平移旋转和轴对称练习题

引言在平面几何的广阔天地中，图形的变换是描述物体运动和位置变化的基本工具。平移、旋转和轴对称作为三种最基本的全等变换，不仅是构成美丽图案的基石，也是解决众多几何问题的关键思想。掌握这些变换的概念、性质及应用，对于培养空间想象能力和逻辑推理能力至关重要。本文旨在通过一系列精心设计的练习题，帮助读者巩固所学知识，深化理解，并提升运用这些变换解决实际问题的能力。一、知识回顾与要点提示在着手练习之前，让我们简要回顾平移、旋转和轴对称的核心概念与性质，这将有助于我们更准确地解答后续问题。*平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。其关键要素是方向和距离。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。*旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度。其关键要素是旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度。旋转同样不改变图形的形状和大小。旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。*轴对称：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。轴对称变换不改变图形的形状和大小。成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。二、基础巩固练习题（一）选择题（请选出最符合题目要求的一项）1.下列现象中，属于平移的是（）A.钟表指针的转动B.电风扇叶片的转动C.电梯从一楼升到顶楼D.翻开课本的书页2.将一个图形绕某点顺时针旋转90度后，再绕该点逆时针旋转60度，相当于将原图形绕该点（）A.顺时针旋转30度B.逆时针旋转30度C.顺时针旋转150度D.逆时针旋转150度3.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A.等边三角形B.正方形C.正五边形D.圆形（二）填空题1.一个图形沿正东方向平移了若干单位长度，那么图形上任意一点的横坐标将________（填“增加”或“减少”）相应单位，纵坐标________。2.点A（3，4）关于x轴对称的点的坐标是________，关于y轴对称的点的坐标是________。3.一个三角形绕其一个顶点顺时针旋转90度后，其形状、大小________，各对应边的夹角为________度。（三）判断题（对的打“√”，错的打“×”，并简述理由）1.平移后的图形与原图形一定能完全重合。（）2.旋转中心一定在图形的内部。（）3.如果一个图形是轴对称图形，那么它一定有且只有一条对称轴。（）三、作图与解答题（一）基础作图1.平移作图：如图，已知三角形ABC，请将三角形ABC沿射线AB方向平移，使点A移动到点A'的位置，画出平移后的三角形A'B'C'。（*思路点拨：确定平移方向为射线AB，平移距离为线段AA'的长度。分别作出点B、C沿相同方向和距离平移后的对应点B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可。*）2.旋转作图：如图，已知线段DE，请将线段DE绕点D顺时针旋转90度，画出旋转后的线段DE'。（*思路点拨：明确旋转中心为点D，旋转方向为顺时针，旋转角度为90度。以点D为顶点，DE为一边，按顺时针方向作一个90度的角，并在角的另一条边上截取与DE等长的线段DE'。*）3.轴对称作图：如图，已知四边形FGHI和直线l，请画出四边形FGHI关于直线l对称的四边形F'G'H'I'。（*思路点拨：分别作出四边形FGHI的四个顶点F、G、H、I关于直线l的对称点F'、G'、H'、I'。作对称点的方法是过该点向对称轴l作垂线，并延长至另一侧，使垂足到该点和到对称点的距离相等。最后顺次连接各对称点。*）（二）综合应用1.图案分析：观察下图所示的图案，它可以看作是由哪个基本图形通过怎样的平移或旋转得到的？请描述其变换过程。（*思路点拨：仔细观察图案的组成部分，寻找重复出现的最小单元作为基本图形。分析基本图形的位置变化，判断是平移（方向、距离）还是旋转（中心、方向、角度），或是两者的结合。*）2.旋转性质应用：在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将三角形ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到三角形DEC，点D落在AB边上。若AC=2，求线段AD的长度。（*思路点拨：由旋转性质可知，CD=CA=CB=2，∠ACD=∠BCE（旋转角）。因为AC=BC且∠ACB=90°，所以三角形ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°。点D在AB上，CD=CA，所以三角形ACD是等腰三角形，可求出∠ACD的度数，进而判断三角形ACD的形状，从而求出AD。*）3.轴对称性质应用：如图，在公路l的同侧有两个村庄A和B，现要在公路l上修建一个公交站点P，使站点P到村庄A和村庄B的距离之和最小。请在图中作出点P的位置，并说明理由。（*思路点拨：这是典型的“最短路径”问题，可利用轴对称的性质解决。作出点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。理由是：对于直线l上任意一点P'，都有P'A+P'B=P'A'+P'B≥A'B，当且仅当P'与P重合时取等号。*）四、解题反思与总结通过上述练习，我们对平移、旋转和轴对称的理解不应仅仅停留在表面。在解决具体问题时，要时刻关注每种变换的核心要素和不变性质。例如，平移的“同向等距”，旋转的“共点等角”，轴对称的“垂直平分”。作图是几何学习的基本功，规范的作图不仅能帮助我们直观理解问题，更是严谨推理的基础。在面对综合性问题时，要学会分解图形，识别基本变换，或将复杂图形通过变换转化为我们熟悉的简单图形。同时，要注意多角度思考，例如一个复杂的图案可能既可以通过平移得到，也可以通过旋转得到，关键在于找到合适的基本图形和变换方式。结语平移、旋转和轴对称是几何世界中动态与和谐的完美体