第04讲 菱形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）（原卷版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第04讲菱形的性质和判定考点1：菱形的概念和性质考点2：菱形的面积考点3：菱形的判定考点4：菱形的性质与判定综合重点：（1）菱形性质的应用（2）菱形的判定（3）菱形性质与判定的互逆应用难点：（1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。（2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用“对角线垂直”证菱形，未先证平行四边形。（3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题知识点1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。【题型1利用菱形的性质求角度】【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（

）A．26° B．52° C．128° D．154°【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠D=132°，则∠1的度数为（

）A．132° B．66° C．48° D．24°【变式2】如图，在菱形ABCD中，连接AC，过点B作BO⊥AC．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（

）A．36° B．54° C．56° D．64°【变式3】如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且DE=AB．连接AE，若∠ABC= 80°，则∠AED的度数为（A．40° B．50° C．70° D．80°【题型2根据菱形的性质求线段长】【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC=8，BD=6，则该菱形ABCD的周长是(

)

A．20 B．24 C．25 D．48【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则对角线BD的长是（

）A．3 B．6 C．33 D．【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，∠ABC=60°，则BD的长为（

）A．33 B．63 C．12 【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC=8，菱形ABCD的周长为20，则OH的长为（

）A．3 B．4 C．4.8 D．5知识点2：菱形的面积（等面积求高）菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【题型3根据菱形的性质求面积】【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志ABCD的对角线AC长为1.5m，BD为3m，则该标志的占地面积为（A．2.25m2 B．4.5m2 C．【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为（

）A．3 B．43 C．4 D．【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥BC于点E，若AC=8，BD=6，则DE等于（

）A．4.8 B．5 C．6 D．9.6【变式3】如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，且OA=1，则菱形ABCD的面积为（

A．5 B．25 C．2 知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【题型4添一条件使四边形是菱形】【典例4】如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（

）A．AB=CD B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD【变式1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【变式2】已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（

）

A．DA=DC B．AC=BD C．AB∥DC D．AC，BD互相平分【变式3】如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ED∥AB，AE=AF，添加一个条件，使四边形AEDF是菱形．【题型5菱形的判定】【典例5】如图，在▱ABCD中，连接AC，AB=AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E，求证：四边形ACDE是菱形．【变式1】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE=CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．【变式2】如图，在△ABC中，AB=BC，点O为AC的中点，连接BO并延长至点D，使得OB=OD，连接AD、CD．求证：四边形ABCD是菱形．【变式3】如图，平行四边形ABCD中已知E、F分别是BC、AD的中点，且AB⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．【题型6菱形的性质与判定综合】【典例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=6，BD=4，求OE的长．【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边上，AE=AD，过点D作DF∥AE，交(1)求证：四边形AEFD为菱形；(2)连接AF，DE交于点G，若AD=5,DG=5【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，DE与(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若DE=3, ∠CAE=30°，求【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AC⊥BC，且(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AD=10,△ACD的周长为36，求CB长．1．菱形ABCD的周长为24cm，那么菱形的边长是（

A．4cm B．5cm C．6cm2．下列关于菱形的说法正确的是（）A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．15 C．20 D．244．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠BOE=30°，BO=2，则AO的长为（

）A．2 B．23 C．4 D．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B的坐标为4,8，则点C的坐标为（）．A．4,3 B．4,5 C．3,4 D．4,46.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为43的四边形，当∠ABC=60°时，则纸条的宽度是（

A．2 B．4 C．23 D．7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是．8．如图，在▱ABCD中，AB=9cm，BC=4cm．将CB沿BA方向平移得到EF，则当BF=cm时，四边形9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD=30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE=2，则OE的长为．

10．如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得BD=6，AC=8，直线EF⊥AB交两对边于点E，F