八年级下册数学期末复习题详解

八年级下册数学期末复习题详解时光飞逝，学期将尽，期末考试的脚步也日益临近。对于八年级下册的数学学习而言，这既是对整个学期知识掌握程度的一次综合检验，也是为后续学习打下坚实基础的关键环节。本次复习，我们将聚焦本学期核心知识模块，通过对典型例题的深入剖析，帮助同学们梳理思路、巩固方法、查漏补缺，力求在期末考试中取得理想成绩。请同学们跟随我们的节奏，一起回顾与提升。一、二次根式二次根式是本学期代数部分的开篇内容，其概念的准确理解和运算的熟练掌握，直接影响后续学习。核心知识梳理1.二次根式的定义：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。其中，a称为被开方数，且被开方数必须是非负数。2.二次根式的性质：*(√a)²=a(a≥0)*√(a²)=|a|={a(a≥0),-a(a<0)}*√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)*√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)3.二次根式的运算：*加减法：先将各二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。*乘除法：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)；√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)。典型例题解析例1：下列各式中，是二次根式的有（）①√(-3)②√(x²+1)③√(a-1)(a<1)④√0A.1个B.2个C.3个D.4个思路分析：二次根式的定义有两个关键点：一是形式上含有根号“√”，二是被开方数必须是非负数。*①√(-3)：被开方数为-3，是负数，故不是二次根式。*②√(x²+1)：因为x²≥0，所以x²+1≥1>0，被开方数恒为正，是二次根式。*③√(a-1)(a<1)：当a<1时，a-1<0，被开方数为负，故不是二次根式。*④√0：被开方数是0，符合定义，是二次根式。答案：B(②④是二次根式)例2：化简：√(12)-√(1/3)+√(27)思路分析：本题考查二次根式的加减运算。首先要将每个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。解答过程：√12=√(4×3)=√4×√3=2√3√(1/3)=√(3/9)=√3/√9=√3/3√27=√(9×3)=√9×√3=3√3所以，原式=2√3-√3/3+3√3=(2-1/3+3)√3（合并同类二次根式，将系数相加减）=(5-1/3)√3=(15/3-1/3)√3=14/3√3方法总结：二次根式加减的关键步骤是化简和合并，务必保证每个根式都化为最简形式，再找同类二次根式进行合并。二、一元二次方程一元二次方程是方程家族的重要成员，其解法及应用是本学期的重点和难点。核心知识梳理1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。2.一元二次方程的解法：*直接开平方法：适用于(x+m)²=n(n≥0)形式的方程。*配方法：通过配方将方程化为(x+m)²=n的形式，再用直接开平方法求解。*公式法：对于一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b²-4ac≥0时，方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。*因式分解法：将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，使每个因式为0，从而求解。3.根的判别式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，Δ=b²-4ac。*Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。*Δ=0时，方程有两个相等的实数根。*Δ<0时，方程没有实数根。4.一元二次方程的应用：列一元二次方程解决实际问题，步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是找出等量关系。常见类型有：增长率问题、面积问题、利润问题等。典型例题解析例3：用适当的方法解下列方程：(1)x²-4x-1=0(2)(x-3)²=2x(x-3)思路分析：(1)方程x²-4x-1=0不易直接因式分解，且二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法；也可直接使用公式法。(2)方程(x-3)²=2x(x-3)移项后可提取公因式(x-3)，适合用因式分解法。解答过程：(1)配方法：x²-4x=1x²-4x+4=1+4(两边同时加上一次项系数一半的平方，即(-4/2)²=4)(x-2)²=5x-2=±√5x₁=2+√5,x₂=2-√5(2)因式分解法：(x-3)²-2x(x-3)=0(x-3)[(x-3)-2x]=0(提取公因式(x-3))(x-3)(-x-3)=0x-3=0或-x-3=0解得x₁=3,x₂=-3方法总结：解一元二次方程时，应根据方程的特点选择最简便的方法。先考虑因式分解法，再考虑配方法或公式法。例4：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？思路分析：本题属于利润问题。设每件衬衫应降价x元，则每件盈利变为(40-x)元，每天可售出(20+2x)件。根据“总利润=单件利润×销售量”，可列出方程。解答过程：设每件衬衫应降价x元。根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200展开并整理，得800+80x-20x-2x²=1200-2x²+60x-400=0两边同时除以-2，得x²-30x+200=0因式分解，得(x-10)(x-20)=0解得x₁=10,x₂=20思考：题目中提到“尽快减少库存”，因此在盈利相同的情况下，应选择降价幅度更大的方案，以卖出更多衬衫。故x=20更符合题意。答：每件衬衫应降价20元。易错点提醒：在解应用题时，不仅要解方程，还要根据实际问题的意义对解进行检验和取舍。三、平行四边形平行四边形是平面几何的核心内容，包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质与判定，是期末考试的重点考查对象。核心知识梳理1.平行四边形的性质：*对边平行且相等。*对角相等，邻角互补。*对角线互相平分。*是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。2.平行四边形的判定：*两组对边分别平行的四边形是平行四边形。*两组对边分别相等的四边形是平行四边形。*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。*两组对角分别相等的四边形是平行四边形。*对角线互相平分的四边形是平行四边形。3.矩形的性质与判定：*性质：除平行四边形的所有性质外，还有四个角都是直角，对角线相等。*判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。4.菱形的性质与判定：*性质：除平行四边形的所有性质外，还有四条边都相等，对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。*判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。5.正方形的性质与判定：*性质：兼具矩形和菱形的所有性质。*判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。典型例题解析例5：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。求证：四边形DEBF是平行四边形。思路分析：要证四边形DEBF是平行四边形，已知ABCD是平行四边形，故AB//CD且AB=CD。由AE=CF，可推出BE=DF。此时有BE//DF且BE=DF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。解答过程：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。∵AE=CF，∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF。又∵BE//DF(由AB//CD可得)，∴四边形DEBF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。方法总结：证明一个四边形是平行四边形，要根据题目所给条件，灵活选择判定定理。优先考虑边或角的关系，再考虑对角线。例6：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm。求矩形对角线的长及BC的长。思路分析：矩形的对角线相等且互相平分，故OA=OB=OC=OD。已知∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，从而可求出OA=AB=4cm，进而得到对角线AC的长。在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长。解答过程：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD(矩形对角线相等且互相平分)。∴OA=OB。∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。∴OA=AB=4cm。∴AC=2OA=8cm。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，AC=8cm，根据勾股定理，BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√(64-16)=√48=4√3cm。答：矩形对角线的长为8cm，BC的长为4√3cm。方法总结：矩形问题中，常利用“对角线相等且互相平分”这一性质，结合等腰三角形或等边三角形的知识进行求解。出现60°或120°角时，要联想到等边三角形的可能性。四、一次函数一次函数是描述变量之间线性关系的重要模型，其图像与性质的应用广泛，也是数形结合思想的集中体现。核心知识梳理1.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx(k≠0)，叫做正比例函数。2.一次函数的图像：一次函数y=kx+b的图像是一条经过点(0,b)和(-b/k,0)的直线。b叫做直线与y轴的交点的纵坐标，简称截距。3.一次函数的性质：*k的符号决定直线的倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：b>0时，交y轴正半轴；b=0时，过原点；b<0时，交y轴负半轴。*两条直线平行：k₁=k₂且b₁≠b₂。*两条直线相交：k₁≠k₂。*两条直线垂直：k₁·k₂=-1(特定条件下)。4.用待定系数法求一次函数解析式：根据已知条件（通常是图像上两个点的坐标或两对x,y的对应值），列出关于k,b的方程组，解方程组求出k,b的值。5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系：*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。*一元一次不等式kx+b>0(或<0)的解集，就是一次函数y=kx+b的图像在x轴上方(或下方)时对应的x的取值范围。典型例题解析例7：已知一次函数的图像经过点A(2,-1)和点B(-1,5)，求此一次函数的解析式。思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)。因为函数图像经过A、B两点，所以这两点的坐标满足函数解析式，将其代入可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。解答过程：设此一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)。∵函数图像经过点A(2,-1)和点B(-1,5)，∴将A(2,-1)代入，得2k+b=-1①将B(-1,5)代入，得-k+b=5②①-②，得(2k+b)-(-k+b)=-1-52k+b+k-b=-63k=-6k=-2将k=-2代入②，得-(-2)+b=