2026年高考数学线性规划解题技巧试卷

2026年高考数学线性规划解题技巧试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高考数学线性规划解题技巧试卷考核对象：高三学生题型分值分布-单选题（10题，每题2分）总分20分-填空题（10题，每题2分）总分20分-判断题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的哪个点上取得？A.可行域的顶点B.可行域的内部C.可行域的边界上任意一点D.可行域的对角线上2.已知约束条件为\(x+2y\leq8\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的形状是？A.线段B.三角形C.四边形D.无界区域3.若目标函数\(z=3x+5y\)在约束条件下取得最大值，且最优解为\((x,y)\)，则\(x\)和\(y\)一定满足？A.\(x=0\)或\(y=0\)B.\(x+2y=8\)C.\(3x+5y\)的等值线与约束条件直线平行D.以上均不正确4.在线性规划中，若约束条件\(x\leq4\)和\(y\leq3\)，则可行域的面积是？A.12B.6C.4D.无法确定5.若目标函数\(z=ax+by\)在可行域内取得最大值，且最优解在\((2,3)\)处，则\(a\)和\(b\)的大小关系是？A.\(a>b\)B.\(a<b\)C.\(a=b\)D.无法确定6.已知约束条件为\(2x+y\leq10\)，\(x+3y\leq15\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的顶点数量是？A.1B.2C.3D.47.若目标函数\(z=2x+3y\)在约束条件下取得最小值，且最优解为\((x,y)\)，则\(x\)和\(y\)一定满足？A.\(x=0\)或\(y=0\)B.\(2x+3y\)的等值线与约束条件直线平行C.\(x+3y=15\)D.以上均不正确8.在线性规划中，若约束条件为\(x+y\leq5\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是？A.5B.10C.12.5D.无法确定9.若目标函数\(z=4x+6y\)在可行域内取得最大值，且最优解在\((x,y)\)处，则\(x\)和\(y\)一定满足？A.\(4x+6y\)的等值线与约束条件直线平行B.\(x+y=5\)C.\(x=0\)或\(y=0\)D.以上均不正确10.在线性规划中，若约束条件为\(x\leq3\)，\(y\leq4\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是？A.12B.6C.4D.无法确定二、填空题（每题2分，共20分）1.若目标函数\(z=3x+2y\)在约束条件下取得最大值，且最优解为\((2,3)\)，则最大值为______。2.已知约束条件为\(x+y\leq6\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是______。3.若目标函数\(z=2x+3y\)在约束条件下取得最小值，且最优解为\((x,y)\)，则\(x\)和\(y\)一定满足______。4.在线性规划中，若约束条件为\(x\leq4\)，\(y\leq3\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是______。5.若目标函数\(z=4x+5y\)在可行域内取得最大值，且最优解在\((x,y)\)处，则\(x\)和\(y\)一定满足______。6.已知约束条件为\(2x+y\leq10\)，\(x+3y\leq15\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的顶点数量是______。7.在线性规划中，若约束条件为\(x+y\leq5\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是______。8.若目标函数\(z=3x+4y\)在可行域内取得最小值，且最优解为\((x,y)\)，则\(x\)和\(y\)一定满足______。9.已知约束条件为\(x\leq3\)，\(y\leq4\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是______。10.在线性规划中，若约束条件为\(x+2y\leq8\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的形状是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得。（√）2.若目标函数\(z=ax+by\)在可行域内取得最大值，则\(a\)和\(b\)一定大于0。（×）3.在线性规划中，若约束条件为\(x\leq4\)和\(y\leq3\)，则可行域的面积是12。（√）4.若目标函数\(z=3x+5y\)在约束条件下取得最大值，且最优解在\((x,y)\)处，则\(x\)和\(y\)一定满足\(3x+5y\)的等值线与约束条件直线平行。（√）5.在线性规划中，若约束条件为\(x+y\leq5\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是10。（√）6.若目标函数\(z=4x+6y\)在可行域内取得最大值，且最优解在\((x,y)\)处，则\(x\)和\(y\)一定满足\(x=0\)或\(y=0\)。（×）7.在线性规划中，若约束条件为\(x\leq3\)，\(y\leq4\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的面积是12。（√）8.若目标函数\(z=2x+3y\)在约束条件下取得最小值，且最优解为\((x,y)\)，则\(x\)和\(y\)一定满足\(2x+3y\)的等值线与约束条件直线平行。（√）9.在线性规划中，若约束条件为\(x+2y\leq8\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，则可行域的形状是三角形。（×）10.若目标函数\(z=3x+2y\)在约束条件下取得最大值，且最优解为\((2,3)\)，则最大值为18。（√）四、简答题（每题4分，共12分）1.简述线性规划问题的基本步骤。解答要点：-建立数学模型（目标函数和约束条件）；-绘制可行域；-找到可行域的顶点；-计算目标函数在顶点的值，确定最优解。2.在线性规划中，如何判断最优解是否在可行域的顶点上取得？解答要点：-通过图解法绘制可行域；-计算目标函数在可行域各顶点的值；-比较各顶点的目标函数值，最大值或最小值对应的顶点即为最优解。3.若线性规划问题的约束条件中包含不等式，如何将其转化为等式？解答要点：-引入松弛变量将不等式转化为等式；-松弛变量代表未被利用的资源，其值非负。五、应用题（每题9分，共18分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A的利润为3元，每件产品B的利润为5元。生产每件产品A需要消耗2单位原料，生产每件产品B需要消耗3单位原料。工厂现有原料共100单位，且每天至少生产产品A10件。如何安排生产计划，使每天的总利润最大？解答要点：-设生产产品A的数量为\(x\)，生产产品B的数量为\(y\)；-目标函数：\(z=3x+5y\)；-约束条件：-\(2x+3y\leq100\)；-\(x\geq10\)；-\(x\geq0\)，\(y\geq0\)；-绘制可行域，找到顶点；-计算目标函数在顶点的值，确定最优解。2.某公司需要采购两种原材料X和Y，每吨原材料X的价格为4万元，每吨原材料Y的价格为6万元。公司计划采购的原材料总量不超过20吨，且原材料X的采购量至少为5吨，原材料Y的采购量至少为3吨。如何安排采购计划，使总采购费用最小？解答要点：-设采购原材料X的数量为\(x\)吨，采购原材料Y的数量为\(y\)吨；-目标函数：\(z=4x+6y\)；-约束条件：-\(x+y\leq20\)；-\(x\geq5\)；-\(y\geq3\)；-绘制可行域，找到顶点；-计算目标函数在顶点的值，确定最优解。标准答案及解析一、单选题1.A解析：线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得。2.B解析：约束条件形成的可行域是一个三角形。3.B解析：最优解一定在约束条件的边界上取得。4.A解析：可行域是一个矩形，面积为\(4\times3=12\)。5.A解析：若最优解在\((2,3)\)处，则\(a\)和\(b\)的大小关系取决于目标函数的斜率。6.C解析：可行域的顶点数量为3个。7.B解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。8.B解析：可行域是一个三角形，面积为\(\frac{1}{2}\times5\times5=10\)。9.A解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。10.A解析：可行域是一个矩形，面积为\(3\times4=12\)。二、填空题1.18解析：\(z=3\times2+2\times3=18\)。2.10解析：可行域是一个三角形，面积为\(\frac{1}{2}\times6\times6=18\)。3.\(2x+3y\)的等值线与约束条件直线平行解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。4.12解析：可行域是一个矩形，面积为\(4\times3=12\)。5.\(4x+5y\)的等值线与约束条件直线平行解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。6.3解析：可行域的顶点数量为3个。7.10解析：可行域是一个三角形，面积为\(\frac{1}{2}\times5\times5=10\)。8.\(3x+4y\)的等值线与约束条件直线平行解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。9.12解析：可行域是一个矩形，面积为\(3\times4=12\)。10.四边形解析：约束条件形成的可行域是一个四边形。三、判断题1.√解析：线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得。2.×解析：目标函数的系数\(a\)和\(b\)可以小于0。3.√解析：可行域是一个矩形，面积为\(4\times3=12\)。4.√解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。5.√解析：可行域是一个三角形，面积为\(\frac{1}{2}\times5\times5=10\)。6.×解析：最优解不一定在\(x=0\)或\(y=0\)处取得。7.√解析：可行域是一个矩形，面积为\(4\times3=12\)。8.√解析：最优解一定在目标函数的等值线与约束条件直线平行时取得。9.×解析：可行域的形状是四边形。10.√解析：\(z=3\times2+2\times3=18\)。四、简答题1.解答要点：-建立数学模型（目标函数和约束条件）；