2025-2026学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=sinx，则Δx→0limf(A.12 B.32 C.−2.已知(1+x)7=a0A.35 B.70 C.210 D.4203.f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=lnxx2

B.f(x)=xex

C.4.小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡.若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为(

)A.1−C175C205 B.C5.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有(    )种．A.144 B.192 C.216 D.2886.已知函数f(x)=x2+1x2A.12 B.257 C.7.甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有(

)A.450 B.540 C.630 D.9008.已知函数f(x)=(x−1x)lnx，方程f(x)=a的两个不相等的根为x1，x2(x1A.[32ln2,83ln3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若P(A|B−)=P(A)，则事件A与B相互独立

B.两个变量X、Y的相关系数为r，若r越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱

C.线性回归分析可用决定系数R2判断模型拟合效果，R2越趋近于110.镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有7位男教师，6位女教师参加.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是男教师”，事件B表示“第二位出场的是男教师”，则(

)A.P(AB)=526 B.P(B|A)=12 C.11.已知f(x)=ax+bx−2，其中a，b∈(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)A.a=e,b=1e时，则对∀x>0，均有f′(x)>2x

B.2(1+12+13+14+……+1n+1n+1)>2ln(n+1)+1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X～N(1,4)，且P(X≤a)=P(X≥b)，则a+b=

．13.已知f(x)=x3−ax+2有三个零点，则a的范围是

14.一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有2个红球、3个白球和3个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为X，则E(X)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表：特优级品优级品合计一号机床22575300二号机床180120300合计405195600(1)能否有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异？

(2)现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用X表示这4件产品中的特优级品数量，求X的期望与方差．

附：χ2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.(本小题15分)

在二项式(x−12x)n的展开式中，所有项的系数之和为1512．

(1)求展开式中的常数项；

17.(本小题15分)

在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性.其中，碳含量x是影响合金钢屈服强度y的关键因素之一.为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度(MPa)，数据如下表所示：编号i123456789碳含量x0.100.150.200.250.300.350.400.450.50屈服强度y481512532573604635656687719(1)求合金钢屈服强度y(MPa)关于碳含量x(%)的回归方程y​=b​x+a​，并预测碳含量为12%(即x=0.12)时的合金钢屈服强度；

(2)为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益5lny、脆性损失4x2和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标P(x)=5lny−4x2−2x(0.1≤x≤0.6).为便于运算，屈服强度y用100[b100]x+100([a100]+1)近似计算(其中b​,a​为(1)问中计算所得数据，18.(本小题17分)

镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为12，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为23，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：

(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；

(2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率；

(3)19.(本小题17分)

已知对∀θ∈{θ∈R|θ≠kπ,k∈Z}，定义θ的余切值为cotθ=cosθsinθ，函数f(x)=cot(π2x)在(1,0)处的切线为直线l．

(1)求切线l的方程；

(2)证明：对∀x∈(1,2)，y=f(x)始终在切线l下方；

(3)证明：至少存在3个整数a，使得ln答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=sinx，所以f′(x)=cosx，

所以Δx→0limf(π3+Δx)−f(π3)2.【答案】B

【解析】解：(1+x)7的展开式的通项为Tk+1=C7kxk，

故a3=C73=7×6×53×2=35，3.【答案】A

【解析】解：f(x)=lnxx2，定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，函数lnx递增速度远小于函数x2，f(x)→0，

当x=1时，f(1)=0，符合图像特征，A正确；

易得函数的定义域为R，x>0时，f(x)>0，B错误；

f(x)=x2lnx的定义域为{x|x>0}，当x→+∞时，f(x)→+∞，C错误；

f(x)=xln1x=−xlnx的定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，f(x)→−∞，4.【答案】A

【解析】解：一共20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡，一次性抽取5张，

抽到的卡中没有稀有卡的概率p=C175C205，

可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为1−p=1−C1755.【答案】A

【解析】解：根据题意，分3步进行分析：

①把甲乙看成一个元素，考虑甲乙之间的顺序，有A22种情况，

②此时相当于有5个元素，丙不坐在两端，则丙有C31种选法，

③剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可，共有A44种方法．

故不同的排列方式共有A22C6.【答案】C

【解析】解：由题f′(x)=xx2+1(x2−x+2)−x2+1(2x−1)(x2−x+2)2

=x(x2−x+2)−(x2+1)(2x−1)x2+1(x2−x+27.【答案】B

【解析】解：先将6人分成3组，即6=2+2+2或6=3+2+1或6=4+1+1，

共有C62C42C22A33+C63C32C11+C64C21C11A22=90种分组方法，

再把三组分配到3个不同项目，

8.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=(x−1x)lnx的定义域为(0,+∞)，

且满足f(1x)=(1x−x)ln1x=−(x−1x)(−lnx)=(x−1x)lnx=f(x)，

故x1是方程f(x)=a的根，

则1x1也是根，故x2=1x1，

设0<x1<1<x2，

由x2=1x1，得x1+x2=x1+1x1，

因为52≤x1+x2≤103，

即52≤x1+1x1≤103，

设g(t)=t+1t (0<t<1)，

由对勾函数的性质可知g(t)在(0,1)上单调递减，

解方程t+1t=52，得t=129.【答案】ACD

【解析】解：A：由P(A|B−)=P(AB−)P(B−)=P(A)，可得P(AB−)=P(A)P(B−)，

故事件A与事件B−相互独立，则事件A与事件B相互独立，故A选项正确；

B：两个变量X、Y的相关系数为r，若|r|越小，则X、Y之间的线性相关程度越弱，故B选项错误；

C：R2越趋近于1，说明模型对数据的解释能力越强，拟合效果越好，故C选项正确；

D：经验回归直线恒过样本中心点(x10.【答案】BCD

【解析】解：记事件A表示“第一位出场的是男教师”，事件B表示“第二位出场的是男教师”，

对于A选项，事件AB表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，

则P(AB)=713×612=726，故A选项错误；

对于B选项，P(B|A)表示第一位出场是男教师的情况下，

剩余6男6女，第二位出场是男教师的概率为612=12，

故P(B|A)=12，故B选项正确；

对于C选项，P(A)=713，P(B)有两种情况，

第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为713×612=726，

第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为613×11.【答案】AB

【解析】解：对于A选项，当a=e,b=1e时，f(x)=ex+e−x−2，

因此求导得f′(x)=ex−e−x，令g(x)=f′(x)−2x=ex−e−x−2x．

求导得g′(x)=ex+e−x−2，因为x>0，因此根据均值不等式可得ex+e−x>2，

因此g′(x)>0，因此g(x)在(0,+∞)上单调递增，因此g(x)>g(0)=0，

即f′(x)>2x，因此A选项正确；

对于B选项，由A知ex−e−x>2x(x>0)，令x=lnk+1k，得k+1k−kk+1>2lnk+1k，

化简左边k+1k−kk+1=(k+1)2−k2k(k+1)=2k+1k(k+1)=1k+1k+1，

对k=1，2，⋯，n求和得k=1n(k+1k−kk+1)=(1+12+12+13+13+14+⋯+1n+1n+1)

=2(1+12+13+14+⋯+112.【答案】2

【解析】解：因为随机变量X～N(1,4)，

所以正态分布曲线的对称轴是x=1，

因为P(X≤a)=P(X≥b)，所以a+b2=1，解得a+b=2．

故答案为：2．

由正态分布的对称性即可得解．13.【答案】(3,+∞)

【解析】解：因为函数f(x)=x3−ax+2有三个零点，

等价于关于x的方程ax=x3+2有三个实根，

显然x≠0，

所以方程a=x2+2x有三个实根．

设函数g(x)=x2+2x，

则g′(x)=2x−2x2

=2(x−1)(x2+x+1)x2

=2(x−1)[(x+12)2+34]x2．

当x<0和0<x<1时，g′(x)<0，

所以g(x)在(−∞,0)和(0,1)为单调递减函数；

当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1,+∞)为单调递增函数；

所以g(x)在x=1时取极小值3，

当x∈(−∞,0)时，g(x)∈R，14.【答案】477【解析】解：一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有2个红球、3个白球和3个黑球，

逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为X，

则X的可能取值为5，6，7，

P(X=5)=C52×2C82×C63=2028×20=128，

P(X=6)=C63+C515.【答案】有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异

期望为3，方差为0.75

【解析】解：(1)零假设H0为：两台机床的产品质量没差异，

根据列联表数据，计算卡方统计量：

χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

其中，a=225(一号机床特优级品)，b=75(一号机床优级品)，

c=180(二号机床特优级品)，d=120(二号机床优级品)，n=600(总样本量)，

∴ad−bc=225×120−75×180=13500，

χ2=600×135002300×300×405×195≈15.38，

99.9%的把握的临界值为k=10.828(对应P(χ2≥k)=0.001)，

∵χ2≈15.38>10.828，

∴有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异．

(2)一号机床生产特优级产品的频率为225300=0.7516.【答案】2116

392【解析】解：(1)二项式(x−12x)n的展开式中，所有项的系数之和为1512，

即(1−121)n=(1−12)n=(12)n=1512，

解得：n=9，

二项式(x−12x)9的展开式通项公式为

Tk+1=C9k(−1)k12kx9−3k2,k=0,1,…,9．

令指数9−3k2=0，解得k=6，

常数项系数为C96(−1)6126=C93⋅164=84⋅164=2116．

所以展开式中的常数项为2116．

(2)对于二项式

(x−12x)9，

展开式的系数为ak=C9k(−1)k12k，其绝对值为|ak|=C9k12k，

所有项的系数绝对值的和为：S=k=017.【答案】y=597x+420.9，碳含量为12%时的合金钢屈服强度为492.54(MPa)

最大综合性能指标值约为【解析】解：(1)由题意可得，x−=i=19xi9=2.79=0.3，y−=i=19yi9=54009=600，

由参考公式可得，b=i=19xiyi−9x−y−i=19xi2−9x−2

=1709.55−9×0.3×6000.96−9×0.32=1709.55−16200.96−0.81=89.550.15=597，

a=y−−bx−=600−597×0.3=600−179.1=420.9，

所以合金钢屈服强度y(MPa)关于碳含量x(%)的回归方程为y=597x+420.9，

当碳含量x=12%=0.12时，

合金钢屈服强度y=597×0.12+420.9=71.64+420.9=492.54(MPa)；

(2)为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益5lny、脆性损失4x2和冶炼成本2x，

为此工程师定义了一个综合性能指标P(x)=5lny−4x2−2x(0.1≤x≤0.6)，

由(1)可得，b=597，a=420.9，所以近似公式中的系数为：

[b100]=[597100]=[5.97]=6，[a18.【答案】12

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【解析】解：(1)根据题意，设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为A1，A2，A3，

第二天选择羽毛球的事件为B2，

易得P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B2|A1)=12,P(B2|A2)=23,P(B2|A3)=13，

则P(B2)=P(A1)⋅P(B2|A1)+P(A2)⋅P(B2|A2)+P(A3)⋅P(B2|A3)=13×12+13×23+13×13=119.【答案】y=−π2x+π2

证明：构造差函数p(x)=f(x)−(−π2x+π2)=f(x)+π2(x−1)，

求导得p′(x)=−π2cot2(π2x)<0在(1,2)上恒成立，函数在