复数的三角形式及其运算课件-高一下学期数学人教B版

*10.3复数的三角形式及其运算人教B版（2019）必修第四册学习目标CONTENTS1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念，体现数学抽象能力（重点）2.能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化，体现逻辑推理能力（难点）课程内容教学尝试与发现设复数z=1+3i在复平面内对应的点为Z，(1)写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量

；OyxZ向量如图所示.(2)记r为向量

的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z=1+

i的实部、虚部之间的关系.课程内容教学尝试与发现θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则根据任意角余弦、正弦的定义可知因此a=rcos

θ，b=rsinθ课程引入复数的三角形式一般地，如果非零复数z=a+bi在复平面内对应点Z(a,b)，且r为向量

的模，θ是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则z=a+bi=(rcosθ)+(rsin

θ)i=r(cosθ

+isinθ)上式是非零复数z=a+bi的三角形式，对应地，a+bi的称为复数的代数形式，θ称为z的辐角.课程内容教学辐角主值的概念任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.求非零复数的三角形式的方法：为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.课程内容教学举个例子：另一种方法：课程内容教学思考一下：任意复数都可以写成三角形式吗？因为0=0(cosθ

+isinθ)其中θ可以为任意值，我们把上式也称为复数0的三角形式.结论：任意复数都可以写成三角形式课程内容教学例1：把下列复数的代数形式改写成三角形式.(1)1-i;

由题意可知

(2)2i;因为2i在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知|2i|=2，arg(2i)=从而可知

2i=课程内容教学例1：把下列复数的代数形式改写成三角形式.(3)-1.因为-1在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知|-1|=1，arg(-1)=π从而可知-1=cosπ+sinπi.课程内容教学尝试与发现设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cos

θ2+isinθ2)，试求出z1z2.z1z2＝r1(cos

θ1+isin

θ1)×r2(cos

θ2+isin

θ2)＝r1r2[(cos

θ1cos

θ2-sin

θ1sin

θ2)+i(sin

θ1cos

θ2+cos

θ1sin

θ2)]＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]r1(cos

θ1+isin

θ1)×r2(cos

θ2+isin

θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]即课程内容教学两个复数相乘的几何意义：由两个复数z1，z2的三角形式可以得到z1z2的三角形式：z1的模乘以z2的模等于z1z2的模，z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角.设z1，z2对应的向量分别为

，将

绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把

绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把

的模变为原来的r2倍，得到向量

，

表示的复数就是积z1z2.课程内容教学思考一下：根据复数乘法的几何意义，计算：因为

，所以一个复数与i相乘，从向量角度，相当于把此复数对应向量绕原点沿逆时针方向旋转

，如图所示.课程内容教学有限个复数的三角形式相乘两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果n∈N，则[r(cosθ

+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]课程内容教学尝试与发现如果非零复数z的三角形式为：z=r(cosθ+isinθ)，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出

的三角形式，并写出

的值.若非零复数z=r(cosθ+isinθ)，则-θ是

的一个辐角，因此=r[cos(-θ)+isin(-θ)]，而且=r(cosθ+isinθ)×r[cos(-θ)+isin(-θ)]=r2[cos(θ-θ)+isin(θ-θ)]=r2课程内容教学尝试与发现如果非零复数z的三角形式为：z=r(cosθ+isinθ)，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出

的三角形式，并写出

的值.这样一来，如果z1=r(cosθ1+isinθ1)，z2=r(cosθ2+isinθ2)(z2≠z1)，则即课程内容教学两个复数除法的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为

，将

绕原点O旋转θ2(当θ2>0时，按顺时针方向旋转角θ2，当时θ2<0，按逆时针方向旋转角|θ2|)，再将

的模变为原来的

倍，如果所得向量为

则对应的复数为

.任意一个复数除以i，从向量角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转

，如图所示.课程内容教学例2：求

的值.因为所以得到的启示：利用复数的三角形式进行乘除运算，可以简化计算过程课程内容教学例3：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明α+β+γ=

yOxαβγ假设每个正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面.由平行线内错角相等知α，β，γ分别等于3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此α+β+γ应该(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角，又因为(3+i)(2+i)(1+i)=(5+5i)(1+i)=10i，而arg(10i)=，所以存在整数k，使得α

+β+γ=+2kπ；又由α，