2025年近似代数试题及答案

2025年近似代数试题及答案一、选择题（每小题4分，共24分）1.设G为交换群，H≤G（H是G的子群），则H一定是（）A.非交换群B.循环群C.交换群D.单群2.设R为环，φ:R→S为环同态，Kerφ为φ的核，则Kerφ是R的（）A.子环B.理想C.极大理想D.素理想3.设F是有限域，|F|=pⁿ（p为素数），则F的乘法群F的结构是（）A.循环群B.初等交换p-群C.对称群D.二面体群4.设G是8阶群，下列不可能是G的元素阶的是（）A.1,2,4,8B.1,2,2,2,2,2,2,2C.1,2,2,4,4,4,4,8D.1,2,4,4,4,4,4,45.设M是R-模，若M可分解为有限个不可分解子模的直和，则这种分解（）A.唯一B.不唯一C.在同构意义下唯一D.仅当R是除环时唯一6.设K/F是有限域扩张，[K:F]=n，α∈K在F上的极小多项式次数为d，则d（）A.整除nB.被n整除C.与n互素D.无必然联系二、填空题（每小题5分，共30分）1.对称群S₅的阶为__________。2.整数环Z中，由6和10提供的理想(6,10)可表示为__________（用最简主理想形式）。3.四元数群Q₈={±1,±i,±j,±k}的中心Z(Q₈)=__________。4.设F=GF(4)为4元有限域，F上的多项式环F[x]中，x⁴+x²+1的不可约因式分解为__________。5.设G是12阶循环群，G的子群个数为__________。6.设R是主理想整环，M是R上的有限提供自由模，秩为3，则M的任意子模N的秩r满足__________。三、计算题（每小题10分，共40分）1.设G=GL₂(Z/3Z)为2×2可逆矩阵在模3剩余类环上的一般线性群，计算|G|（群的阶）。2.设R=Z/12Z为模12剩余类环，计算R中由理想I=(4)提供的商环R/I的所有元素，并判断R/I是否为域。3.设F=GF(2)为二元域，考虑F上的多项式f(x)=x³+x+1，证明f(x)在F上不可约，并构造扩域K=F[x]/(f(x))，求K中元素x²+x+1的逆元。4.设G=D₄为4次二面体群（正方形对称群），其元素为{e,r,r²,r³,s,sr,sr²,sr³}，其中r是旋转90°，s是关于水平轴的反射。求G的所有正规子群。四、证明题（每小题12分，共36分）1.证明：有限群G中任意元素的阶都整除|G|（拉格朗日定理的直接推论）。2.设R是交换环，I,J是R的理想，证明：(I+J)/I≅J/(I∩J)（第二同构定理）。3.设V是域F上的n维向量空间，End_F(V)为V的F-线性变换环。证明：End_F(V)是单环（即无非平凡双边理想）。五、综合应用题（16分）设C是GF(2)上的循环码，提供多项式为g(x)=x⁴+x³+x²+1（注意：g(x)∈GF(2)[x]）。（1）求C的长度n和维数k；（2）构造C的提供矩阵G（要求为标准形式）；（3）判断C是否为MDS码（最大距离可分码），并说明理由。答案一、选择题1.C（交换群的子群继承交换性）2.B（环同态的核是理想）3.A（有限域的乘法群是循环群）4.C（8阶群中元素阶的可能组合需满足拉格朗日定理，且元素阶的LCM不超过群阶。选项C中存在8阶元素，此时群为循环群，元素阶应为1,2,4,8，不可能有4个4阶元素和1个8阶元素）5.C（Krull-Schmidt定理：在同构意义下唯一）6.A（极小多项式次数整除扩张次数）二、填空题1.120（5!=120）2.(2)（6和10的最大公约数是2，故(6,10)=(2)）3.{±1}（Q₈中±1与所有元素交换，i,j,k仅与±1,±自身交换，故中心为{±1}）4.(x²+x+1)²（在GF(4)中，x⁴+x²+1=(x²+1)²+x²=(x²+x+1)(x²-x+1)，而GF(2)中-x=x，故进一步分解为(x²+x+1)²）5.6（12的正因数有1,2,3,4,6,12，对应6个子群）6.0≤r≤3（主理想整环上自由模的子模仍是自由模，秩不超过原模秩）三、计算题1.计算GL₂(Z/3Z)的阶：可逆矩阵要求行列式非零。第一行有3²-1=8种选择（非零向量），第二行不能是第一行的线性组合，故有3²-3=6种选择（总向量数9减去与第一行共线的3个向量）。因此|G|=8×6=48。2.R=Z/12Z，I=(4)={0,4,8}。商环R/I的元素为陪集：0+I={0,4,8}，1+I={1,5,9}，2+I={2,6,10}，3+I={3,7,11}。共4个元素。判断是否为域：R/I是4阶环，若为域则必是GF(4)，但Z/12Z/I中乘法是否交换且每个非零元有逆元？计算1+I的逆元：(1+I)(1+I)=1+I，(2+I)(2+I)=4+I=0+I（零因子），故存在零因子，不是域。3.证明f(x)=x³+x+1在GF(2)上不可约：GF(2)上三次多项式若可约必含一次因式，即有根。代入x=0，f(0)=0+0+1=1≠0；x=1，f(1)=1+1+1=1≠0，故无一次因式，不可约。构造K=F[x]/(f(x))，元素形如a+bx+cx²，a,b,c∈GF(2)。求x²+x+1的逆元，设其逆为d+ex+fx²，满足(x²+x+1)(d+ex+fx²)=1（在K中，x³=x+1）。展开左边：x²(d+ex+fx²)+x(d+ex+fx²)+1(d+ex+fx²)=dx²+ex³+fx⁴+dx+ex²+fx³+d+ex+fx²=dx²+e(x+1)+f(x³)x+dx+ex²+f(x+1)+d+ex+fx²=dx²+ex+e+f(x+1)x+dx+ex²+fx+f+d+ex+fx²=dx²+ex+e+f(x²+x)+dx+ex²+fx+f+d+ex+fx²=(d+f+e+f)x²+(e+f+d+e)x+(e+f+d)=(d+e)x²+(d+f)x+(d+e+f)令其等于1（即常数项1，一次项和二次项系数0），得方程组：d+e=0d+f=0d+e+f=1由GF(2)运算，解得d=1,e=1,f=1。验证：(x²+x+1)(x²+x+1)=x⁴+x³+x²+x³+x²+x+x²+x+1=x⁴+2x³+3x²+2x+1=x⁴+x²+1（在GF(2)中系数模2），但x⁴=x·x³=x(x+1)=x²+x，故x⁴+x²+1=x²+x+x²+1=x+1≠1，说明计算错误。重新计算：正确展开应为：(x²+x+1)(a+bx+cx²)=a(x²+x+1)+bx(x²+x+1)+cx²(x²+x+1)=ax²+ax+a+bx³+bx²+bx+cx⁴+cx³+cx²代入x³=x+1，x⁴=x·x³=x(x+1)=x²+x：=ax²+ax+a+b(x+1)+bx²+bx+c(x²+x)+c(x+1)+cx²=ax²+ax+a+bx+b+bx²+bx+cx²+cx+cx+c+cx²合并同类项：x²项：a+b+c+c=a+bx项：a+b+b+c+c=a常数项：a+b+c令等于1（即x²系数0，x系数0，常数项1）：a+b=0a=0a+b+c=1解得a=0,b=0,c=1。验证：(x²+x+1)(x²)=x⁴+x³+x²=(x²+x)+(x+1)+x²=2x²+2x+1=1（在GF(2)中），故逆元为x²。4.D₄的正规子群：首先，中心Z(D₄)={e,r²}（r²与所有元素交换，s与r不交换）。其次，指数为2的子群必正规，D₄的8阶群，指数2的子群有3个：{e,r,r²,r³}（旋转子群），{e,r²,s,sr²}，{e,r²,sr,sr³}。另外，平凡子群{e}和D₄自身。验证：旋转子群是循环群，正规；{e,r²,s,sr²}中，s共轭r得srs=r³（因为srs=r⁻¹=r³），但r³不在此子群中，故错误。正确方法：D₄的共轭类为{e},{r²},{r,r³},{s,sr²},{sr,sr³}。正规子群是共轭类的并集，故可能的正规子群有：{e}（仅{e}），{e,r²}（{e}∪{r²}），{e,r,r²,r³}（{e}∪{r²}∪{r,r³}），D₄自身。验证{e,r²}是否正规：对任意g∈D₄，g{e,r²}g⁻¹={e,r²}，成立。旋转子群显然正规。故所有正规子群为{e},{e,r²},{e,r,r²,r³},D₄。四、证明题1.设g∈G，|G|=n，考虑由g提供的循环子群⟨g⟩，其阶为d=|g|。根据拉格朗日定理，d=[G:⟨g⟩]⁻¹|G|，即d|n，故|g|整除|G|。2.定义映射φ:J→(I+J)/I，φ(j)=j+I。φ是环同态，因为φ(j₁+j₂)=(j₁+j₂)+I=(j₁+I)+(j₂+I)=φ(j₁)+φ(j₂)，φ(j₁j₂)=j₁j₂+I=(j₁+I)(j₂+I)=φ(j₁)φ(j₂)。Kerφ={j∈J|j+I=I}={j∈J|j∈I}=I∩J。由同态基本定理，J/Kerφ≅Imφ，而Imφ=(I+J)/I（因为I+J={i+j|i∈I,j∈J}，故(i+j)+I=j+I∈Imφ），因此(I+J)/I≅J/(I∩J)。3.设I是End_F(V)的非零双边理想，任取0≠f∈I，需证I=End_F(V)。取v∈V使得f(v)≠0，由于V是n维空间，存在基{e₁,e₂,…,eₙ}，设f(e_i)=a₁e₁+…+aₙeₙ（不全为零）。取线性变换g∈End_F(V)使得g(e₁)=v，h∈End_F(V)使得h(f(e_i))=e_j（对任意i,j）。则hfg∈I，且hfg(e₁)=h(f(g(e₁)))=h(f(v))=e_j（若f(v)=e₁）。通过调整g和h，可提供所有矩阵单位E_ij（对应基下的矩阵），而矩阵单位提供整个End_F(V)（同构于n×n矩阵环），故I=End_F(V)，即End_F(V)是单环。五、综合应用题（1）循环码长度n是提供多项式g(x)的周期，即最小的正整数n使得g(x)|xⁿ-1。g(x)=x⁴+x³+x²+1=x²(x²+x+1)+1，在GF(2)[x]中，x⁴+x³+x²+1=(x+1)(x³+x+1)（验证：(x+1)(x³+x+1)=x⁴+x³+x²+x+x+1=x⁴+x³+x²+1）。x+1的周期是1，x³+x+1的周期是7（因为x³+x+1在GF(2)上不可约，其周期整除2³-1=7，且7是素数，故周期为7）。因此g(x)的周期是lcm(1,7)=7，故n=7。维数k=n-deg(g(x))=7-4=3。（2）标准提供矩阵G为k×n矩阵，形式为[I_k|A]，其中I_k是3×3单位矩阵，A是3×(n-k)=3×4矩阵，对应g(x)的移位。g(x)=x⁴+x³+x²+1，其系数为11101（从x⁴到x⁰），但循环码提供矩阵由g(x),xg(x),x²g(x)的系数组成（模x⁷-1）。计算：g(x)=x⁴+x³+x²+1→系数向量[1,1,1,0,1,0,0]（x⁶到x⁰）xg(x)=x⁵+x⁴+x³+x