（2025新教材）人教版八年级数学上册第18章第04讲分式的加减（题型讲练习题巩固解析版）

第04讲分式的加减课程标准学习目标①分式的加减法法则②分式的混合运算掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。知识点01分式的加减法运算分式的加减法运算法则：①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。即。②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。即±＝。具体步骤：第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。第二步：加减：分母不变，分子相加减。第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。【即学即练1】1．（1）（2）（3）（4）（5）．【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；（3）通分，公分母为（x+2）（x﹣2）；（4）把a﹣b看成是一项，为，再通分；（5）前两项先通分，再依次计算即可．【解答】解：（1），＝，＝；（2），＝﹣﹣，＝，＝，＝，＝﹣；（3），＝++，＝，＝；（4），＝+，＝，＝；（5），＝++，＝++，＝+，＝+，＝，＝．【即学即练2】2．（1）（2）【分析】（1）根据分式的加法法则进行计算即可；（2）根据分式的减法法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝＝＝1；（2）＝＝＝＝1．知识点02分式的混合运算分式的混合运算：分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算乘方，在算乘除，最后算加减。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。【即学即练1】化简下列各式：（1）（2）（3）．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（3）原式第一项先计算乘方运算，约分得到结果，第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用同底数幂分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝÷＝•＝；（3）原式＝•﹣＝﹣＝＝．题型01分式的加减运算【典例1】计算．（1）（2）（3）（4）．【分析】（1）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（3）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；（4）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝1；（2）原式＝＝﹣1；（3）原式＝＝；（4）原式＝＝＝1．【变式1】化简：（1）（2）（3）（4）．【分析】（1）、（2）、（3）、（4）根据分式的加减法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝；（2）原式＝﹣＝＝x+1；（3）原式＝（a﹣1）﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1；（4）原式＝＝＝．【变式2】计算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案；（2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案；（3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝＝﹣．【变式3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用分式的基本性质将原式进行变形，然后根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；（2）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；（3）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算；（4）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝＝2x﹣2y；（2）原式＝＝＝＝＝；（3）原式＝＝＝﹣；（4）原式＝x（x+1）﹣+1＝＝＝﹣．题型02分式的混合运算【典例1】计算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝x+y；（2）原式＝＝＝x+2；（3）原式＝•﹣＝﹣＝＝＝﹣1．【变式1】计算：（1）；（2）．【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝x（y﹣x）••＝﹣x（x﹣y）••＝﹣y；（2）原式＝1﹣[]2•＝1﹣•＝1﹣1＝0．【变式2】计算：（1）（）﹣3÷•（）2（2）÷（+）（3）÷（a+2b+）+（4）（）2•﹣÷）【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；（4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣••＝﹣；（2）原式＝÷＝•＝2；（3）原式＝÷+＝•+＝+＝＝；（4）原式＝•﹣•＝﹣＝＝＝．【变式3】计算下列各题（1）•（2）﹣﹣（3）+﹣（4）（﹣x﹣2）+【分析】（1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解；（2）先通分再进行分式的加减运算即可求解；（3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解；（4）先将分式通分再进行加减计算即可求解．【解答】解：（1）原式＝＝．（2）原式＝＝＝．（3）原式＝＝＝＝．（4）原式＝＝＝．题型03求分式运算中的未知部分【典例1】如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（）A． B．a C． D．1【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案．【解答】解：由题意得，被盖住的部分是＝＝＝1．故选：D．【变式1】若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（）A．3a+6 B．3a﹣2 C．3a D．a﹣3【分析】利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解．【解答】解：由题意得：＝3，，∴？+3＝3（a+1），？＝3a+3﹣3＝3a．故选：C．【变式2】已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（）A．x B．y C．x+y D．x﹣y【分析】由﹣＝可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x．【解答】解：∵﹣＝，∴＝+，∴＝+，∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，∴Ax＝x2，∴A＝x；故选：A．【变式3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（）A． B． C． D．【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可．【解答】解：撕坏的一角中“■”为，故选：A．【变式4】若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（）A．4x B．4﹣x C．x+4 D．﹣2x【分析】先通分括号内，再运算除法，得，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答．【解答】解：＝＝＝∴A、不是整数，故该选项是错误的；B、不是整数，故该选项是错误的；C、不是整数，故该选项是错误的；D、是整数，故该选项是正确的；故选：D．题型04分式的化简求值【典例1】先化简，再求值：，其中x＝5，y＝3．【分析】先根据同分母分式加减运算法则计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，然后将x＝5，y＝3代入计算即可【解答】解：＝＝＝，当x＝5，y＝3时，原式＝．【变式1】已知（1）化简W；（2）请从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．2【分析】（1）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分即可；（2）根据分式有意义的条件，可以从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．【解答】解：（1）＝•＝•＝；（2）∵当a＝2，﹣2或0时，W无意义，∴a可以为3或4，当a＝3时，原式＝＝；当a＝4时，原式＝＝．【变式2】先化简，再求值：，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其中．【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．【解答】解：原式＝＝＝﹣a﹣1，由题意：a+1≠0、a+2≠0、a﹣2≠0，故a取1，当a＝1时，原式＝﹣a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2．【变式3】（1）先化简，再从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．（2）先化简，再求值：，其中a，b满足b﹣2a＝0．【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可；（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据b﹣2a＝0得到b＝2a，代入计算得到答案．【解答】解：（1）原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，由题意得：x≠0和3，当x＝2时，原式＝＝﹣2（答案不唯一）；（2）原式＝﹣÷＝﹣•＝﹣＝﹣＝，∵b﹣2a＝0，∴b＝2a，则原式＝＝﹣．题型05根据分式计算的结果为整式求值【典例1】已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（）A．x﹣3 B．x﹣2 C．x+3 D．x+2【分析】根据分式的乘除法法则计算，判断即可．【解答】解：A、÷＝•＝，不是整式，符合题意；B、÷＝•＝（x+2）（x+3），是整式，不符合题意；C、÷＝•＝（x+2）（x﹣2），是整式，不符合题意；D、÷＝•＝（x﹣2）（x+3），是整式，不符合题意；故选：A．【变式1】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（）A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1【分析】设□里的式子为am+b，然后代入进行计算，最后根据整式的定义结合选项，确定a和b的值即可．【解答】解：设□里的式子为am+b，∴＝，令为整式，则有，即b＝1﹣2a，令a＝1，则b＝﹣1，∴□里的式子为＝m﹣1，故选：A．【变式2】若化简•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（）A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4【分析】先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断．【解答】解：A、+•（x+1）＝＝，是分式，故此选项不符合题意；B、+•（x+2）＝+3＝＝，是分式，故此选项不符合题意；C、+•（x+3）＝＝＝4，4是整式，故此选项符合题意；D、+•（x+4）＝＝，是分式，故此选项不符合题意；故选：C．【变式3】若的运算结果为整式，则“⊗”中的式子不能为（）A．2ab B．3a2b﹣2ab2 C．﹣a3b2 D．a2﹣b2【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．【解答】解：A．，是整式，故本选项不符合题意；B．，是整式，故本选项不符合题意；C．，是整式，故本选项符合题意；D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意；故选：D．【变式4】若代数式的化简结果为2x+2，则整式M为（）A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1【分析】由题意得：M＝（2x+2）•﹣，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：M＝（2x+2）•﹣＝2（x+1）•﹣＝+＝＝＝x，故选：B．题型04利用分式的运算解决实际问题【典例1】小强的爸爸开汽车到距离xkm外的单位去上班，在正常情况下经过yh可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发zh，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？【分析】本题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答．【解答】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为km/h，如果晚出发zh并且按时到达单位的速度为km/h，根据题意，得．答：小强的爸爸每小时应该多走km，才能按时到达单位．【变式1】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度a≠速度b）【分析】设甲乙两人走的路程为x，表示出两人用的时间，比较即可做出判断．【解答】解：设甲乙两人走的路程为x，甲用的时间为（+），乙用的时间为＝，∵（+）﹣＝﹣＝＝＞0，∴+＞，则乙旅客先到达目的地．【变式2】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．【分析】根据题意在两种方案下，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P；把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量Q，比较P与Q大小即可得到结果．【解答】解：设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P＝；把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量Q＝•＝，∵（1+a）﹣（1+）2＝1+a﹣1﹣a﹣＝﹣，∴1+a＜（1+）2，∴P＞Q，则清洗两次残留的农药量比较少．【变式3】A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克．（1）哪种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？【分析】（1）分别列出两玉米田的面积，再比较大小即可；（2）先求出两玉米田单位面积的产量，再进行比较即可．【解答】解：（1）∵A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，∴A玉米田的面积＝a2﹣4；∵B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，∴B玉米试验田的面积＝（a﹣2）2，∵a2﹣4﹣（a﹣2）2＝a2﹣4﹣（a2+4﹣4a）＝a2﹣4﹣a2﹣4+4a＝4a﹣8，∵a＞2，∴4a﹣8＞0，∴A玉米田的面积大，∴B玉米田的单位面积产量高；（2）∵由题意得，B玉米田单位面积的产量＝，B玉米田单位面积的产量＝，∴＝．答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．1．下列计算正确的是（）A． B． C． D．a+•b＝a【分析】分别根据分式的运算法则判断即可．【解答】解：A、+＝，故A不符合题意；B、﹣＝＝，故B符合题意；C、a+＝，故C不符合题意；D、a+•b＝a+1，故D不符合题意；故选：B．2．以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m×＝2；②＝x﹣x2；③﹣＝0；④，其中解答正确的有（）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【分析】根据分式乘除法运算法则进行计算判断①和②，根据异分母分式加减法运算法则进行计算判断③和④．【解答】解：2÷m×＝2×，故①计算错误，是最简分式，不能进行约分，故②计算错误，，故③计算错误，，故④计算正确，正确的解答共1道，故选：A．3．嘉嘉在计算：时，将“÷”号看成了“+”号，运算结果为，则“△”应该是（）A．m﹣1 B．m C．m+1 D．【分析】根据题意可得，则只需要计算出的结果即可得到答案．【解答】解：由题意得，，∴，∴，∴，∴“△”应该是m，故选：B．4．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“□”代表的是（）A． B． C． D．【分析】用结果除以，再加上1即为“□”代表的式子．【解答】解：由题意，得：“□”代表的是；故选：C．5．甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（）化简：甲同学：原式＝；乙同学：＝；丙同学：＝；丁同学＝．A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【分析】写出正确解答过程，再观察各位同学的解答即可得到答案．【解答】解：＝÷＝•＝•＝﹣，观察可知，开始出现错误的同学是乙；故选：B．6．已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用x表示出x2+x的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：＝•＝＝，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+x+x﹣2＝0，∴x2+x＝2﹣x，∴原式＝＝﹣1．故选：A．7．根据分式的性质，可以将分式（m为整数）进行如下变形：，其中m为整数．结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0；结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个．（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】由分式的性质可知m﹣1≠0，m+1≠0，从而可得结论Ⅰ不对，由M的值为整数且m为整数，则m+1＝1，2，﹣1，﹣2，即可得出结论Ⅱ正确．【解答】解：，由化简过程可知，m﹣1≠0，m+1≠0，∴m≠±1，∴；由题意可知，若使M的值为整数且m为整数，则m+1＝1，2，﹣1，﹣2，∴m＝0，1，﹣2，﹣3，综上所述，m＝0，﹣2，﹣3．所以，Ⅰ不对Ⅱ对．故选：C．8．若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可．【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．9．若x为整数，则使分式的值为整数的x的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【分析】先化简分式，然后利用整数的整除性求到x的值即可求解．【解答】解：∵＝＝＝，要使分式值为整数，且x为整数，∴x＝±1，±3，又x≠3，∴x＝±1，﹣3，∴整数的x的个数有1，﹣1，﹣3，共3个，故选：B．10．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若，，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定的【分析】首先将M，N变形，即可得M﹣N＝（b﹣a），继而求得答案．【解答】解：∵＝a+b，＝a+b，∴M﹣N＝（﹣）a+（﹣）b＝a+b＝（b﹣a），∵a＜b，﹣1＜n＜m，∴m﹣n＞0，1+m＞0，1+n＞0，b﹣a＞0，∴M﹣N＞0，∴M＞N．故选：A．11．若|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，则代数式的值等于或．【分析】根据|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，分两种情况求解即可．【解答】解：由条件可知：a＝±3，b＝±6，∴当a＝3时，b＝6，＝3﹣6+＝﹣，当a＝﹣3时，b＝﹣6，＝﹣3﹣（﹣6）+＝．故答案为：或．12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为．【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，然后化简即可得到的值．【解答】解：由题意可得，am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，解得，故答案为：．13．定义两种运算：，，则mΔn÷（m*n）＝．【分析】先根据题意得出mΔn与m*n的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：∵：，，∴mΔn＝，m*n＝，∴mΔn÷（m*n）＝÷＝•＝．故答案为：．14．已知a+b+c＝0，abc＞0，则＝1．【分析】由于b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，则原式＝﹣（++），再根据有理数的性质判断a、b、c中有2个负数，一个正数，则利用绝对值的意义，在、、中有2个负数，一个正数，然后进行有理数的加减运算．【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣（++），∵a+b+c＝0，abc＞0，∴a、b、c中有2个负数，一个正数，∴原式＝﹣（﹣1﹣1+1）＝1．故答案为：1．15．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n＝，例如：4⊗2＝，若（x﹣1）⊗（x+2）＝，则A+2B＝5．【分析】根据定义运算表示出（x﹣1）⊗（x+2）的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入A+2B中，求出结果即可．【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2）＝＝，＝+＝＝＝，∵＝，∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5，解得A＝﹣1，B＝3，∴A+2B＝﹣1+2×3＝5，故答案为：5．16．化简（1）（2）【分析】（1）根据异分母分式的加减运算法则求解即可；（2）根据分式的混合运算法则求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝＝．17．先化简：，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为m的值代入求值．【分析】首先把分子和分母分解因式，然后转化成乘法计算，再约分即可化简；然后选取适当的数值代入求值即可．【解答】解：＝＝×＝＝．当m＝﹣1时，原式＝＝0．18．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分．（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值；（2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？【分析】（1）用代替中的■化简，根据a≠1，a≠﹣1，取限定的﹣1，0，1中的0作为a值，代入化简结果计