2021-2022学年江西省各地人教版数学八年级上册第十三章轴对称期末试题（含解析）

参考答案：1．C【解析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．点关于y轴的对称点的坐标是故选：C．本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．2．B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．A．不是轴对称图形，不合题意；B．是轴对称图形，合题意；C．不是轴对称图形，不合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．B【解析】根据题意，画出图形，可得结论．解；如图，共有四种可能．故选：B．本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题．4．A【解析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC．解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，又∵AB＝AC＝7，BC＝5∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=AB+BC=7+5=12．故选：A．本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．5．D【解析】根据等腰三角形及三角形内角和得出∠ACB的度数，从而由平角知道∠ACD的度数，又因为CE为角平分线，从而得出∠DCE的度数．由题尺规作图得CE为∠ACD的角平分线∴在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°∴∵∴∴故选：D．本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图及性质，三角形内角和，熟练运用三角形内角和进行角度计算，以及判断出CE是角平分线是本题解题的关键．6．C【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出∠AED和∠ADC，再根据角之间的关系即可得到∠1与∠2之间的关系．解：如图∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠C+∠1，∠ADE+∠1=∠2+∠B，∴∠C+2∠1=∠2+∠B，∴2∠1=∠2．即∠1=故选：C．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用．7．B如图，在矩形ABCD中，10cm，15cm，是∠的平分线，则∠∠C.由AE∥BC得∠∠AEB，所以∠∠AEB，即，所以10cm，(cm)，故选B.8．A【解析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故选：A．此题考查了最短路径问题，成轴对称图形的性质．解题的关键是作出其中一点关于直线a的对称点，对称点与另一点的连线和直线a的交点就是所要找的点．9．B【解析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠BDC+∠BCD=60°，即可得出答案．解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，∴∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠AMC=120°．故选：B．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．C【解析】证明①可先证明△ACD≌△BCE，可判断①，再证明△CQB≌△CPA，可判断②，再证明∠PQC=∠DCE=60°，可判断③，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理证明∠AOB=∠ACB，可判断④，证明∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，PD≠CD，可判断⑤，作CM⊥AD，CN⊥BE，证明CM=CN，可判断⑥，由可判断⑦，从而可得答案.解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故②正确；又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴，③成立，∵△CQB≌△CPA，∴∠CBQ=∠CAP，∵∠APC=∠BPO，∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正确；∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故⑤DE=DP错误；作CM⊥AD，CN⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴CM=CN，∴OC平分∠AOE，故⑥正确，为等边三角形，故⑦正确，故正确的有①②③④⑥⑦共6个，故选：C．本题主要考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定与性质；角平分线的判定，熟练应用等边三角形的性质证明三角形全等是正确解答本题的关键．11．22【解析】根据是的垂直平分线，，可知cm、，再借助的周长为14cm，即cm，由即可计算的周长．解：∵是的垂直平分线，，∴cm，，∵的周长为14cm，即cm，∴的周长为：cm．故答案为：22．本题主要考查了垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键．12．10°．【解析】由∠ABC＝90°，得∠B+∠C=90°，由∠B＝50°，∠C＝40°，利用AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，可求∠AB′D＝∠B＝50°，利用外角∠AB′D＝∠C+∠CAB′即可．解：∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．13．-7【解析】根据轴对称的性质求出点Q的坐标，再求出a+b的值．解：（1）∵点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，∴a=-3，b=-4，Q（-2，-4），∴a+b=-3-4=-7．故答案为：-7．本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．14．25°或40°或10°【解析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°．本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．15．或50°或【解析】分三种情形分别求解即可.中，∵，，∴∠BAC=40º，如图，为等腰三角形有三种情形：①当时，∵，∠BAC=40º，∴=，∴=；②当时，，∴；③当时，∵，∠BAC=40º，∴，∴=；故答案为：或50°或本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．75°【解析】根据等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．∵△ABC为等边三角形，∴∠DAC=∠BAC=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED==75°．故答案为75°．17．或或【解析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.和是等边三角形，，，，，，，在和中，，≌（SAS），，，，，，当时，，，垂直平分，，，；当时，，，，，，，，，，当时，，，，．，，，，，故答案为：或或．本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.18．(1)见解析(2)见解析【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作圆弧，在线段AB两侧形成两个交点，连接这两个交点的直线即为线段AB的垂直平分线，标记出D、E两点即可；（2）连接AD，根据垂直平分线的性质得到BD=AD，然后推出△ADC是含30°角的直角三角形，即可证得结论．（1）解：如图所示：（2）证：如图所示，连接AD，∵，，∴∠B=∠C=30°，∵ED垂直平分线AB，∴BD=AD，∠B=∠DAE=30°，∴∠DAC=90°，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=30°，∴CD=2AD，∵BD=AD，∴CD=2BD．本题考查作垂直平分线，垂直平分线的性质，以及含30°角的直角三角形的性质等，掌握基本图形的画法与性质是解题关键．19．见解析【解析】根据角平分线的性质可得，易证，即△AEF为等腰三角形，根据三线合一可证结论．证明：∵是的角平分线，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是等腰三角形的顶角平分线，∴垂直平分（三线合一）本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质—“三线合一”的应用，熟练掌握性质是解题的关键．20．证明：（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA=90°，∴△ABC≌△BAD（HL）∴BC=AD．（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．∴△OAB是等腰三角形．本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．21．（1）见解析；（2）ΔPMN的周长的最小值为【解析】（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为；（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，利用等边三角形的判定和性质即可求解．（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，如图所示，点P即为所求；（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，如图：根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP=5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG为边长为5的等边三角形，，答：ΔPMN的周长的最小值为．本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质，将实际问题抽象或转化为数学模型，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．22．详见解析．【解析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图②，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．图①中，过点A和BC，EF的交点作直线l；图②中，过BC，EF延长线的交点和AC，DF延长线的交点作直线l.本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．23．（1）见解析；(2)A1(－1，－4)，B1(－2，－2)，C1(0，－1)．试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可．.试题解析：（1）如图所示；（2）由图可知，A1（-1，-4），B1（-2，-2），C1（0，-1）．24．（1）见解析；（2）105°．【解析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠DBE=∠DEB，可证得结论；（2）由∠A＝35°，∠C＝70°可求出∠ABC=75°，然后利用角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB即可求解.（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，，∵DE∥BC，，．本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．25．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）以P为圆心，PA为半径画弧交AB于D，然后作BD的垂直平分线；（2）利用PA=PD得到∠PDA=∠A，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠B=∠EDB，然后证明∠PDE=90°，从而得到结论．（1）解：如图，点D和EF为所作；（2）证明：∵PA＝PD，∴∠PDA＝∠A，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠EDB+∠PDA＝90°，∴∠PDE＝180°-90°=90°，∴DE⊥DP．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．26．（1）见解析；（2）BN﹣BM＝BC，理由见解析；（3）75°．【解析】（1）如图1，作DE//BC交AB于E，根据△ABC是等边三角形得出B＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，由DE//BC得出△ADE为等边三角形，进而可证△DCN≌△DEM（ASA），由全等的性质即可得出答案；（2）如图2，作DE//BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，得出EM＝CN，从而得出BM，BN与BC的数量关系；（3）如图3，作DE//BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由（1）知，EM＝CN，由D为AC的中点以及DH⊥AB得出BD＝2DH，由△ADE为等边三角形，DH⊥AB，得出AH＝EH，由AM+CN＝BD，可证△HDM为等腰直角三角形，故可求出答案．（1）如图1，作DE∥BC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠ADE＝∠ACB＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AE＝DE＝AD，∴DE＝DC，∵∠MDN＝∠EDC＝120°，∴∠EDM＝∠CDN，在△DCN和△DEM中，，∴△DCN≌△DEM（ASA），∴DN＝DM；（2）如图2，作DE∥BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，∴EM＝CN，∴BN﹣BM＝BC+CN﹣EM+BE＝BC+BE＝BC；（3）如图3，作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由（1）知，EM＝CN，∵D为AC的中点，∴∠ABD＝30°，∵DH⊥AB，∴BD＝2DH，∵△ADE为等边三角形，DH⊥AB，∴AH＝EH，∵AM+CN＝BD，∴AH+EH+EM+EM＝2DH，即EH+EM＝DH，∴MH＝DH，即△HDM为等腰直角三角形，∴∠AMD＝45°，∴∠ADM＝180°﹣∠A﹣∠AMD＝180°﹣60°﹣45°＝75°．本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等边三角形的性质，掌握做辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）见解析；（2）①②③；（3），证明见解析【解析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等