第03讲 勾股定理的逆定理及其应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）（原卷版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第03讲勾股定理的逆定理及其应用考点1：勾股定理逆定理的定义

考点2:勾股定理逆定理的应用重点：（1）掌握逆定理的内容，明确“先找最长边，再验证平方和”的核心判定流程，能准确判断三角形是否为直角三角形。（2）能将实际场景（如检测垂直）转化为数学问题，用逆定理解决实际问题难点：突破“定理是直角三角形的性质（由直角得边的关系），逆定理是直角三角形的判定（由边的关系得直角）”的逻辑混淆，理解二者的互逆关系引导学生理解“参数可能为最长边”的情况，掌握分类讨论的思想，避免漏解。（3）学会结合其他几何知识（如等腰三角形、四边形性质）构造边长关系，再利用逆定理判定直角，突破“找边长—判直角—求未知量”的综合解题逻辑。（4）理解并运用数形结合思想（边的数量关系与直角的几何关系）、分类讨论思想（含参数问题）、建模思想（实际问题转化为数学模型）知识点：勾股定理的逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【题型1判断三边能否构成直角三角形】【典例1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．2，3，5 D．7，3，4【变式1】下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，2，3 B．5，5，3 C．6，7，8 D．5，12，13【变式2】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（

）A．c2=bC．∠C=∠A−∠B D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【变式3】若△ABC的三个顶点A、B、C所对的边分别为a，b，c，则下列条件中能判断A．∠A：∠B：C．a=1，b=2，c=3 D．a=【题型2在网格中判断直角三角形】【典例2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均在网格线的交点上．(1)直接写出△ABC三边的长度．(2)判断△ABC的形状，并说明理由．【变式2】如图，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC(1)求△ABC的周长．(2)判断△ABC的形状，并求其面积．(3)求边AC上的高．【变式3】如图，在边长为1的正方形网格图中有一个△ABC．(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF（不写画法）．(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【题型3利用勾股定理的逆定理求解】【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=90°,AD=5,CD=52，求四边形ABCD【变式1】已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．【变式2】如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，(1)请说明AD⊥BC．(2)求△ABC的面积．【变式3】如图，一块硬纸板，测得AB=12,BC=3,CD=4,DA=13,∠BCD=90°．求这块硬纸板的面积．【题型4勾股定理逆定理的实际应用】【典例4】口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等，如图，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C在桃李园B的正东方向30m处，玫瑰园D与入口C相距120m，玫瑰园D与入口A相距130m．求这个口袋公园的面积．【变式1】如图，CD为某种帐篷支架的立柱，BC和AC分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，CD⊥AB于点D，且∠ACB≤90°．如果按AC=20m，BC=15m，【变式2】某公园是人们健身散步的好去处，从A点到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．经测量AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方50米处．(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)通过计算，请你求出点C到路线BD的最短距离．【变式3】为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD如图）进行绿化，经测量∠ABC=90°,AB=14米，BC=48米，CD=40米，AD=30米．(1)求证：∠ADC=90°．(2)求空地ABCD的面积．1．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，52．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B．C． D．3．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测量BC=60m，BA=80m，AC=100m．现需修建一条小路从学校BA．24m B．30m C．48m4．在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a2=b2−5．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中∠ABC的度数为．6．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．(1)直接写出下列线段的长度：AB=，AD=；(2)连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论．7．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知∠C=90°，AB=200m，AD=150m，BC=70m

8．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC、AB于点E、D．(