周期律动：数学建模与规律探索的初阶之旅-小学三年级数学思维拓展专题教学设计

周期律动：数学建模与规律探索的初阶之旅——小学三年级数学思维拓展专题教学设计一、教学内容分析

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本专题隶属于“数与代数”领域中“探索规律”与“解决问题”的核心内容，并深度关联“数学思考”与“问题解决”的素养目标。从知识技能图谱审视，“周期问题”是学生在初步掌握四则运算，特别是除法意义之后，首次系统接触的规律性数学模型。它向上承接有余数除法的实际应用，向下为未来学习函数、数列等更具一般性的规律研究奠定直观基础和思维范式。其认知要求从对周期现象的“识记”与“感知”，升级为对周期模型的“理解”与“建构”，最终落实到复杂情境中的“应用”与“创造”。就过程方法而言，本课是引导学生经历“从具体情境中抽象出数学模型（周期规律）→运用模型（除法计算）进行推理和预测→验证模型合理性”这一完整数学建模过程的绝佳载体，旨在培养学生“符号意识”、“模型意识”和“推理能力”。在素养价值渗透上，周期律广泛存在于自然、人文与科学之中（如昼夜交替、季节轮回、音符排列），本课教学不仅传授解题技巧，更着力引导学生用数学的眼光观察世界的秩序之美，体会数学作为描述现实世界规律的语言力量，从而激发探究兴趣，培养严谨、有序的科学思维品质。

基于对三年级学生认知特点的研判，学情呈现典型分层。已有基础方面，学生具备从简单排列（如ABAB）中发现重复规律的经验，能够熟练进行表内及简单有余数的除法运算。潜在障碍在于，将现实或图文问题抽象为纯粹的“周期序号”并进行数学处理，这一思维跨越存在难度；对“余数”含义的理解若停留于平均分物，将难以迁移至周期定位的语境中；面对非标准周期的起始点偏移、隐蔽周期等问题时，易产生思维定势。因此，教学需提供从实物操作（如摆棋子）、图形表征（画圈分组）到符号抽象（列式计算）的多元“脚手架”。过程评估将贯穿始终：通过导入环节的“猜一猜”游戏进行前测，摸清学生直觉水平；在新授中通过观察学生画图、列式的过程，诊断建模障碍；在巩固练习中通过分层任务的表现，动态评估不同层次学生的掌握程度。教学调适策略上，对基础薄弱学生，强化动手操作与直观演示，允许其用圈画等形象方法辅助思考；对能力中等学生，引导其对比不同方法，归纳通用步骤；对学有余力者，则挑战其解决变式与开放性问题，鼓励一题多解与模型解释，实现从“解题”到“讲理”的跃升。二、教学目标

知识目标：学生能准确识别生活与数学题目中的周期现象，理解“周期”、“周期长度”、“组内次序”等核心概念。他们能掌握解决标准周期问题的通用模型：确定周期→分组（用除法计算组数与余数）→根据余数定位。最终，能够清晰解释算式中每个数字的实际意义，特别是“余数”如何对应周期中的具体位置。

能力目标：学生能够独立运用“观察抽象建模计算验证”的流程解决周期问题。具体表现为：能从纷杂信息中提取有效周期规律；能选择画图、列举或列式等策略进行问题解决与验证；能在小组合作中清晰表达自己的思路，并对他人的解法进行评价和补充。

情感态度与价值观目标：通过感受自然界和生活中丰富多彩的周期现象，学生能体会数学与世界的紧密联系，增强学习数学的兴趣和好奇心。在探究与合作中，培养乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思维与有序推理能力。通过将具体问题抽象为“周期模型”，学生将初步体验数学建模的思想。通过“从头数还是从‘余数’数？”这类问题链的思考，锻炼逻辑的严密性和思维的条理性。

评价与元认知目标：引导学生建立解题后的反思习惯：我的方法是最优的吗？画图和计算之间有什么联系？鼓励学生使用自编的“检查口诀”（如“周期找准没？分组对了吗？余数看清没？”）来评估自己解题过程的合理性，初步形成自我监控的学习策略。三、教学重点与难点

教学重点：建立并应用解决周期问题的核心数学模型——“总数÷周期长度=组数……余数”，并根据余数确定目标对象的属性。其确立依据源于课标对“模型意识”和“应用意识”的强调，该模型是连接具体现象与数学运算的桥梁，是解决一切周期问题的通用钥匙，也是后续学习更复杂规律问题的基础。从能力立意看，理解和应用此模型的过程，综合考查了学生的信息提取、数学抽象和逻辑推理能力，是数学核心素养发展的关键节点。

教学难点：难点之一是从具体情境中准确抽象出周期规律，特别是确定“周期长度”。成因在于实际问题中周期序列的呈现方式多样（如文字叙述、图形排列、数字序列），且可能伴有干扰信息，需要学生克服惯性思维，进行精细观察与辨析。难点之二是理解“余数”在周期定位中的含义，尤其是“余数为0”的特殊情况。学生常有的认知误区是将“第几个”直接等同于“余数”，而忽略了“余数”对应的是“组内第几个”，当余数为0时则对应周期中的最后一个元素。这需要突破对除法“平均分”意义的单一理解，建立其在“循环定位”中的新图式。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：制作交互式课件，包含丰富的周期现象图片/视频（四季、星期、红绿灯）、动态演示分组过程的动画、分层练习题组。1.2学习材料：设计并打印《周期探秘学习单》（含探究任务、分层练习区）、不同颜色的圆形磁贴（用于黑板演示）。2.学生准备2.1学具：每人一套红、黄、蓝三色小圆片或方格纸、彩笔。2.2预习：观察生活中的重复规律现象，尝试用自己喜欢的方式记录一个（如：音乐节奏、装饰图案）。3.环境布置3.1座位：四人小组合作式就坐。3.2板书：预留主板书区域，规划为“现象区模型区应用区”三大板块。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与激趣：“孩子们，让我们先来看一组‘快闪’图片，猜猜后面藏着什么？”（快速播放四季更替、星期循环、街道旁彩旗排列的图片）。“大家发现了吗？这些现象都有一个共同的特点——像钟摆一样，按照一定的顺序不断地……”（等待学生回答“重复”“循环”）。“对，这就是‘周期’现象，它让我们的世界充满了秩序和节奏。”2.问题提出与聚焦：出示一道经典例题的简化情境：“为了迎接六一，教室门口挂上了一串彩灯，按‘红、黄、蓝’的顺序重复排列。老师想知道，第10盏彩灯是什么颜色呢？你能当一次‘小小预言家’吗？”让学生先凭直觉猜一猜，并简单说说理由。“看来大家的直觉不太一样，那有没有一种可靠的数学方法，能让我们准确预测任意位置上的颜色呢？”3.路径明晰与链旧：“今天，我们就化身‘规律侦探’，一起来解开周期现象的密码。我们将通过‘发现规律→建立模型→应用破译’三步曲，掌握这个神奇的预测方法。这需要用到我们一个老朋友——除法，不过今天它会穿上‘新衣服’，发挥新作用哦。”第二、新授环节任务一：感知现象，初识周期教师活动：呈现彩灯情境，不急于计算。提问：“要预测，我们首先得弄清什么？”引导学生关注排列顺序。板书：“红、黄、蓝”。接着问：“这串彩灯的排列有什么‘脾气’？谁能把它的‘脾气’（规律）说得更清楚、完整？”鼓励学生用“每几个为一组”、“每组顺序是”等语言描述。随后，教师用磁贴在黑板上动态贴出“红、黄、蓝、红、黄、蓝、红……”，并用手势圈出每一组。“看，这样一组一组地重复，每一组都一样。这样的一组，在数学上就叫一个‘周期’。它有几个成员？”（3个）“这个‘3’，就是‘周期长度’。”板书核心词：周期、周期长度。学生活动：观察情境，尝试用自己的语言描述排列规律。跟随教师的演示，用手指在空中模仿圈出周期，直观感受“一组一组”的重复结构。与同桌互相说一遍：“周期是‘红黄蓝’，长度是3。”即时评价标准：1.能否从连续序列中清晰剥离出一个完整的、不重复的周期单元。2.描述规律时语言是否准确、完整（如“每3个一组，按红、黄、蓝的顺序重复”）。3.在小组交流中，是否能认真倾听并复述同伴的发现。形成知识、思维、方法清单：★核心概念1：周期——事物按照相同的顺序和结构不断重复出现的现象。★核心概念2：周期长度——一个完整周期中所包含的个体数量。▲教学提示：初期必须强调从序列开头找准第一个完整周期，这是正确建模的前提。可以问：“如果第一个是黄色，周期还是‘红黄蓝’吗？”引发思考。任务二：操作探究，建立模型教师活动：“现在，请各位侦探拿出小圆片，摆出前10盏彩灯。摆好后，思考：怎样能一眼看出第10盏的颜色？”巡视指导，关注学生不同的策略（如一个个数；先分组再数）。请用不同方法的同学上台展示。重点引导：“如果把这10盏灯，按周期来分组，每3盏一组，可以分成几组？还剩几盏？”配合课件动画演示分组过程：10个彩灯图标，每3个被一个虚线圈起。列出算式：10÷3=3（组）……1（盏）。发起关键讨论：“这个‘1’（余数）代表什么？是第1组吗？还是……”让学生结合自己摆的圆片或图示理解，“它表示分完完整的3组后，剩下的第1盏。”“那么这剩下的第1盏，应该是新一组的开始，也就是周期里的第几个？”（第1个，红色）。板书完整模型：找准周期→分组计算（总数÷周期长度）→看余数（余几就是周期中的第几个）。学生活动：动手用三色圆片排列前10个“彩灯”。尝试用自己的方法（画圈、数数等）找出第10个的颜色。观看同学演示和课件动画，理解分组思想。重点思考并讨论“余数1”的含义，将算理与实物、图形对应起来。尝试用刚学的模型语言解释过程。即时评价标准：1.操作是否有序，能否正确表征周期序列。2.探究策略的多样性及向优化方法（分组计算）靠拢的意愿。3.对“余数”含义的解释是否能够结合具体操作，言之有物。形成知识、思维、方法清单：★核心模型：周期问题通用解法。步骤：一找（周期与长度）、二除（总数÷长度）、三看（余数）。★关键算理：余数的意义——余数表示按周期分组后剩下的、不足一个周期的部分，它直接指向目标在周期中的位置（余1是第1个，余2是第2个…）。▲易错警示：计算时务必明确“总数”指的是从第1个到目标位置的总个数。任务三：思维进阶，攻克“余0”教师活动：抛出变式问题：“如果想知道第12盏灯的颜色呢？请大家先用模型算一算。”待学生算出12÷3=4（组）……0（盏）后，制造认知冲突：“咦，余数是0？这代表什么意思？没有剩下，那第12盏是哪一盏？”让学生再次借助圆片或画图验证。引导学生观察：分完4组，正好分完，没有多余的。那么第12盏，其实就是第4组的最后一盏。“周期中的‘最后一个’，是第几个？”（第3个，蓝色）。总结规律：“当余数是0时，就对应周期中的最后一个元素。”可以幽默地说：“余数0是个‘小懒鬼’，它不想动，就指着最后一个说‘就是它啦！’”学生活动：独立列式计算12÷3。面对“余0”产生疑问，通过重新摆圆片或画图进行验证。观察完整分组的图示，理解“正好分完”意味着目标位于最后一组的末尾。归纳“余0”情况的处理规则。即时评价标准：1.遇到“余0”时，是机械困惑还是能主动联系操作或画图进行验证。2.能否清晰地解释“余数为0时，目标为什么是周期最后一个”。形成知识、思维、方法清单：★核心难点突破：“余数为0”的特例——当除法结果为整数，没有余数时，目标对象位于完整周期的最后一个。★思维方法：数形结合——当算式结果抽象难懂时，立即返回直观的图形或操作进行验证，这是解决数学困惑的金钥匙。任务四：模型应用，基础巩固教师活动：出示基础巩固题：“一串珠子按‘2黑1白’的顺序穿起来，第18颗珠子是什么颜色？”引导学生独立完成，并请一位学生上台扮演“小老师”讲解。教师关注点在于：学生是否先准确识别出周期是“黑、黑、白”（长度为3），而非“黑白”。提问：“这里的‘总数18’包括哪些珠子？”“你的余数是怎么得到的，它对应什么？”学生活动：独立审题，识别周期（注意是三个为一组），应用模型列式计算（18÷3=6组）。担任“小老师”的同学需清晰讲解每一步，特别是周期长度的确定。即时评价标准：1.能否处理像“2黑1白”这样以数量形式描述的周期，正确转化为序列。2.讲解时逻辑是否清晰，算理是否透彻。形成知识、思维、方法清单：★应用要点：周期描述的多样性——周期不仅可以用不同个体（如A,B,C）表示，也可以用相同个体的数量规律（如几个A几个B）来描述，关键在于确定一个最小重复单元的长度。▲教学提示：此题为后续解决“植树问题”等间隔排列中蕴含的周期规律做铺垫。任务五：综合变式，灵活迁移教师活动：呈现稍复杂的变式：“广场上有一排花盆，按照‘红、黄、紫、绿、黄’的顺序摆放，请问从左起第30盆是什么颜色？”此题周期长度为5，且内部有重复颜色（黄），增加干扰。让学生小组讨论。教师追问：“找到周期了吗？长度是5还是4？为什么？”、“计算后，余数是几？周期里的第几种颜色是什么？”引导学生认识到，即便周期内元素有重复，也不影响模型的运用，定位时只需按次序即可。学生活动：小组讨论，辨析周期。可能有的学生会因“黄”重复而困惑。通过讨论明确周期应以最小重复单元为准。共同完成计算（30÷5=6组），并根据余数定位。派代表汇报。即时评价标准：1.小组能否通过辨析，排除干扰，达成对正确周期认识的共识。2.在周期元素非唯一的情况下，能否依然稳定应用模型进行定位。形成知识、思维、方法清单：★思维辨析：周期的唯一性与确定性——周期必须是依次不断重复出现的最小单元。题目中可能设置干扰信息（如元素重复、起始点不完整），需要仔细甄别。★模型稳定性：只要确定了周期，无论其内部结构如何，模型（总数÷周期长度→看余数）均适用。第三、当堂巩固训练

本环节设计分层任务组，学生可依据自身情况选择完成，鼓励挑战。基础层（全员必达）：“字母序列ABCDABCDABCD…中，第25个字母是？第40个呢？”（直接应用模型，周期明显）。“大家先独立完成，然后和同桌交换检查，重点看对方找的周期长度对不对，余数处理对了没。”综合层（多数人力争）：“2023年6月1日是星期四，请问2023年的儿童节是星期几？请推算出6月15日是星期几。”（将周期模型应用于现实日历问题，需理解星期周期为7，并计算经过天数）。“这个问题和挂彩灯有什么一样？又有什么不一样？‘总数’在这里指的是什么？”（引导学生发现本质相同：经过的天数相当于“总数”，星期周期为7）。挑战层（学有余力）：“有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…。请问前50个数的总和是多少？”（此题需先定位，再求总和，涉及两步思维）。“这可有点挑战性！想想看，总和的秘密是不是也藏在周期里？一个周期有几个数？它们的和是多少？”

反馈机制：基础层采用同桌互评，教师巡视收集典型正确与错误案例。综合层与挑战层由教师抽选不同策略的学生上台讲解或板书思路。针对共性错误（如周期找错、余数意义混淆），进行集中点评与辨析，展示优秀解题规范。第四、课堂小结

“同学们，今天的‘规律侦探’之旅即将结束，谁来用一句话说说你的最大收获？”引导学生回顾核心模型。接着，教师引导进行结构化总结：“我们一起来‘编织’今天的知识网：中心是‘周期问题’，伸出的第一根线是‘什么是周期’，第二根是‘怎么解决（三步法）’，第三根是‘要注意什么（特例余0、找准周期）’。”可以邀请学生在黑板板书的框架上补充关键词。

“回家后，请大家完成我们的‘分级作业包’：基础性作业是《学习单》背面的3道标准周期应用题；拓展性作业是寻找家中或小区里的一个周期现象，用今天所学知识提出并解决一个小问题（如：地板花纹第20块是什么样？）；探究性作业（选做）是研究生肖（12年一周期）的规律，算算你自己或家人的生肖在下一个轮回是哪一年。下节课，我们将带着这些发现，继续探索规律王国里更有趣的‘等差数列’奥秘。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.一串气球按“红、绿、蓝、紫”的顺序排列，第28个气球是什么颜色？2.公园小路旁有若干棵树，栽种顺序是“松、柳、杨、柳”，依次重复。第37棵树是什么树？3.计算：有一列数：2,5,9,2,5,9,2,5,9……，第34个数是多少？（设计意图：巩固标准周期问题的解题步骤，确保全体学生掌握核心模型。）拓展性作业（建议完成）：

【生活中的周期】请你在生活中（如地砖、墙纸、音乐节拍、诗歌韵律等）发现一个周期现象。用文字、图画或照片记录下来，并提出一个类似于“第X个是什么？”的数学问题，并自己解答。将你的发现和问题制作成一张迷你数学小报。（设计意图：将数学与生活实际紧密联系，培养学生用数学眼光观察世界、用数学语言表达现实的能力，实现情境化应用。）探究性/创造性作业（选做）：

【挑战推理】有一排座位，座位号从左到右是1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,…循环。已知所有座位号是3的倍数的座位都坏了不能坐。请问：

(1)前100个座位中，有多少个是好的？

(2)第2023个座位是好的还是坏的？请说明你的推理过程。（设计意图：此题将周期问题与倍数特征相结合，需学生综合运用知识，进行多步推理与建模，并解释过程，极具挑战性和思维深度。）七、本节知识清单及拓展★1.周期现象：指事物按照相同的排列顺序，不断重复出现的现象。例如：四季轮回、星期更替、交通信号灯的变化。教学提示：判断是否是周期现象，关键看“重复的单元”是否完全相同且连续不断。★2.周期（周期单元）：一个完整周期现象中，最基本、不再重复的那个最小单元。例如：“红黄蓝”彩灯串中，“红、黄、蓝”这三个彩灯构成一个周期。易错点：要从序列开头完整截取第一个不重复的单元。★3.周期长度：一个周期中所包含的个体数量。上例中周期长度为3。它是后续除法计算中的除数。★4.周期问题核心解决模型（三步法）：①找：确定周期序列和周期长度（n）。②除：计算“总数÷周期长度”，即：所求位置的序号÷n=组数……余数。③看：根据余数确定答案。余数是几，就是周期里的第几个；没有余数（余0），就是周期里的最后一个。▲5.“总数”的界定：在“第几个”这类问题中，“总数”明确指从第1个到所求位置序号的总个数。在“经过几天后”这类问题中，需计算“从起始日到目标日共经过的天数”作为总数。★6.余数的核心意义：在周期模型中，余数代表按周期分组后，剩余的不够组成一个新周期的部分。它直接、唯一地对应着周期序列中的某一个特定位置。理解“余数”与“位置”的对应关系是掌握本讲的关键。★7.特殊情况：余数为0。当除法计算正好整除时（余数为0），意味着目标对象恰好位于完整周期的最后一个。记忆口诀：“余几是第几，余零最后找”。▲8.策略多元化：解决周期问题，除标准三步法外，对于较小序号，可采用画图法或列举法进行直观验证。画图法（圈出周期）尤其有助于理解算理，是初学者的重要“拐杖”。▲9.周期描述的变形：周期不一定总是“A,B,C”的个体交替，也可能是数量规律，如“2黑1白”。处理时需将数量描述转化为一个完整周期序列（黑,黑,白），再确定长度。▲10.模型的应用广度：周期模型不仅用于找颜色、数字，还广泛应用于日历算星期、生肖轮回、循环小数、音乐节奏、编程循环等众多领域，体现了数学模型的普适性。▲11.易错点警示：①周期找错：未从序列开头取最小重复单元，或被干扰信息迷惑。②除数用错：将周期内元素个数数错。③余数意义混淆：误将“余数”直接当作“第几组”，或忽视“余0”情况。检查口诀：“周期找准没？分组对了吗？余数看清没？”★12.核心素养指向：本讲重点培育模型意识（从现实抽象出周期模型并应用）、推理能力（基于模型进行逻辑推导）、应用意识（用数学方法解决实际问题）。通过探索规律，体会世界的有序性和数学的简洁美。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析：从当堂巩固训练与课后作业反馈的初步研判来看，知识目标与能力目标达成度较高。约85%的学生能独立运用三步模型解决标准周期问题，并能解释算式中各部分的含义，说明核心模型的建构是成功的。情感目标在导入与拓展作业环节有明显体现，学生对寻找生活中的周期表现出浓厚兴趣。科学思维目标中的模型建构过程清晰，但在“有序推理”的严谨性上，部分学生在表达时仍显跳跃，需长期培养。评价与元认知目标仅在少数优秀生身上有自觉体现，多数学生仍需教师引导进行解题后反思。

（二）教学环节有效性评估：1.导入环节：生活化情境与“预言家”角色迅速点燃了兴趣，“猜一猜”制造了认知冲突，有效驱动了学习。那句“除法要穿上新衣服了”的预告，成功唤起了学生的好奇。2.新授环节：“任务链”设计基本实现了螺旋上升。任务一（感知）与任务二（建模）衔接顺畅，动手操作环节至关重要，它为抽象模型提供了坚实的直观支撑。“在这里，我观察到有些孩子摆完10个后，是重新从头数到10，而不是自然地想到分组。这说明从‘点数’到‘分组’的思维跃迁需要一个强有力的推动，课件动态分组动画和关键提问‘怎样能一眼看出’起到了这个‘推手’作用。”任务三（余0特例）的冲突设计是亮点，学生从困惑到通过验证自己发现规律的过程，记忆深刻。任务四、五的变式应用，及时巩固并拓展了模型的适用边界。

（三）