第一章《三角形的证明》单元测试题-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章《三角形的证明》单元测试题—2025-2026学年北师大版八年级数学下册一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（）．A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C3．下列说法，错误的是（）A．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形C．三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2D．用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中至少有两个直角”4．如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中AB∥EF，CG⊥EF，若∠ACD=105°，∠B=69°，则∠A+∠BDC的度数是（）A．15° B．21° C．36° D．48°5．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1BA．64 B．32 C．16 D．67．如图，BD平分∠ABC，且∠BEC=∠BCE，D为BE延长线上的一点，BD=BA，过D作DG⊥AB，垂足为G．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=DG；④BA+BC=2BG．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④8．如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG=AE．分别延长CE,BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG,HD交EG于点M，则下列说法：①∠GDH=4A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．亮亮最近学习尺规作图，他在△ABC中练习作图，痕迹如下图所示，若∠B=40°，∠C=50°，请问∠DAE的度数为．10．如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM=ON，BM与AN交于点P．写出由上述条件得到的两个不同类的结论．11．点P到△ABC的三边AB，BC，CA的距离相等，则点P的位置在．12．在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=6，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F：再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=∠CAD，则13．如图，在ΔABC中，AB=AC，AD=BD，DE⊥AB于点E，若BC=4，△BDC的周长为10，则AE的长为三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．15．阅读材料，并完成相应任务．2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1中，∵S大正方形S大正方形=4×++，②在图2中，∵S大正方形S大正方形=4个直角三角形面积=4×+．∴=，整理得：2ab+a∴．任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；（2）如图3，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=75°，CD⊥AB，AC=4，求BC的长．16．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300m和400m，又AB=500m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？17．定义：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a2+ab=c2，则称△ABC为“类直角三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；（2）如图2，等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，其中AC=BC，AB>AC，请求出∠B的大小。18．问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．19．如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，点D在AB上，DE⊥AC于点E，连结CD，∠CDE=∠B.（1）特例探索：如图①，若∠A=60°，求∠ACD的度数；（2）类比迁移：如图②，若∠A=α，求∠ACD的度数(用含α的代数式表示)；（3）拓展提升：在图②中，猜想BD与AE的数量关系，并给出证明.20．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）点P、Q在运动过程中，设运动时间为ts(0<t<4)，当t（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：△ABC的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：C．【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形，故Ａ错误.

Ｂ、根据a2+b2＝52+122＝c2＝132可判断△ABC是直角三角形，故Ｂ错误.

Ｃ、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，则：

∠A+∠B+∠C＝3x+4x+5x=180°解得：x=15°，

∴∠A＝45°，∠B=60°，∠C＝75°，

∴△ABC不是直角三角形，故Ｃ正确.

D、∵∠A＝∠B+∠C，

∴∠A+∠B+∠C＝2∠A＝180°

∴∠A＝90°，

∴可判断△ABC是直角三角形，故Ｄ错误.故答案为：Ｃ.【分析】Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形.B、根据a＝5，b＝12，c＝13得a2+b2＝c2可判断△ABC是直角三角形.C、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，求出x可得∠A、∠B、∠C的度数即可判断△ABC不是直角三角形，D、∠A＝∠B+∠C结合三角形内角和定理得∠A＝90°，可判断△ABC是直角三角形，即可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确，∴A不符合题意；B、有两个角都是60°的三角形是等边三角形，说法正确，∴B不符合题意；C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2−bD、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的内角中至少有两个角是直角”，原说法错误，∴D符合题意．故答案为：D．

【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和反证法的证明方法逐项分析判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：延长DC交AB于K，∵∠AKC=∠B+∠BDC，∠ACD=∠A+∠AKC，∴∠ACD=∠A+∠B+∠BDC，∵∠ACD=105°，∠B=69°，∴∠A+∠BDC=105°−69°=36°，故选：C．

【分析】本题考查三角形外角性质在角度计算中的应用，解题关键是通过作辅助线构建可利用外角性质的图形。首先延长DC交AB于点K，根据三角形外角性质，在ΔBDK中，∠AKC=∠B+∠BDC；在ΔAKC中，∠ACD=∠A+∠AKC，由此可推导出∠ACD=∠A+∠B+∠BDC。将已知的∠ACD=105°和∠B=695．【答案】B【解析】【解答】解：过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM=PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP=∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO=∠NOP，∴∠COP=∠CPO，∴OC=PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC=5−2=3cm∴OC的长度是3cm故答案为：B．【分析】首先根据角平分线的判定可得出OP平分∠AOB，进而根据角平分线的定义和平行线的性质即可得出OC=CP=5-2=3(cm）。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△A∴∠B∴∠OA又∠MON=30°，∴∠OB∴∠MON=∠OB∴OA∴△A同理：△A2B2A故选：C．【分析】根据等边三角形性质可得∠B1A1A2=60°，根据补角可得∠O7．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠BEC=∠BCE，∴BC=BE，在△ABE和△DBC中，BC=BE∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△DBCSAS，①∴∠BCD=∠AEB，∵∠BEC=∠BCE、∠BEC=∠AED，∠BEA+∠AED=180°，∴∠BCE+∠BCD=180°，即②正确；∵∠ABD=∠EBC，AB=BD，BE=BC∴∠BAD=∠BDA=∠BEC=∠BCE=∠AED∴∠ADE=∠AED∴AE=AD∵DG⊥AB，AE和BD不垂直∴AE≠DG，即AD=AE=DG不成立，故③错误；如图：过D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，∴DG=DF，在Rt△AGD和Rt△CDF中，AD=CDDG=DF∴Rt△AGD≌Rt△CFDHL∴AG=CF，在Rt△BDG和Rt△BDF中，BD=BDDG=DF∴Rt△BDG≌Rt△BDFHL∴BG=BF，∴BA+BC=BG+AG+BF−CF=BG+AG+BG−AG=2BG，④正确．综上，正确的有①②④．故选：C．【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积的分割计算。解题时首先过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OD⊥BC于D，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得OE=OF=OD；然后将ΔABC的面积拆分为ΔABO、ΔBCO和ΔACO的面积之和，根据三角形面积公式，分别表示出三个小三角形的面积：SΔABO=12AB⋅OE，SΔBCO=12BC⋅OD，SΔACO8．【答案】B【解析】【解答】

解：②：已知AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，故CD⊥AB且CD=AD=BD。由EG=AE，EC公共边，得△AEC≌△GEC（SAS），故CA=CG，∠A=∠CGE=45°，从而DE=DG，②正确；①：由△EDC≌△GDB（SAS），得∠CED=∠BGD；结合HD平分∠CHG，通过外角性质∠CED=∠HDE+∠DHE；∠BGD=∠HDG+∠DHG可得∠HDG=∠HDE，进而∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；

③：△EDC为等腰直角三角形，故ED=2·MD，而EF=ED（由△EFC≌△EDC），因此EF=2·MD≠2MD，故③错误；

④：CG=CD+DG=AD+ED，而AD=BD=CD，故CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED（因AD=AE+ED），即CG=2DE+AE，故④正确；

综上可知，正确的是：①②④；

故答案为：B.【分析】首先，通过已知条件中的等腰直角三角形性质和全等三角形判定，证明△AEC≌△GEC，进而推出CG=AC及DE=DG，验证②的正确性；接着，通过全等三角形△EDC≌△GDB，结合角平分线性质，得出∠GDH=45°，验证①的正确性；然后，通过等腰直角三角形性质和全等三角形△EFC≌△EDC，发现EF=ED，从而判断③错误；最后，利用线段关系推导CG=2DE+AE，验证④的正确性；即可解答.9．【答案】25°【解析】【解答】解：由作图方法可得DF垂直平分AB，AE平分∠CAD，∴∠DAE=1∴∠DAB=∠B=40°；∵∠BAC=180°−∠B−∠C=90°，∴∠CAD=∠BAC−∠DAB=50°，∴∠DAE=1故答案为：25°．

【分析】根据作图方法可得，DF垂直平分AB，AE平分∠CAD，得到∠DAE=12∠CAD，AD=BD，即∠DAB=∠B=40°，根据三角形内角和定理可得，∠BAC=90°，得到∠CAD=∠BAC−∠DAB=50°10．【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．【解析】【解答】解：如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．∵AN⊥OB，BM⊥OA，∴在Rt△OPM与Rt△OPN中ON=OMOP=OP∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，在△APM与△PBN中∠PNB＝∠PMA＝90°PN＝PM∴△APM≌△PBN（ASA），∴BN=AM，∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，∴OA=OB．故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.11．【答案】∠ACB的平分线和∠ABC的平分线的交点上【解析】【解答】解：∵点P到AB，BC的距离相等，∴BP平分∠ABC，∵点P到AC，BC的距离相等，∴CP平分∠ACB，∴点P的位置在∠ACB的平分线和∠ABC的平分线的交点上．故答案为：∠ACB的平分线和∠ABC的平分线的交点上．

【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断求解即可.12．【答案】4【解析】【解答】

解：由题意得：AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠BAD

∵∠B=∠CAD

∴∠B=∠CAD=∠BAD

∴∠BAC=2∠B

∵∠C=90°

∴∠BAC+∠B=90°

2∠B+∠B=90°

∴∠B=30°

∴∠CAD=30°

∴AD=2CD

∵∠B=∠BAD

∴AD=BD

∴BD=2CD

∵BC=6

∴CD+BD=6

∴CD+2CD=6

∴CD=2

∴BD=4故答案为：4.【分析】

本题考查角平分线的定义，直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图和直角三角形的性质是解题关键.

根据角平分线的定义可知：∠CAD=∠BAD，结合∠B=∠CAD，等量代换得：∠BAD=∠D，即：∠BAC=2∠B，根据直角三角形两锐角互余可得：∠BAC+∠B=90°，代入数据可得：∠B=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的直角边=斜边的一半可得：AD=2CD，再根据等腰三角形的判定：等边对等角可得：AD=BD，即BD=2CD，再根据线段的和差运算可知：CD+BD=6，代入数据可解得：BD=4，由此可得出答案.​​​​​​​13．【答案】3【解析】【解答】解：∵BC=4，且△BDC的周长为10，∴BD+CD=10−4=6，∵AD=BD，∴AD+DC=6，∴AC=6，∵AB=AC，∴AB=6，∵AD=DB，DE⊥AB，∴AE=1故答案为：3．

【分析】先利用三角形的周长公式求出BD+CD=10−4=6，再利用垂直平分线的性质可得AB=AC=BD+CD=10−4=6，最后求出AE=114．【答案】解：如图点P即为所求．【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，到点M、N得距离相等的点一定在线段MN的垂直平分线上；根据角平分线的性质定理，到OA、OB距离相等的点一定在OA与OB夹角的角平分线上，故利用尺规作图法，作出线段MN的垂直平分线与∠AOB或∠AOB邻补角的角平分线，两线的交点就是仓库P修建的位置.15．【答案】（1）证明：①在图1中，∵S大正方形S大正方形=4个直角三角形的面积=4×1②在图2中，∵S大正方形S大正方形=4个直角三角形的面积=4×1∴4×整理得：2ab+∴a2故答案为：12ab，a2，b2，12ab，c2（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A=60°，∴∠ACD=30°，∵AC=4，∴AD=2，在Rt△ACD中，CD=A又∵∠ACB=75°，∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=45°，∴∠B=45°，∴BD=CD=23在Rt△BCD中，BC=B【解析】【分析】（1）①观察图1，可表示出大正方形的面积，再根据S大正方形=4个直角三角形的面积+两个正方形的面积，可得答案；②在图2中，S大正方形=4个直角三角形的面积+小正方形的面积=（a+b）16．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，

如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵AC=300m，BC=400m，AB=500m，

∴AC2+BC2=5002，AB2=5002

∴AC2+BC2=AB2（2）解：能，理由如下：

如图，以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F．

则CE=CF=260，

在Rt△CDE中，

ED=CE2−CD2=2602−2402=100，

∵CE=CF，CD⊥AB，

【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论；（2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F，首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论.（1）着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵AC=300m，BC=400m，AB=500m，∴AC2∴AC∴△ABC是直角三角形，∴12所以CD=AC⋅BC∵240<260，∴着火点C受洒水影响．（2）如图，以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB则CE=CF=260，∵CD⊥AB，∴ED=DF=1在Rt△CDEED=C∴EF=2ED=200，∴200÷10=20，∵20>13，∴着火点C能被扑灭．17．【答案】（1）解：等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a=b=c∴a2+ab=c2+c2=2c2≠c2，∴等边三角形不是“类直角三角形”.（2）解：∵等腰三角形△ABC是“类直角三角形”，AC=BC，AB>AC，∴a2+ab=∴a∴△ABC是直角三角形，且∠C=90又∵b=a，∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠B的度数为45【解析】【分析】（1）通过计算，根据“类直角三角形”的定义，即可判断得出结论；

（2）首先根据“类直角三角形”的定义，得出a2+ab=c2，进而得出a218．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；（4）2【解析】【解答】解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案为：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周长＝3AB，∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为2AB3AB＝2故答案为：23【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），则∠MDB＝∠NDC＝30°，即可求出答案.

（2）根据全等三角形性质可得BM＝CN，再根据边之间的关系即可求出答案.

（3）根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据全等三角形判定定理可得△DBM≌△DCE（SAS），则DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，根据补角可得∠MDB+∠NDC＝60°，再根据角之间的关系可得∠EDN＝∠MDN，再根据全等三角形判定定理可得△MDN≌△EDN（SAS），则MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC，即可求出答案.

（4）根据三角形周长可得△AMN的周长＝2AB，再根据等边三角形性质可得AB＝BC＝AC，则△ABC的周长＝3AB，即可求出答案.19．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE⊥AC交AC于点E，∴∠CED=90°，∵∠CDE=∠B=60°，∴∠ACD=90°-60