”（16）一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分） 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点. （I）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （II）求点D1到面BDE的距离.（18）（本小题满分12分） 已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.（19）（本小题满分12分） 已知数列||满足 （I）求 （II）证明（20）（本小题满分12分） 已知函数. （I）函数数的最小正周期和最大值; （II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.（21）（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（22）（本小题满分14分） 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 （1）C（2）D（3）B（4）C（5）B（6）D（7）D（8）C（9）C（10）B（11）C（12）A二、填空题（13）（14）（15）（16）72三、解答题（17）（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有V由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S△DCD·EF.∵AA1=2·AB=1.故点D1到平面BDE的距离为.（18）解：设z= 由题设 即（舍去） 即|z|=（19）（I）解∵（II）证明：由已知= 所以（20）解（I） 所以函数的最小正周期为π，最大值为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知111故函数在区间上的图象是（21）解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是，其中t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即，解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭（22）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：，①直线GE的方程为：.