（2025新教材）人教版八年级数学上册专题03等腰三角形的性质（解析版）

2025-2026学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题03等腰三角形的性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2024·海曙期末）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，

∴CD⊥AB，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.

故答案为：C.

【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.2．（2分）（2024·永定期末）下列命题是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C．有两个角是60°的三角形是等边三角形D．在ABC中，，则ABC为直角三角形【答案】C【完整解答】解：A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；B、三角形的内角和为180°，故此选项错误；C、有两个角是60°，则第三个角为，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；D、设，则，故，解得，所以，，此三角形不是直角三角形，故此选项错误.故答案为：C.【思路引导】A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，据此判断即可；

B、三角形的内角和为180°，据此判断即可；

C、三个角是60°的三角形时等边三角形，据此判断即可；

D、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.3．（2分）（2024·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（）A． B．或C．或 D．【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为，当70°角为底角时，它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.4．（2分）（2024·凉山期末）如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（）A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m【答案】C【完整解答】解：∵，，∴△PMN是等边三角形，∵，∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵，

∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG=，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG，∵的周长为12，，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，∴周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ=MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.5．（2分）（2024·遵义期末）已知的周长是16，且，又，D为垂足，若的周长是12，则AD的长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【完整解答】解：如图：

∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16，∴AB+BD=8，∴AB+BD+AD=8+AD=12，解得AD=4.故答案为：D.【思路引导】根据等腰三角形的性质可得BD=DC=BC，结合△ABC的周长为16可得AB+BD=8，然后根据△ABD的周长为12就可求出AD.6．（2分）（2024·如皋期末）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【完整解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.7．（2分）（2024·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠B′AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB′，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，∴∠ACB′＝∠EB′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠EB′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.8．（2分）（2024·江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5【答案】D【完整解答】解：如图，连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD∵D为BC的中点，AB=AC∴，AD⊥BC∴∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【思路引导】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.9．（2分）（2024·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（）A．90° B．92° C．95° D．98°【答案】B【完整解答】解：连接BO，CO，∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∵OA=OB，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠EOC=∠OCE=44°，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.10．（2分）（2024·广安期末）如图，在中，的平分线相交于点E，边的垂直平分线相交于点D.若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：∵∴∠EBC+∠ECB=180°-，∵BE，CE分别，∴∴∵边的垂直平分线相交于点D.∴AD=BD=CD，∴，∴，，∴，∴，故答案为：D.【思路引导】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得∴AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.二．填空题（共10小题，满分22分，每小题2分）11．（2分）（2024·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为.【答案】6【完整解答】解：如图，先标注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABE和△ACE中，

AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴S△ABE＝S△ACE，

在△BDF和△CDF中，

BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，

∴△BDF≌△CDF（SAS），

∴S△BDF＝S△CDF，

∴S△BEF＝S△CEF，

∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，

∴S阴影＝S△ABC＝6．故答案为：6.【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．12．（2分）（2024·句容期末）如图，，点P在的边上，以点P为圆心，为半径画弧，交于点A，连接，则.【答案】70【完整解答】解：由作图可知，PO=PA，∴∠PAO=∠O=35°，∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，据此计算.13．（2分）（2024·句容期末）如图，是一角度为的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件、、…，且…，在、足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角的范围为.【答案】0°＜α＜【完整解答】解：∵OE=EF，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜，故答案为：0°＜α＜.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.14．（2分）如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点．∠ADC=100°，那么∠CAB是．【答案】140°【完整解答】解：设∠CAB=x∵在△ABC中，∠B=∠ACB=（180°﹣x）∵CD是∠ACB的角平分线，AD是∠BAC的角平分线∴∠ACD=（180°﹣x），∠DAC=x∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°∴（180°﹣x）+x+100°=180°∴x=140°故答案是：140°．【思路引导】设∠CAB=x，根据已知可以分别表示出∠ACD和∠DAC，再根据三角形内角和定理即可求得∠CAB的度数．15．（2分）（2022八上·新昌期末）如图，一块木板把ABC遮去了一部分，过点A的木板边沿恰好把ABC分成两个等腰三角形，已知，且∠B是其中一个等腰三角形的底角，则ABC中最大内角的度数为.【答案】90°或140°或150°【完整解答】解：根据题意，分三种情况进行讨论：如图所示：①与为等腰三角形，，且为底角，∴，∴，∴，，∴，，在中，，，，∴最大内角为；②∵，，为等腰三角形，为顶角，∴，，在中，，，，∴最大内角为；③∵，，为等腰三角形，为顶角，在中，，，，∴最大内角为；综上可得：最大内角为或或.故答案为：或或.【思路引导】①△ABD和△ACD为等腰三角形，∠B=10°，且∠B为底角，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB=160°，根据邻补角的性质求出∠ADC的度数，利用内角和定理求出∠CAD的度数，根据∠BAC=∠BAD+∠CAD求出∠BAC的度数，进而可得最大内角；

②∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠C为顶角，易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30°，据此得最大内角；

③∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠ADC为顶角，求出∠B、∠C、∠BAC的度数，进而可得最大内角.16．（2分）（2024·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是．【答案】20【完整解答】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．故答案为：20．【思路引导】利用三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质求解即可。17．（2分）（2019八下·鼓楼期末）如图，正方形ABCD边长为a，O为正方形ABCD的对角线的交点，正方形A1B1C1O绕点O旋转，则两个正方形重叠部分的面积为．【答案】【完整解答】解：如图，∵O为正方形ABCD的对角线的交点，∴∠4＝∠5＝45°，∠AOB＝90°，OA＝OB，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠EOF＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在△AOE和△BOF中∠4=∠5OA=OB∴△AOE≌△BOF，∴S△AOE＝S△BOF，∴两个正方形重叠部分的面积＝S△OBE+S△OBF＝S△OBE+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝．故答案为．

【思路引导】如图，由正方形的性质和旋转的性质得出∠1＝∠3，证明出△AOE≌△BOF，得S△AOE＝S△BOF，从而得出两个正方形重叠部分的面积＝S正方形ABCD，即可求出两个正方形重叠部分的面积等于.18．（2分）（2024·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①符合题意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①．【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。19．（2分）（2024·南宁期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画个.【答案】6【完整解答】解：如图，根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形.故答案为：6.【思路引导】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解．20．（2分）（2024·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是.【答案】②③④【完整解答】解：OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，故①错误，，，，∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，∠ABC+∠ACO=90°，故②正确；过点I作，分别是的角平分线，是的角平分线∠BOI＝∠COI，故③④正确.故答案为：②③④.【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO=90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.三．解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）（2024·南京期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.（1）（2分）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）（3分）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝×(180°－∠EAC)＝×(180°－42°)＝69°.∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.【思路引导】（1）证明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，进而根据等式的性质得∠EAC＝∠BAD；（2）由等腰三角形的性质求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定义即可求解.22．（5分）（2024·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），又∵BD＝5，∴CE＝BD＝5，∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，∴，∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。23．（6分）（2024·同安期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，∴BM⊥AC，∴∠BMC＝90°，∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，∴PD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵△PCM的周长为m+2，∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM•CM＝m2+2•BM•CM＝（m+2）2，∴BM•CM＝2m+2，∴△BCM的面积＝BM•CM＝m+1．【思路引导】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM•CM＝2m+2，于是得到结论．24．（6分）（2024·松桃期末）如图①：中，，延长AC到E，过点E作交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作交AB的延长线于H，且.（1）（3分）求证：≌；（2）（3分）如图②，连接EG与FH相交于点D，若，求DH的长.【答案】（1）证明：∵，∴.∵，∴.又∵，，∴.在和中，∵，∴≌（AAS）.（2）解：∵≌，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴.【思路引导】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；

（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长.25．（6分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，【思路引导】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。26．（10分）如图：（1）（3分）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D.求证：；（2）（3分）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线AD上，、分别是、的外角.已知，且.求证：；（3）（4分）如图③，在中，，.点在边上，，点、在线段上，.若的面积为15，求与的面积之和.【答案】（1）证明：∵，即，又∵，，∴，，∴，在和中，∵，∴（2）证明：∵，∴，又∵，，，∴，在和中，∵，∴.（3）解：由（2）知，∵，∴，∵，∴，，.【思路引导】（1）先利用相同角的余角相等得到，再通过“角角边”证明即可；（2）根据题意易得，利用三角形的外角性质与等量代换可得，再通过“角角边”证明即可；（3）同理（2）可得，因为，所以，则.27．（10分）（2024·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）（3分）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）（4分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；（2）设∠BAD=x，∴∠CAD=90°﹣x，∵AE=AD，∴∠AED=45°+，∴∠CDE=；∠CDE=∠BAD（3）设∠BAD=x，∠C=y，∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°﹣2y，∵∠BAD=x，∴∠DAE=y+，∴.∠CDE=∠BAD【思路引